10.5. Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System)

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) được vận hành bởi chính phủ Hoa Kỳ, bất kì ai có thiết bị thu GPS đều có thể truy cập để sử dụng miễn phí.

GPS hoạt động bằng cách truyền tín hiệu từ mạng lưới các vệ tinh quay quanh Trái Đất đến thiết bị thu GPS trên mặt đất. Bộ thu GPS sử dụng tín hiệu nhận được để xác định khoảng cách từ thiết bị đó đến các vệ tinh. Khoảng cách được xác định thông qua thời gian truyền tin và vận tốc tín hiệu. Vận tốc tín hiệu bằng vận tốc ánh sáng, do đó vấn đề quan trọng nhất còn lại là xác định được chính xác thời gian truyền tín hiệu. Mỗi vệ tinh GPS có một đồng hồ nguyên tử (loại đồng hồ đo thời gian chính xác nhất hiện nay) được sử dụng để đo thời gian cần thiết để tín hiệu GPS truyền từ vệ tinh đến máy thu. Bộ thu GPS cũng có đồng hồ đo thời gian. Việc đồng bộ hoá đồng hồ giữa nơi phát và nơi thu có ảnh hưởng tới tính chính xác của phép đo.

Các vệ tinh GPS bay theo các quỹ đạo xác định, quanh Trái Đất, hai vòng mỗi ngày và ở độ cao khoảng 20 200 km so với mặt đất. Do vậy, tại mỗi thời điểm, người ta luôn biết được vị trí của mỗi vệ tinh.

Tính đến năm 2023, có 31 vệ tinh trong hệ thống GPS và có hơn 20 vệ tinh trong số đó đang hoạt động. Nhìn chung, để xác định vị trí của thiết bị trên mặt đất, cần tới thông tin khoảng cách từ thiết bị đó đến 3 vệ tinh. Tại những thời điểm mà các vệ tinh ở vị trí đặc biệt thì số vệ tinh cần thiết có thể ít hơn hoặc nhiều hơn 3. Tuy vậy, càng đo được nhiều khoảng cách đến các vệ tinh, vị trí của thiết bị thu càng được xác định chính xác. Quỹ đạo của các vệ tinh được sắp xếp sao cho tại mỗi thời điểm, mỗi vị trí trên mặt đất đều có thể nhìn thấy ít nhất 4 vệ tinh trong số các vệ tinh đang hoạt động (và vì vậy, thiết bị có thể nhận được tín hiệu từ các vệ tinh đó).

Toán học cho phép thiết lập công thức xác định vị trí của thiết bị theo vị trí của các vệ tinh và khoảng cách tương ứng, nhờ đó có thể lập trình tính toán xác định vị trí của thiết bị.

a) Kỹ năng giải hệ phương trình ba ẩn

b) Điểm torricelli của tam giác

c) Điểm torricelli của tứ diện

>>Xem thêm: Các bài toán thực tế về hợp lực trong hệ tọa độ Oxyz

>>Xem thêm: Khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt trái đất khi biết vĩ độ và kinh độ tương ứng

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Câu 1 ［Q861276386］Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian．Trong cùng một thời điểm，vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh．Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ ，có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3 ; 1 ; 0), B(3 ; 6 ; 6), C(4 ; 6 ; 2), D(6 ; 2 ; 14)$ ；vị trí $M(a ; b ; c)$ thỏa mãn $M A=3, M B=6, M C=5, M D=13$ ．Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ bằng bao nhiêu？

Câu 2 ［Q467537933］Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian．Trong cùng một thời điểm，vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh．Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ ，có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(3 ;-1 ; 6), B(1 ; 4 ; 8), C(7 ; 9 ; 6), D(7 ;-15 ; 18)$ ．Vị trí điểm $M(a ; b ; c)$ thỏa mãn $M A=6, M B=7, M C=12, M D=24$ ．Tính $a+b+c$ ．

Câu 3 ［Q313628281］Coi bề mặt trái đất là mặt cầu có bán kính 6371 km ．Giả sử tại một thời điểm，vị trí $M$ của một thiết bị GPS trên mặt đất và bốn vệ tinh $A, B, C, D$ là các đỉnh của một hình hộp chữ nhật với các cạnh $M A, M B, M C$ và đường chéo $M D$ ．Biết khoảng cách từ ba vệ tinh $A, B, C$ đến mặt đất cùng là 19113 km ．Hỏi khoảng cách từ vệ tinh $D$ đến mặt đất là bao nhiêu ki－lô－mét（làm tròn kết quả đến hàng đơn vị）？

