Bài viết này bạn đọc cùng Vted Rèn luyện Vô cùng lớn và vô cùng bé thông qua các câu hỏi sau:

Trích đoạn: Bài giảng Vô cùng lớn và Vô cùng bé

VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN

Vô cùng bé

Hàm số $f\left( x \right)$ được gọi là một vô cùng bé khi \[x\to a\] nếu $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0.$

Ví dụ: Các hàm số $\sin x,\tan x,{{x}^{\alpha }},\left( \alpha >0 \right)$ là các vô cùng bé khi $x\to 0.$

So sánh các vô cùng bé

Giả sử $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các vô cùng bé khi $x\to a$ và tồn tại giới hạn $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=k.$ Khi đó:

+ Nếu $k=\infty $ thì $f\left( x \right)$ được gọi là vô cùng bé bậc thấp hơn (nhỏ hơn) vô cùng bé $g\left( x \right).$

+ Nếu $k=0$ thì $f\left( x \right)$ được gọi là vô cùng bé bậc cao hơn (lớn hơn) vô cùng bé $g\left( x \right)$ và viết $f\left( x \right)=o\left[ g\left( x \right) \right].$

+ Nếu $k\notin \left\{ 0,\infty \right\}$ thì $f\left( x \right),g\left( x \right)$ được gọi là các vô cùng bé cùng bậc.

Đặc biệt, nếu $k=1$ thì $f\left( x \right),g\left( x \right)$ được gọi là các vô cùng bé tương đương và viết $f\left( x \right)\sim g\left( x \right)$ khi $x\to a.$

Các cặp vô cùng bé tương đương hay sử dụng

(1) $\sin u\sim u$ khi $u\to 0$

(2) ${{\sin }^{m}}u\sim {{u}^{m}}$ khi $u\to 0$

(3) $\tan u\sim u$ khi $u\to 0$

(4) $1-\cos u\sim \dfrac{1}{2}{{u}^{2}}$ khi $u\to 0$

(5) $\ln \left( 1+u \right)\sim u$ khi $u\to 0$

(6) ${{e}^{u}}-1\sim u$ khi $u\to 0$

(7) ${{a}^{u}}-1\sim u\ln a$ khi $u\to 0$

(8) ${{\left( 1+u \right)}^{\alpha }}-1\sim \alpha u,\forall \alpha \ne 0$ khi $u\to 0$

(9) $\arcsin u\sim u$ khi $u\to 0$

(10) $\arctan u\sim u$ khi $u\to 0$

Quy tắc ngắt thay thế vô cùng bé tương đương và ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao

Định lý: $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\Leftrightarrow f(x)=L+\alpha (x)$ trong đó $\alpha (x)$ là một VCB khi $x\to a.$

Định lý: Ta có $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o\left( g(x) \right).$

Chứng minh. Ta có $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)}=1+\alpha (x)$ trong đó $\alpha (x)$ là một VCB khi $x\to a.$

Do đó \[f(x)=g(x)+g(x).\alpha (x)=g(x)+o\left( g(x) \right)\] vì \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{g(x).\alpha (x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\alpha (x)=0\Rightarrow g(x).\alpha (x)=o\left( g(x) \right).\]

Định lý: Nếu ${{f}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ là các VCB khi $x\to a;$ trong đó ${{f}_{1}}(x)$ là VCB bậc thấp nhất thì $\sum\limits_{k=1}^{n}{{{f}_{k}}(x)}\sim {{f}_{1}}(x)$ khi $x\to a.$

Áp dụng cho trường hợp hay gặp: $a{{x}^{k}}+{{a}_{1}}{{x}^{k+1}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{k+n}}\sim a{{x}^{k}}\left( \forall k>0,a\ne 0 \right).$

Định lý: Nếu ${{f}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ là các VCB khi $x\to a;$ trong đó ${{f}_{k}}(x)\sim {{g}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ và $\sum\limits_{k=1}^{n}{{{g}_{k}}(x)}\ne 0$ khi đó \[\sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} \sim \sum\limits_{k = 1}^n {{g_k}(x)} ;\prod\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} \sim \prod\limits_{k = 1}^n {{g_k}(x)} .\]

Chứng minh rằng $\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+7{{\sin }^{2}}t \right)}^{\frac{1}{t}}}dt}$ và ${{\sin }^{2}}x$ là hai vô cùng bé tương đương khi $x\to 0.$

Xét giới hạn:

\[\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int\limits_0^{{x^2}} {{{\left( {1 + 7{{\sin }^2}t} \right)}^{\frac{1}{t}}}dt} }}{{{{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x{{\left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)}^{\frac{1}{{{x^2}}}}}}}{{2\sin x\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{\sin 2x}}.{\left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2}}}}} = {e^{7\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}.\frac{{\ln \left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)}}{{7{{\sin }^2}{x^2}}}.{{\left( {\frac{{\sin {x^2}}}{{{x^2}}}} \right)}^2}}} = {e^0} = 1. \\ \end{gathered} \]

Vậy $\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+7{{\sin }^{2}}t \right)}^{\frac{1}{t}}}dt}$ và ${{\sin }^{2}}x$ là hai vô cùng bé tương đương khi $x\to 0.$

Tính giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\ln \left( 1+4\sin x \right)}{{{3}^{x}}-1}$ bằng cách thay vô cùng bé tương đương.

Có $x \to 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \ln \left( {1 + 4\sin x} \right) \sim 4\sin x \sim 4x \hfill \\ {3^x} - 1 \sim x\ln 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + 4\sin x} \right)}}{{{3^x} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{x\ln 3}} = \frac{4}{{\ln 3}}.$

Tính giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sin 5x+2\arctan 2x+3{{x}^{2}}}{\ln \left( 1+5x+{{\sin }^{2}}3x \right)+2x{{e}^{x}}}$ bằng cách thay vô cùng bé tương đương.

Có \[x \to 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin 5x + 2\arctan 2x + 3{x^2} \sim 5x + 2.2x = 9x \hfill \\ \ln \left( {1 + 5x + {{\sin }^2}3x} \right) + 2x{e^x} = \ln \left( {1 + 5x + {{\sin }^2}3x} \right) + 2x({e^x} - 1) + 2x \sim 5x + 2x = 7x \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

Do đó \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 5x+2\arctan 2x+3{{x}^{2}}}{\ln \left( 1+5x+{{\sin }^{2}}3x \right)+2x{{e}^{x}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x}{7x}=\frac{9}{7}.\]

Tính giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x\ln \left( 1+2x \right)}{3{{x}^{2}}-4{{\sin }^{3}}x}$ bằng cách thay vô cùng bé tương đương.

Có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\ln \left( 1+2x \right)}{3{{x}^{2}}-4{{\sin }^{3}}x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x.2x}{3{{x}^{2}}}=\frac{2}{3}.$

Tính giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+2x \right)}^{\dfrac{1}{\sqrt{1+4x}-1}}}$ bằng cách thay vô cùng bé tương đương.

Có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+2x \right)}^{\frac{1}{\sqrt{1+4x}-1}}}={{e}^{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1+2x)}{\sqrt{1+4x}-1}}}={{e}^{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{\frac{1}{2}.4x}}}=e.$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

KHOÁ PRO S1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

KHOÁ PRO S1 GIẢI TÍCH

tương đương chương trình Giải tích 1 và Giải tích 2 khối ngành kỹ thuật.