Bài toán mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớn nhất trong không gian Oxyz

>>Xem thêm Tổng hợp Công thức giải nhanh hình toạ độ không gian Oxyz tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/cong-thuc-giai-nhanh-hinh-toa-do-oxyz-bien-soan-thay-dang-thanh-nam-2268.html

Bạn đọc theo dõi ví dụ sau:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $({{S}_{1}})$ có tâm $I(2;1;1)$ bán kính bằng 4 và mặt cầu $({{S}_{2}})$ có tâm $J(2;1;5)$ có bán kính bằng $2.$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}}).$ Tổng khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Lời giải: Giả sử $(P)$ tiếp xúc với $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ lần lượt tại $A,B$ và gọi $K=IJ\cap (P).$

Ta có $\frac{KI}{KJ}=\frac{IA}{JB}=\frac{4}{2}\Rightarrow \overrightarrow{KI}=2\overrightarrow{KJ}\Rightarrow K(2;1;9).$

Do đó mặt phẳng (P) qua điểm K có phương trình: $(P):a(x-2)+b(y-1)+c(z-9)=0({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0).$

Mặt khác $d(J,(P))=2\Leftrightarrow \frac{\left| 4c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=2\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=2\left| c \right|\Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}=3.$

Khi đó $d(O,(P))=\frac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\left| \frac{2a+b+9c}{2c} \right|=\left| \frac{a}{c}+\frac{b}{2c}+\frac{9}{2} \right|.$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwraz có

$\left| \frac{a}{c}+\frac{b}{2c} \right|\le \sqrt{\left( 1+\frac{1}{4} \right)\left( {{\left( \frac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}} \right)}=\frac{\sqrt{15}}{2}\Rightarrow -\frac{\sqrt{15}}{2}\le \frac{a}{c}+\frac{b}{2c}\le \frac{\sqrt{15}}{2}.$

Do đó $d(O,(P))=\left| \frac{a}{c}+\frac{b}{2c}+\frac{9}{2} \right|\in \left[ \frac{9-\sqrt{15}}{2};\frac{9+\sqrt{15}}{2} \right]\Rightarrow M+m=9.$

Chọn đáp án B.

Xem thêm bài giảng và đề thi Vận dụng cao mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại khoá PRO XMAX 2019 tại đây : https://www.vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2019-mon-toan-kh896337656.html

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán chính thức của BGD & ĐT kèm lời giải chi tiết

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 trường THPT Chuyên ĐH Vinh năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định năm học 2018 - 2019

>> Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Lương Thế Vinh Hà Nội

>> Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Kim Liên Hà Nội