Bài toán tính quãng đường ngắn nhất vòng quanh đỉnh núi hình nón khó nhất trong đề thi đại học năm 1997 ở Hàn Quốc (CSAT)

>>Xem thêm Bài toán thực tế chương khối tròn xoay Nón - Trụ - Cầu hình học không gian Toán 12

>>Xem thêm Tóm tắt lý thuyết và Nón - trụ - Cầu

>>Xem thêm Công thức tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối nón cụt

Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí $A$ và dừng ở vị trí $B.$ Biết rằng người ta chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ $A$ đến $B,$ đoạn đường đầu là phần lên dốc từ $A$ và đoạn sau sẽ xuống dốc đến $B.$ Tính quãng đường xuống dốc từ $A$ đến $B.$

*Bài toán tính quãng đường khó nhất trong đề thi đại học năm 1997 ở Hàn Quốc (CSAT)

A. $\dfrac{200}{\sqrt{19}}.$

B. $\dfrac{300}{\sqrt{30}}.$

C. $\dfrac{300}{\sqrt{91}}.$

D. $\dfrac{400}{\sqrt{91}}.$

>>Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Giải. Gọi đỉnh nón là $S.$ Cắt mặt xung quanh của hình nón theo đường sinh $SA$ và trải lên một mặt phẳng thu được hình quạt tâm $S,$ bán kính $R=SA=60.$

Chu vi đường tròn đáy của hình nón là $2\pi r=40\pi .$ Do đó góc ở đỉnh của hình quạt là $\dfrac{{40\pi }}{{2\pi R}} \times {360^0} = \dfrac{{40\pi }}{{120\pi }} \times {360^0} = {120^0}.$

>>Xem thêm Bài toán con kiến bò quanh miệng cốc hình dạng nón cụt

Quãng đường ngắn nhất chính là độ dài $AB$ trên hình vẽ và bằng

$AB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2SA.SB.\cos \widehat{ASB}}=\sqrt{{{60}^{2}}+{{50}^{2}}-2.60.50.\left( -\dfrac{1}{2} \right)}=10\sqrt{91}.$

Ta cần xác định đỉnh dốc: Đỉnh dốc sẽ cách đỉnh $S$ của hình nón một đoạn ngắn nhất nên đỉnh dốc chính là chân đường cao hạ từ $S$ xuống $AB.$

Độ dài đoạn xuống dốc là $x=HB$ theo pitago có:

$\left\{ \begin{gathered} S{H^2} + H{B^2} = S{B^2} \hfill \\ S{H^2} + H{A^2} = S{A^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} S{H^2} + {x^2} = {50^2} \hfill \\ S{H^2} + {(10\sqrt {91} - x)^2} = {60^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {x^2} - {\left( {10\sqrt {91} - x} \right)^2} = {50^2} - {60^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{400}}{{\sqrt {91} }}.$ Chọn đáp án D.

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5