Trích đoạn: Bài giảng Vô cùng lớn và Vô cùng bé
Hàm số $f\left( x \right)$ được gọi là một vô cùng bé khi \[x\to a\] nếu $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0.$
Ví dụ: Các hàm số $\sin x,\tan x,{{x}^{\alpha }},\left( \alpha >0 \right)$ là các vô cùng bé khi $x\to 0.$
Giả sử $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các vô cùng bé khi $x\to a$ và tồn tại giới hạn $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=k.$ Khi đó:
+ Nếu $k=\infty $ thì $f\left( x \right)$ được gọi là vô cùng bé bậc thấp hơn (nhỏ hơn) vô cùng bé $g\left( x \right).$
+ Nếu $k=0$ thì $f\left( x \right)$ được gọi là vô cùng bé bậc cao hơn (lớn hơn) vô cùng bé $g\left( x \right)$ và viết $f\left( x \right)=o\left[ g\left( x \right) \right].$
+ Nếu $k\notin \left\{ 0,\infty \right\}$ thì $f\left( x \right),g\left( x \right)$ được gọi là các vô cùng bé cùng bậc.
Đặc biệt, nếu $k=1$ thì $f\left( x \right),g\left( x \right)$ được gọi là các vô cùng bé tương đương và viết $f\left( x \right)\sim g\left( x \right)$ khi $x\to a.$
(1) $\sin u\sim u$ khi $u\to 0$
(2) ${{\sin }^{m}}u\sim {{u}^{m}}$ khi $u\to 0$
(3) $\tan u\sim u$ khi $u\to 0$
(4) $1-\cos u\sim \dfrac{1}{2}{{u}^{2}}$ khi $u\to 0$
(5) $\ln \left( 1+u \right)\sim u$ khi $u\to 0$
(6) ${{e}^{u}}-1\sim u$ khi $u\to 0$
(7) ${{a}^{u}}-1\sim u\ln a$ khi $u\to 0$
(8) ${{\left( 1+u \right)}^{\alpha }}-1\sim \alpha u,\forall \alpha \ne 0$ khi $u\to 0$
(9) $\arcsin u\sim u$ khi $u\to 0$
(10) $\arctan u\sim u$ khi $u\to 0$
Định lý: $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\Leftrightarrow f(x)=L+\alpha (x)$ trong đó $\alpha (x)$ là một VCB khi $x\to a.$
Định lý: Ta có $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o\left( g(x) \right).$
Chứng minh. Ta có $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)}=1+\alpha (x)$ trong đó $\alpha (x)$ là một VCB khi $x\to a.$
Do đó \[f(x)=g(x)+g(x).\alpha (x)=g(x)+o\left( g(x) \right)\] vì \[\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{g(x).\alpha (x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\alpha (x)=0\Rightarrow g(x).\alpha (x)=o\left( g(x) \right).\]
Định lý: Nếu ${{f}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ là các VCB khi $x\to a;$ trong đó ${{f}_{1}}(x)$ là VCB bậc thấp nhất thì $\sum\limits_{k=1}^{n}{{{f}_{k}}(x)}\sim {{f}_{1}}(x)$ khi $x\to a.$
Áp dụng cho trường hợp hay gặp: $a{{x}^{k}}+{{a}_{1}}{{x}^{k+1}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{k+n}}\sim a{{x}^{k}}\left( \forall k>0,a\ne 0 \right).$
Định lý: Nếu ${{f}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ là các VCB khi $x\to a;$ trong đó ${{f}_{k}}(x)\sim {{g}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ và $\sum\limits_{k=1}^{n}{{{g}_{k}}(x)}\ne 0$ khi đó \[\sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} \sim \sum\limits_{k = 1}^n {{g_k}(x)} ;\prod\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} \sim \prod\limits_{k = 1}^n {{g_k}(x)} .\]
Xét giới hạn:
\[\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int\limits_0^{{x^2}} {{{\left( {1 + 7{{\sin }^2}t} \right)}^{\frac{1}{t}}}dt} }}{{{{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x{{\left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)}^{\frac{1}{{{x^2}}}}}}}{{2\sin x\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{\sin 2x}}.{\left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)^{\frac{1}{{{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2}}}}} = {e^{7\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}.\frac{{\ln \left( {1 + 7{{\sin }^2}{x^2}} \right)}}{{7{{\sin }^2}{x^2}}}.{{\left( {\frac{{\sin {x^2}}}{{{x^2}}}} \right)}^2}}} = {e^0} = 1. \\ \end{gathered} \]
Vậy $\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+7{{\sin }^{2}}t \right)}^{\frac{1}{t}}}dt}$ và ${{\sin }^{2}}x$ là hai vô cùng bé tương đương khi $x\to 0.$
Có $x \to 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \ln \left( {1 + 4\sin x} \right) \sim 4\sin x \sim 4x \hfill \\ {3^x} - 1 \sim x\ln 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + 4\sin x} \right)}}{{{3^x} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{x\ln 3}} = \frac{4}{{\ln 3}}.$
Có \[x \to 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin 5x + 2\arctan 2x + 3{x^2} \sim 5x + 2.2x = 9x \hfill \\ \ln \left( {1 + 5x + {{\sin }^2}3x} \right) + 2x{e^x} = \ln \left( {1 + 5x + {{\sin }^2}3x} \right) + 2x({e^x} - 1) + 2x \sim 5x + 2x = 7x \hfill \\ \end{gathered} \right..\]
Do đó \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 5x+2\arctan 2x+3{{x}^{2}}}{\ln \left( 1+5x+{{\sin }^{2}}3x \right)+2x{{e}^{x}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{9x}{7x}=\frac{9}{7}.\]
Có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\ln \left( 1+2x \right)}{3{{x}^{2}}-4{{\sin }^{3}}x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x.2x}{3{{x}^{2}}}=\frac{2}{3}.$
Có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+2x \right)}^{\frac{1}{\sqrt{1+4x}-1}}}={{e}^{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1+2x)}{\sqrt{1+4x}-1}}}={{e}^{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{\frac{1}{2}.4x}}}=e.$
Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...
tương đương chương trình Giải tích 1 và Giải tích 2 khối ngành kỹ thuật.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: