Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong hệ toạ độ Oxyz

Trong bài viết này Vted sẽ giới thiệu đến các em một số dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng hay gặp trong các đề thi. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các em trong quá trình ôn luyện và tham gia các kì thi sắp tới.

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận góc trong hệ toạ độ Oxyz

>>Xem thêm phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng

A – Kiến thức cần dùng

+ Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng d:

Giải phương trình $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0,H\in d$ khi đó độ dài đoạn $AH$ chính là khoảng cách từ A đến d.

+ Hình chiếu vuông góc của điểm A(a;b;c) lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt là H(a;0;0), K(0;b;0), T(0;0;c)

+ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính theo công thức $d\left( A,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|},M\in d$

Chứng minh. Trên $d$ lấy thêm điểm $B$ sao cho $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}$

$\Rightarrow d\left( A,d \right)=AH=\dfrac{2{{S}_{ABM}}}{MB}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{MB} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{MB} \right|}=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$

B – Các dạng toán

Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khi đường thẳng qua một điểm

Xét đường thẳng $d$ đi qua $M\Rightarrow d{{\left( A,d \right)}_{\max }}=AM\Leftrightarrow d\bot AM;d{{\left( A,d \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow A\in d$

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 2;0;1 \right),B\left( 1;1;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-2z+2=0.$ Gọi $d$ là đường thẳng qua $B$ song song với $\left( P \right)$ và cách điểm $A$ một khoảng lớn nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Ta có $d\left( A,d \right)\le AB=\sqrt{3}$ đạt tại $d\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{AB}\left( -1;1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 2;1;-2 \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 3;0; - 3} \right)||\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ y = 1 \hfill \\ z = 2 + t \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;2;2 \right),B\left( 3;5;8 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ cắt trục $Ox$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $d$ lớn nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Ta có $d\left( B,d \right)\le BA=7.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $d\bot \overrightarrow{AB}\left( 2;3;6 \right).$

Gọi $M\left( m;0;0 \right)=d\cap Ox\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AM}\left( m-1;-2;-2 \right)\bot \overrightarrow{AB}\left( 2;3;6 \right)$

$\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)-6-12=0\Leftrightarrow m=10\Rightarrow \overrightarrow{AM}\left( 9;-2;-2 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{9}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z-2}{-2}.$ Chọn đáp án C.

Cách 2: Gọi $M\left( m;0;0 \right)=d\cap Ox\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AM}\left( m-1;-2;-2 \right);\overrightarrow{AB}\left( 2;3;6 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right]=\left( 6;6m-2;-3m-1 \right)$

Khi đó $d\left( B,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=g\left( m \right)=\sqrt{\dfrac{36+{{\left( 6m-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3m+1 \right)}^{2}}}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+4+4}}\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,g\left( m \right)=g\left( 10 \right)=7.$ Ta có cùng kết quả như cách 1.

Bài toán 2: Tổng khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng khi đường thẳng qua một điểm

Xét đường thẳng $d$ qua $M\Rightarrow \left[ \alpha d\left( A,d \right)+\beta d\left( B,d \right) \right]\max \Leftrightarrow d\bot \left( ABM \right),\left( \alpha ,\beta >0 \right)$

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 2;3;6 \right).$ Xét đường thẳng $d$ qua gốc toạ độ $O$ sao cho tổng khoảng cách từ $A$ và $B$ đến $d$ đạt giá trị lớn nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Ta có $T=d\left( A,d \right)+d\left( B,d \right)\le AO+BO=\text{const.}$

Dấu bằng đạt tại $d\bot OA;d\bot OB\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=\left( 15;-8;-1 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{-8}=\dfrac{z}{-1}.$ Chọn đáp án D.

Bài toán 3: Tổng khoảng cách từ ba điểm đến đường thẳng khi đường thẳng qua một điểm

Xét đường thẳng $d$ qua $M\Rightarrow \left[ \alpha d\left( A,d \right)+\beta d\left( B,d \right)+\gamma d\left( C,d \right) \right]\max \Leftrightarrow d\bot \left( ABC \right),\left( M\in \left( ABC \right);\alpha ,\beta ,\gamma >0 \right)$

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right),C\left( 0;0;3 \right).$ Xét đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( 1;2;3 \right)$ sao cho tổng khoảng cách từ $A,B$ và $C$ đến $d$ đạt giá trị lớn nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Ta có $\left( ABC \right):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{-2}+\dfrac{z}{3}=1\Rightarrow M\left( 1;2;3 \right)\in \left( ABC \right).$

Khi đó $T=d\left( A,d \right)+d\left( B,d \right)+d\left( C,d \right)\le AM+BM+CM=\text{const.}$

Dấu bằng đạt tại $d\bot AM;d\bot BM;d\bot CM\Leftrightarrow d\bot \left( ABC \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=\left( \dfrac{1}{1};\dfrac{1}{-2};\dfrac{1}{3} \right)||\left( 6;-3;2 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z-3}{2}.$ Chọn đáp án A.

