Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân và ứng dụng

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Bài toán 1(Bất đẳng thức Cauchy – schwarz cho tích phân)

Cho $f,g:\left[ a,b \right]\to \mathbb{R}$ là các hàm khả tích trên đoạn $\left[ a,b \right]$. Khi đó ta luôn có

$\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}\int\limits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx}\ge {{\left( \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \right)}^{2}}$.           

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $f=kg$ với số thực $k\ne 0$.

Chứng minh. Với mọi $t\in \mathbb{R}$ xét bình phương ta luôn có : $\int\limits_{a}^{b}{{{\left( tf(x)+g(x) \right)}^{2}}}dx\ge 0$

Điều này tương đương với : $h(t)=\left( \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx} \right){{t}^{2}}+2\left( \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \right)t+\int\limits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx}\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$

Trường hợp : $\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}=0\Leftrightarrow f(x)=0$, bất đẳng thức đã cho là đẳng thức.

Trường hợp : $\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}>0$, đây là tam thức bậc 2 hệ số a dương và luôn không âm, tức biệt thức Delta luôn không dương. Điều này tương đương với $\Delta '={{\left( \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \right)}^{2}}-\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}\int\limits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx}\le 0$.

Vì vậy $\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}\int\limits_{a}^{b}{{{g}^{2}}(x)dx}\ge {{\left( \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \right)}^{2}}$.

Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $f=kg$, trong đó $k$là hằng số tự do.

Bài toán 2(Bất đẳng thức Holder tích phân cho các hàm khả tích)

Cho $f,g:\left[ a,b \right]\to \mathbb{R}$ là các hàm khả tích trên $\left[ a,b \right]$ khi đó ta có

$\left| \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \right|\le {{\left( \int\limits_{a}^{b}{{{\left| f(x) \right|}^{p}}dx} \right)}^{\dfrac{1}{p}}}.{{\left( \int\limits_{a}^{b}{{{\left| g(x) \right|}^{q}}dx} \right)}^{\dfrac{1}{q}}}$                        

trong đó $p,q$ là các số thực dương thoả mãn $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1.$

Bài viết được trích từ Bài giảng và câu hỏi đề thi khoá PRO XMAX vận dụng cao môn Toán phát hành tại Vted.vn

>>Xem thêm Thi Online - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 01)

>>Xem thêm Thi Online - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 02)

>>Xem thêm Thi Online - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 03)

CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ:

Ví  dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1].$ Biết $f\left( 1 \right)=4$ và $\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=1,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=20.$ Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng

Giải. Tích phân từng phần ta có: $1 = \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d\left( {\dfrac{1}{2}{x^2}} \right)} = \dfrac{1}{2}{x^2}f\left( x \right)\left| \begin{gathered} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. - \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{2}{x^2}f'\left( x \right)dx} $

$\Leftrightarrow 1=\dfrac{1}{2}f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx}=2$

Mặt khác ${{\left[ \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)dx} \right]}^{2}}\le \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}dx}\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=\dfrac{1}{5}\times 20=4.$

Do đó dấu bằng phải xảy ra tức ${f}'\left( x \right)=k{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{k{{x}^{3}}}{3}+4-\dfrac{k}{3},\left( f\left( 1 \right)=4 \right)$

$\Rightarrow 1=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x\left( \dfrac{k{{x}^{3}}}{3}+4-\dfrac{k}{3} \right)dx}\Leftrightarrow k=10\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{10{{x}^{3}}+2}{3}dx}=\dfrac{3}{2}.$ Chọn đáp án B.

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5