Câu hỏi. Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ và ${{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Tìm môđun của số phức $z.$ A. $\left| z \right|=\sqrt{33}.$ B. $\left| z \right|=5.$ C. $\left| z \right|=\sqrt{5}.$ D. $\left| z \right|=5\sqrt{2}.$
Giải đáp. Theo giả thiết, ta có \[z=a+bi(a,b\in \mathbb{R}\text{ })\Rightarrow \left| (a-b)+(b-4)i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a-3=\sqrt{5}\cos x \\ & b-4=\sqrt{5}\sin x \\ \end{align} \right..\]
Khi đó \[\begin{align} & P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}} \right]=4a+2b+3 \\ & =4\left( 3+\sqrt{5}\cos x \right)+2\left( 4+\sqrt{5}\sin x \right)+3 \\ & =23+2\sqrt{5}\left( 2\cos x+\sin x \right)\le 23+2\sqrt{5}\sqrt{({{2}^{2}}+{{1}^{2}})({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)}=33. \end{align}\]
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}=\frac{2}{1}\Rightarrow \cos x=\frac{2}{\sqrt{5}},\sin x=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow z=5+5i\Rightarrow \left| z \right|=5\sqrt{2}.$ Chọn đáp án D.
Câu hỏi này là một dạng toán đã được trình bày thành bài giảng trong khoá học Tư duy giải toán trắc nghiệm các em có thể xem tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chuong-trinh-dgnl-hoc-va-giai-toan-trac-nghiem-thpt-quoc-gia-2017-kh963493378.html
==>>Xem thêm các câu hỏi khác và giải đáp tại đây: www.askmath.vn
Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: