Vted giới thiệu đến các em học sinh và quý thầy cô đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12 cấp tỉnh của Tỉnh Vĩnh phúc năm học 2016 - 2017 có đáp án do Vted cùng thầy Đặng Thành Nam lược giải

Để tải đề thi và xem đáp án chi tiết các bạn nhấn Làm đề thi ở phía trên!

Câu 1 (2.0 điểm).

a) Cho hàm số $y=\frac{2-2x}{x+1}$ có đồ thị là $(H)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $(H)$ và $M$ là một điểm bất kì trên $(H)$. Tiếp tuyến với $(H)$ tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của$(H)$lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng tam giác $IEF$ có diện tích không đổi.

b) Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+x+1$ có đồ thị là $(C)$. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị $(C)$, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Câu 2 (2.0 điểm).

a) Cho ${{\log }_{5}}6=a,\,{{\log }_{6}}12=b.$ Tính $\text{lo}{{\text{g}}_{25}}24$ theo $a$ và $b.$

b) Cho hàm số $f(x)=\dfrac{{{4}^{x}}}{{{4}^{x}}+2}\cdot $ Tính tổng: $S=f\left( \frac{1}{2017} \right)+f\left( \frac{2}{2017} \right)+\cdot \cdot \cdot +f\left( \frac{2016}{2017} \right)\cdot $

Câu 3 (2.0 điểm).

a) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=4\,(km).$ Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $BC=7\,\text{(}km\text{)}.$ Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $6\,\text{(}{km}/{h}\;)$ rồi đi xe đạp từ M đến $C$ với vận tốc $10\,\text{(}{km}/{h}\;)$ (hình vẽ bên). Xác định vị trí của $M$ để người đó đến $C$ nhanh nhất.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có ba nghiệm dương phân biệt ${{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+3(2m+1)x+2{{m}^{2}}-9m-5=0$

Câu 4 (2.0 điểm).

Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\widehat{DAB}={{60}^{0}},\,AB=8\text{(}cm\text{)},\,AC=9\text{(}cm\text{)},$ $AD=10\text{(}cm\text{)}.$ Gọi ${{A}_{1}},\,{{B}_{1}},\,{{C}_{1}},\,{{D}_{1}}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,\,ACD,\,ABD,\,ABC.$

a) Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( ACD \right)$.

b) Tính thể tích khối tứ diện ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.$

Câu 5 (1.0 điểm).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại$B,\,AB=8,$ $BC=6.$ Biết $SA=6$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp $S.ABC$.

Câu 6 (1.0 điểm).

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+a+1}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+b+1}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+c+1}\cdot $