Câu 4 ［Q954558065］Có hai trạm thu phát sóng tín hiệu mặt đất đặt ở hai điểm $O, A$ và vệ tinh thu phát tín hiệu tại ở vị trí $M$ ．Một tín hiệu tại $O$ phát lên vệ tinh $M$ rồi tuyền đến trạm thu $A$ ．Xét hệ trục tọa độ $O x y z$ sao cho $O(0 ; 0 ; 0), A(3 ; 4 ; 0), M(x ; y ; 35)$（đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ngàn kilômét）．

Biết vận tốc truyền tín hiệu giữa vệ tinh với trạm thu phát là $3 \cdot 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．Hỏi thời gian ngắn nhất tín hiệu phát từ $O$ đến $M$ rồi truyền về $A$ là bao nhiêu giây（ làm tròn đến hàng phần nghìn）．

Câu 5 [Q875885983] Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó 3 điểm và sử dụng 3 đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối 3 điểm đó với một điểm treo (xem hình minh hoạ).

Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, ba điểm trên miệng của chậu cây là $A(0 ; 1 ; 2), B(2 ;-2 ; 1), C(-2 ; 0 ; 1)$; điểm treo $M(a ; b ; c)$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha): 2 x+2 y+z-3=0$. Bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến gốc toạ độ $O$ bằng bao nhiêu?

Câu 6 [Q236646631] Hệ thống định Toàn Cầu GPS hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất 20000 km , ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $R=6$ (nghìn km). Với một hệ tọa độ $O x y z$ đã chọn, $O$ là tâm Trái Đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ $A(26 ; 0 ; 0), B(0 ; 26 ; 0)$. Xét điểm $M(x ; y ; z)$ thuộc bề mặt Trái Đất. Tính giá trị nhỏ nhất của $M A+M B$ theo đơn vị nghìn km (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 7 [Q322260783] Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty $S$ để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh $S$ có tọa độ trong không gian $O x y z$ (đơn vị km) như sau: Vệ tinh $A$ tại vị trí $A(103 ; 204 ; 62)$, vệ tinh $B$ tại vị trí $B(106 ; 208 ; 74)$, vệ tinh $C$ tại vị trí $C(105 ; 212 ; 134)$. Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí $M$ của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: $M A=13 \mathrm{~km}, M B=26 \mathrm{~km}, M C=85 \mathrm{~km}$. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến qốc tọa độ $O$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).

Câu 8 [Q993988186] Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty $S$ để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao 50 km và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh của công ty $S$ có tọa độ trong không gian $O x y z$ (đơn vị km) như sau: Vệ tinh $A$ tại vị trí $A(103 ; 204 ; 62)$, vệ tinh $B$ tại vị trí $B(106 ; 208 ; 74)$, vệ tinh $C$ tại vị trí $C(105 ; 212 ; 134)$. Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí $M$ của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: $M A=13 \mathrm{~km}, M B=26 \mathrm{~km}, M C=85 \mathrm{~km}$. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ $O$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).

Câu 9 [Q083103321] Trong không gian $O x y z$ (đơn vị độ dài trên các trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu đặt tại điểm $I(1 ; 2 ; 2)$ biết rằng bán kính phủ sóng của trạm là 3 km . Hai người sử dụng điện thoại lần lượt tại $M(4 ;-4 ; 2)$ và $N(6 ; 0 ; 6)$. Gọi $E(a ; b ; c)$ là một điểm thuộc ranh giới vùng phủ sóng của trạm sao cho tổng khoảng cách từ $E$ đến vị trí $M$ và $N$ lớn nhất. Tính $T=a+b+c$.

