Askmath.vn - Giải đáp một bài toán về số phức (Trích hệ thống câu hỏi trên askmath.vn)


Câu hỏi. Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ và ${{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tìm môđun của số phức $z.$ A. $\left| z \right|=\sqrt{33}.$ B. $\left| z \right|=5.$ C. $\left| z \right|=\sqrt{5}.$ D. $\left| z \right|=5\sqrt{2}.$

Giải đáp. Theo giả thiết, ta có \[z=a+bi(a,b\in \mathbb{R}\text{ })\Rightarrow \left| (a-b)+(b-4)i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a-3=\sqrt{5}\cos x \\ & b-4=\sqrt{5}\sin x \\ \end{align} \right..\]

Khi đó \[\begin{align} & P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}} \right]=4a+2b+3 \\ & =4\left( 3+\sqrt{5}\cos x \right)+2\left( 4+\sqrt{5}\sin x \right)+3 \\ & =23+2\sqrt{5}\left( 2\cos x+\sin x \right)\le 23+2\sqrt{5}\sqrt{({{2}^{2}}+{{1}^{2}})({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)}=33. \end{align}\]

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}=\frac{2}{1}\Rightarrow \cos x=\frac{2}{\sqrt{5}},\sin x=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow z=5+5i\Rightarrow \left| z \right|=5\sqrt{2}.$ Chọn đáp án D.

Câu hỏi này là một dạng toán đã được trình bày thành bài giảng trong khoá học Tư duy giải toán trắc nghiệm các em có thể xem tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chuong-trinh-dgnl-hoc-va-giai-toan-trac-nghiem-thpt-quoc-gia-2017-kh963493378.html 

==>>Xem thêm các câu hỏi khác và giải đáp tại đây: www.askmath.vn

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả