Các dạng bài toán thực tế ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh một trục


Các dạng bài toán thực tế ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh một trục

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 01)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 02)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 03)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 04)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 05)

>>Xem bài giảng đã phát hành trước đó: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Tổng ôn Các dạng bài toán thực tế Khối tròn xoay (Nón, trụ, Cầu)

Bài toán 1: V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường y=f(x), trục hoành và nằm giữa hai đường thẳng x=a; x=b (với a<b) là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}.$

Bài toán 2: V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ nằm về cùng một phía với trục hoành giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y=g(x) và nằm giữa hai đường thẳng x=a; x=b (với a<b) là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}(x)-{{g}^{2}}(x) \right|dx}.$

Khi hình phẳng $(H)$ vừa nằm trên và dưới trục hoành thì đưa về hình phẳng $({H}')$ gồm: giữ nguyên $(H)$ trên trục hoành + lấy đối xứng qua trục hoành phần phía dưới trục hoành của $(H)$ (Vận dụng – Xem chi tiết Video Live)

Bài toán 3: V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi ba đường (Vận dụng)

Thực hiện tương tự như S hình phẳng giới hạn bởi ba đường

Bài toán 4: Thể tích chỏm cầu bán kính $r$ và chiều cao $h$ là \[V=\pi {{h}^{2}}\left( r-\dfrac{h}{3} \right).\]

Chứng minh. Xét đường tròn lớn của khối cầu và gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Đường tròn lớn có tâm $I\left( r;0 \right),R=r$ là ${{\left( x-r \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}\Rightarrow y=f\left( x \right)=\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( x-r \right)}^{2}}}=\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}$ là nửa đường tròn phía trên trục hoành.

Thể tích của khối chỏm cầu là \[V=\pi \int_{0}^{h}{f}{{(x)}^{2}}dx=\pi \int_{0}^{h}{\left( 2rx-{{x}^{2}} \right)}dx=\pi {{h}^{2}}\left( r-\dfrac{h}{3} \right).\]

Bài toán 5: Thể tích của chiếc phao hình xuyến với bán kính vòng trong và vòng ngoài lần lượt là $r,\text{ }R$ là $V=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}(R+r){{(R-r)}^{2}}.$

Chứng minh. Hình xuyến này được tạo thành khi quay hình tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 0;\dfrac{R+r}{2} \right)$ bán kính $\dfrac{R-r}{2}$ quanh trục hoành

Phương trình đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{R+r}{2} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow y=\dfrac{R+r}{2}\pm \sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Vì vậy $V=\pi \int\limits_{-\dfrac{R-r}{2}}^{\dfrac{R-r}{2}}{\left[ {{\left( \dfrac{R+r}{2}+\sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{R+r}{2}-\sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right]dx}$$=2\pi \left( R+r \right)\int\limits_{-\dfrac{R-r}{2}}^{\dfrac{R-r}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}.$

Tích phân $\int\limits_{-\dfrac{R-r}{2}}^{\dfrac{R-r}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}$ chính là diện tích của nửa hình tròn bán kính $\dfrac{R-r}{2}$

Vì vậy $V=2\pi \left( R+r \right)\times \dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( R+r \right){{\left( R-r \right)}^{2}}.$

Ví dụ 1: Một cái cổng chào bằng hơi có chiều cao so với mặt đất $11 \mathrm{~m}$ (không tính phần phao chứa không khí), chân của cổng chào tiếp xúc với mặt đất theo một đường tròn có đường kính là $2 \mathrm{~m}$ và bề rộng của cống chào là $22 \mathrm{~m}$ (không tính phần phao chứa không khi). Bỏ qua độ dày của lớp vỏ cổng chào. Tính thể tích không khí chứa bên trong cồng chào.

Áp dụng công thức với $r=11\text{ m},R=13\text{ m}$ thể tích không khí chứa bên trong cổng chào (nửa chiếc phao) là $V=\dfrac{1}{8}{{\pi }^{2}}\left( R+r \right){{\left( R-r \right)}^{2}}=\dfrac{1}{8}{{\pi }^{2}}\left( 13+11 \right){{\left( 13-11 \right)}^{2}}=12{{\pi }^{2}}\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Một phao bơi được bơm từ một cái ruột xe hơi và có kích thước như hình sau

Thể tích của phao bơi (không kể đầu van và coi độ dày của phao không đáng kể) bằng

Áp dụng công thức với $r=20\text{ cm},R=40\text{ cm}$ thể tích của chiếc phao bơi là $V=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( R+r \right){{\left( R-r \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( 40+20 \right){{\left( 40-20 \right)}^{2}}=6000{{\pi }^{2}}\text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong lễ bàn giao công trình của một công ty xây dựng cầu đường, công ty thiết kế một cổng chào bằng phao chứa không khí ở bên trong, có hình dạng giống như một nửa cái săm ô tô khi bơm căng. Cổng chào có chiều cao so với mặt đường là $8m$ (tham khảo hình vẽ), phần chân của cổng chào tiếp xúc với mặt đường theo một hình tròn có đường kính là $2m.$ Nếu bỏ qua độ dày của lớp vỏ cổng chào, mặt đường coi là bằng phẳng thì thể tích không khí chứa bên trong cổng chào bằng

$R=8,\text{ }r=6$ nên thể tích của nửa chiếc phao là $\dfrac{1}{8}{{\pi }^{2}}(R+r){{(R-r)}^{2}}=\dfrac{1}{8}{{\pi }^{2}}(8+6){{(8-6)}^{2}}=7{{\pi }^{2}}\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ $R_1=21 \mathrm{~cm},$ bán kính đường tròn lớn $R_2=31 \mathrm{~cm}.$ Thể tích không khí được chứa bên trong săm (bỏ qua độ dày vỏ săm) là

A. $700{{\pi }^{2}}~\text{c}{{\text{m}}^{3}}.$

B. $1030{{\pi }^{2}}~\text{c}{{\text{m}}^{3}}.$

C. $1300{{\pi }^{2}}~\text{c}{{\text{m}}^{3}}.$

D. $2024{{\pi }^{2}}~\text{c}{{\text{m}}^{3}}.$

$V=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right){{\left( {{R}_{2}}-{{R}_{1}} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( 21+31 \right){{\left( 31-21 \right)}^{2}}=1300{{\pi }^{2}}\text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Trong đợt tồ chức HKPĐ tỉnh Nghệ An lần thứ $XX$, ban tồ chức thiết kế một cổng chào bằng phao chứa không khí ở bên trong, có hình dạng như một nửa cái Săm ô tô khi bơm căng (tham khảo hình vẽ). Cổng chào có chiều cao so với mặt sân là $9 m$ (tính cả phần phao chứa không khí), phần chân của cổng chào tiếp xúc với mặt sân theo một đường tròn có đường kính là $2 m$ và bề rộng của cổng chào là $18 m$ (tính cả phần phao chứa không khí). Bỏ qua độ dày của lớp vỏ cổng chào, mặt sân coi là bằng phẳng. Tính thể tích không khí chứa bên trong cổng chào.
A. $8 \pi^2\left(\mathrm{~m}^3\right)$.
B. $16 \pi^2\left(m^3\right)$.
C. $9 \pi^2\left(m^3\right)$.
D. $4 \pi^2\left(\mathrm{~m}^3\right)$.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Một số câu hỏi có trong đề thi này:

Câu 26 [Q683546930] Trên mặt bàn, có một cái bánh kem hình chuông úp ngược. Mỗi lát cắt của bánh song song với mặt bàn đều là hình tròn, lát cắt dọc đi qua đỉnh bánh có dạng đồ thị của một parabol. Người ta muốn cắt ngang cái bánh để chia nó thành hai phần có thể tích bằng nhau. Biết rằng bánh cao $36 \mathrm{~cm}$ và bán kính đường tròn đáy là $6 \mathrm{~cm}$. Hỏi nhát cắt cần tìm có độ cao $h$ so với mặt bàn là bao nhiêu $\mathrm{cm}$ ?
$\square$A. $h=18-4 \sqrt{2}$.$\square$(1) $\square$C. $h=18$. $\square$B. $h=36-9 \sqrt{2}$. $\square$$\square$$\square$$\square$ D. $h=36-18 \sqrt{2}$.

Câu 28 [Q168596635] Cho chiếc trống dạng khối tròn xoay như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn có độ dài trục lớn bằng $80 \mathrm{~cm}$ và độ dài trục nhỏ bằng $60 \mathrm{~cm}$, đáy trống là hình tròn có bán kính bằng $60 \mathrm{~cm}$. Thể tích của chiếc trống bằng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
A. $344963\left(\mathrm{~cm}^3\right)$.
B. $344964\left(\mathrm{~cm}^3\right)$.
C. $208347\left(\mathrm{~cm}^3\right)$.
D. $208346\left(\mathrm{~cm}^3\right)$.

Câu 32 [Q793357965] Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ "cách điệu" cho ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng $O O^{\prime}=5 \mathrm{~cm}, O A=10 \mathrm{~cm}, O B=20 \mathrm{~cm}$, đường cong $A B$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $A$.Thể tích của chiếc mũ bằng

Câu 34 [Q674714134] Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(H)$ (phần màu xám trong hình vẽ bên) quanh trục $A C$ Biết rằng $A C=2 \mathrm{~cm}, B$ là trung điểm $A C$, miền $(H)$ được giới hạn bởi đoạn thẳng $B C$ và các cung tròn bán kính $1 \mathrm{~cm}$ có tâm $A$ và $B$. Thể tích của vật trang trí đó gần nhất với kết quả nào sau đây?
Câu 35 [Q745669399] Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục $A B$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $A B, A D$ của hình vuông $A B C D$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1 \mathrm{~cm}$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $B C, A D$. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Câu 36 [Q518122725] Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai Parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao $h$ của mực cát bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi $14,75 \mathrm{~cm}^3 /$ phút. Khi chiều cao của cát còn $4(\mathrm{~cm})$ thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi $8 \pi(\mathrm{cm})$. Biết sau 20 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. $19(\mathrm{~cm})$.
B. $17(\mathrm{~cm})$.
C. $21(\mathrm{~cm})$.
D. $12(\mathrm{~cm})$.

Câu 40 [Q363834666] Một vật nặng được bắn lên từ điểm $O$ trên mặt đất với vận tốc ban đầu $v_0=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, các góc bắn $\alpha$ với $30^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ (bỏ qua sức cản không khí và coi gia tốc rơi tự do là $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ). Cho biết với góc bắn $\alpha<90^{\circ}$ thì quỹ đạo của vật là một phần của parabol $y=x \tan \alpha-\frac{g}{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha} x^2$ và xét trên một mặt phẳng thẳng đứng, khi $\alpha$ thay đổi thì các quỹ đạo của vật nặng sinh ra một hình phẳng giới hạn bởi một phần của parabol $(P)$ và mặt đất (xem hình vẽ), thể tích của vùng không gian chứa tất cả các vị trí có thể của vật nặng gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. $802,6 \mathrm{~m}^3$.
B. $785,4 \mathrm{~m}^3$.
C. $589,1 \mathrm{~m}^3$.
D. $644,3 \mathrm{~m}^3$.

Câu 46 [Q544488954] Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(H)$ (phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới) quanh trục $A C$. Biết rằng $A C=5 \mathrm{~cm}, B C=3 \mathrm{~cm}$, miền $(H)$ được giới hạn bởi đoạn thẳng $A B$, cung tròn $B D$ có tâm $C$, đường cong elip $A D$ có trục $A C$ và $C D$. Thể tích của vật trang trí bằng
A. $60 \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
B. $30 \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
C. $12\left(\mathrm{~cm}^3\right)$.
D. $12 \pi\left(\mathrm{cm}^3\right)$.

Câu 51 [Q302113310] Từ một bấm bìa giấy hình chữ nhật $A B C D$ có kích thước $A B=8 \mathrm{~cm}, A D=16 \mathrm{~cm}$, người ta vẽ một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh $A D, B C, C D$ và kẻ một đường thẳng $d$ cắt đường tròn theo dây $M N$. Biết $d$ cắt cạnh $A D$ tại $P$ sao cho $A P=P C$ và $d$ chia tấm bìa thành hai miền có diện tích bằng nhau. Quay tấm bìa quanh cạnh $B C$ thì miền phẳng được tô đậm tạo thành một vật thể tròn xoay có thể tích gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. $1233 \mathrm{~cm}^3$.
B. $1227 \mathrm{~cm}^3$.
C. $1200 \mathrm{~cm}^3$.
D. $1240 \mathrm{~cm}^3$.

Câu 58 [Q842415687] Một thùng đựng bia hơi (có dạng khối tròn xoay như hình vẽ) có đường kính đáy là $30 \mathrm{~cm}$, đường kính lớn nhất của thân thùng là $40 \mathrm{~cm}$, chiều cao thùng là $60 \mathrm{~cm}$, các cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Thể tích của thùng bia hơi gần nhất với kết quả nào dưới đây? (giả sử độ dày thùng bia không đáng kể).
A. 70 (lít).
B. 60 (lít).
C. 64 (lít).
D. 62 (lít).

Câu 60 [Q731673282] Cho hình thanh vuông $A B C D$ với $A B=B C=8 \mathrm{~cm}, C D=4 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$. Người ta gắn một hình tròn nhận $A B$ làm đường kính và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$. Khi quay hình tròn này quanh trục $C D$ thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng
A. $\frac{128 \pi \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}^3$.
B. $\frac{32 \pi \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}^3$.
C. $\frac{64 \pi \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}^3$.
D. $\frac{160 \pi \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}^3$.

Câu 63 [Q553886585] Người ta cắt hai hình cầu có bán kính lần lượt là $R=13 \mathrm{~cm}$ và $r=\sqrt{41} \mathrm{~cm}$ để làm hồ lô đựng rượu như hình vẽ bên. Biết đường tròn giao của hai hình cầu có bán kính $r^{\prime}=5 \mathrm{~cm}$ và nút uống rượu là một hình trụ có bán kính đáy bằng $\sqrt{5} \mathrm{~cm}$, chiều cao bằng $4 \mathrm{~cm}$. Giả sử độ đày vỏ hồ lô không đáng kể. Hỏi hồ lô đựng được bao nhiêu lít rượu ? (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân sau dấu phẩy).
A. 9,5 .
B. 10,2 .
C. 8,2 .
D. 11,4 .

Câu 64 [Q543312862] Cho hình tứ diện $A B C D$ có $A D$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ và tam giác $A B C$ vuông tại $B$. Biết $B C=a, A B=a \sqrt{3}, A D=3 a$. Quay các tam giác $A B C$ và $A B D$ (bao gồm cả điểm bên trong tam giác) xung quanh đường thẳng $A B$ ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của hai khối nón tròn xoay bằngA. $\frac{8 a^3 \pi \sqrt{3}}{3}$.B. $\frac{3 a^3 \sqrt{3} \pi}{16}$.C. $\frac{4 a^3 \sqrt{3} \pi}{16}$.D. $\frac{5 a^3 \pi \sqrt{3}}{16}$.

Câu 65 [Q351542135] Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh $a$. Gọi $O$ là tâm tam giác $B C D$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A B, A C$. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $B M N C$ quanh trục $O A$.A. $\frac{7 \pi a^3 \sqrt{6}}{96}$.B. $\frac{7 \pi a^3 \sqrt{6}}{288}$.C. $\frac{7 \pi a^3 \sqrt{6}}{216}$.D. $\frac{\pi a^3 \sqrt{6}}{36}$.

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả