---

Đề thi và lời giải chi tiết Đề thi môn Toán tuyển sinh Hệ Kỹ sư tài năng 2018 đại học Bách Khoa Hà Nội

Nhận xét sơ bộ về đề thi năm nay là khá sát với đề thi TSĐH. Không còn sử dụng các kiến thức nâng cao của học sinh giỏi bậc THPT hoặc bậc ĐH và do vậy tương đối là dễ đối với các em tham gia thi tuyển.

Lời giải chi tiết: Đề thi môn Toán tuyển sinh Hệ Kỹ sư tài năng 2018 đại học Bách Khoa Hà Nội

Câu 1: Gọi các điểm $A\left( a;\frac{1}{a} \right),B\left( b;\frac{1}{b} \right),C\left( c;\frac{1}{c} \right),H(x;y).$

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\ \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x - a)(c - b) + \left( {y - \frac{1}{a}} \right)\left( {\frac{1}{c} - \frac{1}{b}} \right) = 0\\ (x - b)(c - a) + \left( {y - \frac{1}{b}} \right)\left( {\frac{1}{c} - \frac{1}{a}} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{{abc}}\\ y = - abc \end{array} \right..\)

Vậy $H\left( -\frac{1}{abc};-abc \right)$ và rõ ràng $H\in (C).$

Câu 2: 

\[\begin{array}{l} {\left( {{x^2} + 3x - 4} \right)^3} + {\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right)^3} = {\left( {3{x^2} - 2x - 1} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {(x - 1)^3}{(x + 4)^3} + {(x - 1)^3}{(2x - 3)^3} = {(x - 1)^3}{(3x + 1)^3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {(x - 1)^3} = 0\\ {(x + 4)^3} + {(2x - 3)^3} = {(3x + 1)^3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {(x - 1)^3} = 0\\ {(x + 4)^3} + {(2x - 3)^3} = {\left( {(x + 4) + (2x - 3)} \right)^3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {(x - 1)^3} = 0\\ 3(x + 4)(2x - 3)(3x + 1) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 4\\ x = \frac{3}{2}\\ x = - \frac{1}{3} \end{array} \right.. \end{array}\]

Câu 3: Gọi G là trọng tâm tam giác $ABC.$ Vì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow O\equiv G.$

Mặt khác $OA=OB=OC\Rightarrow O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Vậy $O$ vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp vừa là trọng tâm thì đó là tam giác đều.

Câu 4: \(\int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{dx}}{{(1 + {x^2})(1 + {e^{ax}})}}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \dfrac{1}{2}\arctan x\left| \begin{array}{l} 1\\ - 1 \end{array} \right. = \dfrac{\pi }{4}.\)

Câu 5: $(x-1)p(x+1)=(x+2)p(x).$

• Thay $x=-2\Rightarrow -3.p(-1)=0.p(-2)=0\Rightarrow p(-1)=0.$

• Thay $x=1\Rightarrow 3.p(1)=0.p(0)=0\Rightarrow p(1)=0.$

• Thay $x=0\Rightarrow 2.p(0)=-1.p(1)=0\Rightarrow p(0)=0.$

Khi đó $p(x)=(x+1)x(x-1)q(x).$

Thay ngược lại đẳng thức có:

\[\begin{array}{l} (x - 1)\left[ {(x + 2)(x + 1)xq(x + 1)} \right] = (x + 2)\left[ {(x + 1)x(x - 1)q(x)} \right]\\ \Rightarrow q(x + 1) = q(x),\forall x \Rightarrow q(x) = C \Rightarrow p(x) = C.(x + 1)x(x - 1). \end{array}\]

Câu 6: Dễ có $H=(AEF)\cap SC$ và gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD.$

Ta có $OH=\frac{AC}{2}\Rightarrow H$ thuộc mặt cầu đường kính $AC.$

 

Câu 7: 

\[\begin{array}{l} {\cos ^6}\frac{{3x}}{2} + {\cos ^2}\frac{{3x}}{2} = \left( {{{\sin }^2}\frac{{3x}}{2} + m} \right)\sqrt {{{\sin }^2}\frac{{3x}}{2} + m} + \sqrt {{{\sin }^2}\frac{{3x}}{2} + m} \\ \Leftrightarrow {\left( {{{\cos }^2}\frac{{3x}}{2}} \right)^3} + {\cos ^2}\frac{{3x}}{2} = {\left( {\sqrt {{{\sin }^2}\frac{{3x}}{2} + m} } \right)^3} + \sqrt {{{\sin }^2}\frac{{3x}}{2} + m} \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{{3x}}{2} = \sqrt {{{\sin }^2}\frac{{3x}}{2} + m} \Leftrightarrow m = {\cos ^4}\frac{{3x}}{2} - {\sin ^2}\frac{{3x}}{2} \in [ - 1;1]. \end{array}\]

Câu 8: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

\(\begin{array}{c} A \le \sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {1 + y + 1 + x} \right)} = \sqrt {x + y + 2} \\ \le \sqrt {\sqrt {(1 + 1)({x^2} + {y^2})} + 2} = \sqrt {2 + \sqrt 2 } . \end{array}\)

Dấu bằng đạt tại $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Tìm GTNN:

Hiện tại thầy chả có cách nào hay hơn vì dấu bằng xảy ra quá lẻ =)))

\[\begin{array}{c} A = x\sqrt {1 + y} + y\sqrt {1 + x} = x\sqrt {\sqrt {{x^2} + {y^2}} + y} + y\sqrt {\sqrt {{x^2} + {y^2}} + x} \\ = \dfrac{{x\sqrt {\sqrt {{x^2} + {y^2}} + y} + y\sqrt {\sqrt {{x^2} + {y^2}} + x} }}{{\sqrt[4]{{{{({x^2} + {y^2})}^3}}}}}\\ = f(t) = \dfrac{{t\sqrt {\sqrt {{t^2} + 1} + 1} + \sqrt {\sqrt {{t^2} + 1} + t} }}{{\sqrt[4]{{{{({t^2} + 1)}^3}}}}}\\ \le f( \approx - 5,4934) = - \dfrac{{\sqrt {114 - 18\sqrt 2 } }}{9}\left( {t = \dfrac{x}{y}} \right). \end{array}\]

Link đề thi: https://goo.gl/7jC8L4

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế:

1. PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

>>Xem thêm Đề thi môn Toán tuyển sinh Hệ Kỹ sư tài năng 2017 đại học Bách Khoa Hà Nội

>>Xem thêm Đề thi và lời giải chi tiết Đề thi môn Toán tuyển sinh Hệ Kỹ sư tài năng 2013 đại học Bách Khoa Hà Nội

 

TẢI VỀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT