Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng cách đưa về biện luận nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

Ví dụ 1: Cho hai hàm số $f(x)=\dfrac{(m-1)x-2m}{x-2}$ và $g(x)={{2}^{-\ln (x+1)}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}-1}+\dfrac{x+1}{x-3}.$ Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại đúng hai điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi

A. $m\in \left( 2;+\infty \right).$

B. $m\in \left( 0;2 \right).$

C. $m\in \left[ 2;+\infty \right).$

D. \[m\in \left( -\infty ;2 \right].\]

Link câu hỏi: https://www.askmath.vn/cau-hoi/cho-hai-ham-so-va-do-thi-cua-hai-ham-so-da-cho-cat-nhau-tai-dung/7e9b7b15-c255-4d06-94e5-88168766de52

Phương trình hoành độ giao điểm: ${{2}^{-\ln (x+1)}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}-1}+\dfrac{x+1}{x-3}=\dfrac{(m-1)x-2m}{x-2}=m-\dfrac{x}{x-2}\Leftrightarrow m=h(x)={{2}^{-\ln (x+1)}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}-1}+\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{x}{x-2}(*).$

Xét hàm số $h(x)={{2}^{-\ln (x+1)}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}-1}+\dfrac{x+1}{x-3}+\dfrac{x}{x-2}$ trên $D=\left( 0;+\infty \right)\backslash \{2,3\}.$

Có ${h}'(x)=-\dfrac{1}{x+1}{{2}^{-\ln (x+1)}}\ln 2-\dfrac{{{2}^{x}}\ln 2}{{{\left( {{2}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-\dfrac{4}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in D.$

Bảng biến thiên:

Vậy cắt tại đúng hai điểm có hoành độ dương khi và chỉ khi (*) có đúng hai nghiệm dương. Quan sát bảng biến thiên suy ra $m\le 2.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hai hàm số $y=\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|$ và $y=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x}+4m-2020.$ Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng

A. $506.$

B. $1011.$

C. $2020.$

D. $1010.$

Link câu hỏi: https://www.askmath.vn/cau-hoi/cho-hai-ham-so-yln-left-dfracx2x-right-va/4d0dd203-e801-4638-a2b3-f118baa04a2c

Phương trình hoành độ giao điểm. $\ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x}+4m-2020\Leftrightarrow m=g(x)=\dfrac{1}{4}\left[ \ln \left| \dfrac{x-2}{x} \right|-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{1}{x}+2020 \right].$

Điều kiện. $x\in \mathbb{R}\backslash \{0,2\}.$ Có ${g}'(x)=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{2}{x(x-2)}+\dfrac{3}{{{(x-2)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$

Bảng biến thiên:Cắt nhau tại 1 điểm khi và chỉ khi (*) có đúng 1 nghiệm. Từ bảng biến thiên suy ra $m=505;m=506;m=505+\dfrac{\ln 3}{4}.$ Tổng các số nguyên cần tìm bằng $505+506=1011.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hai hàm số $y=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+\left| 2x \right| \right);y=-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3$ có đồ thị lần lượt là $({{C}_{1}}),({{C}_{2}}).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] trên đoạn \[\left[ -2020;2020 \right]\] để $({{C}_{1}})$ cắt $({{C}_{2}})$ tại 3 điểm phân biệt?

A. \[4040.\] 

B. \[2020.\] 

C. \[2021.\]

D. \[4041.\]

Giải. Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{gathered} \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)\left( {m + \left| {2x} \right|} \right) = - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m + \left| {2x} \right| = \dfrac{{ - 12{x^4} - 22{x^3} - {x^2} + 10x + 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 1} \right)}} = - 2x + \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2x + 1}} + \dfrac{1}{{3x + 1}} \hfill \\ \Leftrightarrow m = g(x) = - 2\left( {x + \left| x \right|} \right) + \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2x + 1}} + \dfrac{1}{{3x + 1}}(*). \hfill \\ \end{gathered} $

*Chú ý: $\dfrac{-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3}{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)}=-2x+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x+1}$ phân tích tương tự phương pháp tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ.

Có ${g}'(x)=-2\left( 1+\dfrac{x}{\left| x \right|} \right)-\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0,-1,-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3} \right\}.$

Bảng biến thiên:

Vậy $({{C}_{1}})$ cắt $({{C}_{2}})$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có ba nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow m\ge 0\Rightarrow m\in \left\{ 0,...,2020 \right\}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu $m$ nguyên dương để hai đường cong $({{C}_{1}}):y=\left| 2+\dfrac{2}{x-10} \right|$ và $({{C}_{2}}):y=\sqrt{4x-m}$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương?

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\sqrt{4x-m}=\left| 2+\dfrac{2}{x-10} \right|\Leftrightarrow 4x-m={{\left( 2+\dfrac{2}{x-10} \right)}^{2}}\Leftrightarrow m=g(x)=4x-{{\left( 2+\dfrac{2}{x-10} \right)}^{2}}(*).$

Ta cần tìm $m$ để (*) có đúng ba nghiệm dương.

Xét hàm số \[g(x)=4x-{{\left( 2+\dfrac{2}{x-10} \right)}^{2}}\] trên $\left( 0;+\infty \right)\backslash \{10\}$ có

${g}'(x)=4-2\left( 2+\dfrac{2}{x-10} \right)\left( -\dfrac{2}{{{(x-10)}^{2}}} \right)=0\overset{0<x\ne 0}{\longleftrightarrow}x={{x}_{0}}\approx 9,2291.$

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên suy ra $-\dfrac{81}{25}<m<36,563\Rightarrow m\in \left\{ 1,...,36 \right\}$ có 36 số nguyên dương thoả mãn. Chọn đáp án C.