Biện luận số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số dựa trên bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số

Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc một số câu hỏi vận dụng về tiệm cận đứng của đồ thị hàm số với giả thiết thông qua bảng biến thiên hoặc đồ thị của một hàm số cho trước:

>Tổng hợp các dạng toán biện luận tiệm cận đứng của đồ thị hàm số hay gặp

Cho hàm số bậc ba $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên:

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $g(x)=\dfrac{({{x}^{2}}+4x+3)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{(f(x))}^{2}}-2f(x) \right]}$ là

Đa thức bậc ba $f(x)$ có ba nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=-3;{{x}_{3}}=a\in (-1;0)$ do đó $f(x)=k{{(x+3)}^{2}}(x-a),\left( k<0 \right).$

Đa thức bậc ba $f(x)-2$ có ba nghiệm ${{x}_{1}}=b<-3;{{x}_{2}}=c\in (-3;-1);{{x}_{3}}=-1$ do đó $f(x)-2=k(x-b)(x-c)(x+1).$

Vì vậy \[g(x)=\dfrac{({{x}^{2}}+4x+3)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{xf(x)\left( f(x)-2 \right)}=\dfrac{(x+1)(x+3)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{{{k}^{2}}x{{(x+3)}^{2}}(x-a)(x-b)(x-c)(x+1)}.\]

Tập xác định: \[\left\{ \begin{gathered} {x^2} + x \geqslant 0 \hfill \\ x{(x + 3)^2}(x - a)(x - b)(x - c)(x + 1) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 1) \cup (0; + \infty )\backslash \{ - 3,b,c\} .\]

Có \[\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=0;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\infty ;\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\infty ;\underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\infty ;\underset{x\to c}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\infty .\] Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn đáp án D.

Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5