Câu 10 [Q389798639] Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kì trong không gian. Với hệ trục tọa độ $O x y z$ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $A(-1 ;-3 ;-5)$ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $B(-1 ; 1 ;-1)$ và $C(1 ;-1 ;-1)$ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2=3$. Người ta xác định được tọa độ điểm $M(a ; b ; c)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $M A+M B+M C$ bé nhất. Tính giá trị $a+b+c$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 11 [Q003134884] Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh đó. Giả sử trong không gian $O x y z$ có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(7 ; 2 ; 3), B(1 ; 4 ; 3), C(1 ; 2 ; 6), D(1 ; 2 ; 3)$ và vị trí của điểm $M(a ; b ; c)$ thỏa mãn biểu thức $M A+M B+M C+\sqrt{3} M D$ nhỏ nhất. Tính độ dài $M O$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 12 [Q867897550] Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh đó. Giả sử trong không gian $O x y z$ có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(2 ; 4 ; 0), B(0 ; 4 ; 6), C(2 ; 0 ; 6), O(0 ; 0 ; 0)$ và vị trí của điểm $M(a ; b ; c)$ thỏa mãn biểu thức $M A+M B+M C+M O$ nhỏ nhất. Tính độ dài $M O$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 13 [Q088853009] Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh đó. Giả sử trong không gian $O x y z$ có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(2 ; 4 ; 0), B(0 ; 4 ; 6), C(2 ; 0 ; 6), D(0,5 ; 1 ; 1,5)$ và vị trí của điểm $M(a ; b ; c)$ thỏa mãn biểu thức $M A+M B+M C+M D$ nhỏ nhất. Tính độ dài $M O$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 14 [Q389349631] Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh đó. Giả sử trong không gian $O x y z$ có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(2 ; 4 ; 0), B(0 ; 4 ; 6), C(2 ; 0 ; 6), D(-1 ;-2 ;-3)$ và vị trí của điểm $M(a ; b ; c)$ thỏa mãn biểu thức $M A+M B+M C+M D$ nhỏ nhất. Tính độ dài $M O$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 15 [Q342132588] Đội khảo cổ biển dùng một thiết bị tự hành dưới nước (AUV) để khảo sát chi tiết một khu vực tiềm năng, với hy vọng xác định vị trí chính xác của một xác tàu cổ. Để phục vụ công tác định vị, họ thiết lập một hệ tọa độ $O x y z$, tàu chỉ huy coi như một điểm tại gốc tọa độ $O$, mặt phẳng $O x y$ trùng với mặt biển (coi như yên lặng), và trục $O z$ hướng thẳng đứng xuống biển sâu (đơn vị trên các trục là mét). Bốn phao sonar, ký hiệu là $A, B, C$ và $D$, được thả trên mặt biển tại các vị trí có tọa độ lần lượt là $A(25 ; 0 ; 0), B(0 ; 25 ; 0), C(-25 ; 0 ; 0)$ và $D(0 ;-25 ; 0)$. Sau một thời gian dò tìm, AUV đã phát hiện một vật thể $M(x ; y ; z)$ nằm dưới mặt nước, nghi là xác tàu cổ. Hệ thống phân tích trên AUV đã tính toán và truyền về tàu chỉ huy bình phương khoảng cách (đơn vị $\mathrm{m}^2$ ) từ $M$ đến từng phao như sau: $M A^2=1400, M B^2=1150, M C^2=2900, M D^2=3150$. Khoảng cách từ tàu chỉ huy (gốc $O$ ) đến hình chiếu vuông góc của vật thể $M$ lên mặt biển (tức là mặt phẳng $O x y$ ) bằng bao nhiêu mét?

Câu 16 [Q649946661] Trong không gian $O x y z$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), mặt phẳng $(O x y)$ trùng với mặt biển. Ba trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại các vị trí $A(-150 ; 0 ; 1), B(50 ;-100 ; 1)$ và $C(150 ; 0 ; 1)$. Tại cùng một thời điểm, ba trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc $300000 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ để một tàu thuỷ ở vị trí $M(a ; b ; c)$ trên mặt biển thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn tín hiệu từ $B$ là $0,0004 \mathrm{~s}$ và đến sớm hơn tín hiệu từ $C$ là $0,0006 \mathrm{~s}$. Khoảng cách $O M$ là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Combo X các em học kết hợp giữa bài giảng, tài liệu, đề thi có sẵn đã phát hành tại vted.vn và các bài giảng Live Fb được cập nhật trong năm học (kéo dài từ T9.2025 đến T6.2026)

KIẾN THỨC BỔ SUNG DÀNH CHO CÁC KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC, ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐƯỢC PHÁT HÀNH TỪ CHƯƠNG X KHÓA PRO X VÀ MỘT PHẦN KHÓA XMAX