Bài toán 4: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khi đường thẳng qua một điểm và nằm trong mặt phẳng

Xét đường thẳng $d$ thay đổi qua điểm $A$ và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right).$ Biện luận khoảng cách từ điểm $B$ đến $d$

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $\left( P \right),d\Rightarrow BH=d\left( B,\left( P \right) \right);BK=d\left( B,d \right)$

Ta có $BK\ge BH=d\left( B,\left( P \right) \right)=\text{const}\Rightarrow \text{d}{{\left( B,d \right)}_{\min }}=d\left( B,\left( P \right) \right)\Leftrightarrow K\equiv H\Leftrightarrow d\equiv AH$

Và $BK\le BA=\text{const}\Rightarrow \text{d}{{\left( B,d \right)}_{\max }}=BA\Leftrightarrow K\equiv A\Leftrightarrow d\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]$

*Giả thiết nằm trong mặt phẳng thay thế bởi vuông góc với một véctơ, song song với một mặt phẳng, vuông góc với một đường thẳng, cắt một đường thẳng,…

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 1;2;2 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng qua gốc toạ độ $O$ và nằm trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $d$ nhỏ nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Gọi $H\left( 1;2;0 \right)=h/c\left( A,\left( Oxy \right) \right);K=h/c\left( A,d \right)\Rightarrow d\left( A,d \right)=AK\ge AH=2.$

Dấu bằng đạt tại $K \equiv H \Leftrightarrow d \equiv OH \Rightarrow d:\left\{ \begin{gathered} x = t \hfill \\ y = 2t \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 1;2;2 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng qua gốc toạ độ $O$ và nằm trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Gọi $H\left( 1;2;0 \right)=h/c\left( A,\left( Oxy \right) \right);K=h/c\left( A,d \right)\Rightarrow d\left( A,d \right)=AK\le AO=3.$

Dấu bằng đạt tại $K \equiv O \Leftrightarrow d \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_{\left( {Oxy} \right)}}} } \right] = \left( {2; - 1;0} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{gathered} x = 2t \hfill \\ y = - t \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A\left( -3;0;1 \right),B\left( 1;-1;3 \right).$ Đường thẳng qua $A$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ cách $B$ một khoảng nhỏ nhất có phương trình là

Giải. Vì $A\left( -3;0;1 \right)\in d;d//\left( P \right):x-2y+2z-5=0\Rightarrow d\subset \left( Q \right):x-2y+2z+1=0$ là mặt phẳng qua $A$ song song với $\left( P \right)$

Gọi $H\left( -\dfrac{1}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{7}{9} \right)=\mathbf{h/c}\left( \mathbf{B,}\left( \mathbf{Q} \right) \right);K=\mathbf{h/c}\left( \mathbf{B,d} \right)\Rightarrow BK=d\left( B,d \right)\ge BH=\mathbf{const}.$

Dấu bằng xảy ra khi $K\equiv H\Rightarrow d\equiv AH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AH}\left( \dfrac{26}{9};\dfrac{11}{9};-\dfrac{2}{9} \right)//\left( 26;11;-2 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;2;2 \right),B\left( 3;5;8 \right).$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ cắt trục $Ox$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $d$ nhỏ nhất. Phương trình của $d$ là

Giải. Vì $d$ là đường thẳng đi qua $A$ cắt trục $Ox$ nên $d$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa trục $Ox$ và $A$

Ta có $O\in Ox,\overrightarrow{OA}\left( 1;2;2 \right),\overrightarrow{{{u}_{Ox}}}=\overrightarrow{i}\left( 1;0;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{i} \right]=\left( 0;2;-2 \right)\Rightarrow \left( P \right):y-z=0$

Gọi $H\left( 3;\dfrac{13}{2};\dfrac{13}{2} \right)=h/c\left( B,\left( P \right) \right);K=h/c\left( B,d \right)\Rightarrow d\left( B,d \right)=BK\ge BH=d\left( B,\left( P \right) \right)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $K\equiv H\Leftrightarrow d\equiv AH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AH}\left( 2;\dfrac{9}{2};\dfrac{9}{2} \right)||\left( 4;9;9 \right)\Rightarrow d:\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-2}{9}=\dfrac{z-2}{9}.$ Chọn đáp án A.

Cách 2: Gọi $M\left( m;0;0 \right)=d\cap Ox\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AM}\left( m-1;-2;-2 \right);\overrightarrow{AB}\left( 2;3;6 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right]=\left( 6;6m-2;-3m-1 \right)$

Khi đó $d\left( B,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{AM} \right|}=g\left( m \right)=\sqrt{\dfrac{36+{{\left( 6m-2 \right)}^{2}}+{{\left( 3m+1 \right)}^{2}}}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+4+4}}\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,g\left( m \right)=g\left( \dfrac{1}{9} \right)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}.$ Ta có cùng kết quả như cách 1.

Ví dụ 5: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{-2}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và cách $A$ một khoảng lớn nhất. Khoảng cách từ điểm $M\left( 5;-1;3 \right)$ đến $\left( P \right)$ bằng

A. $\dfrac{2}{3}$. B. $\dfrac{7}{3}$.              C. $\dfrac{1}{3}$.              D. 1 .

Giải. Gọi \[H\left( 2t+4;-t+2;-2t+1 \right)\in d=h/c\left( A,d \right)\]

\[\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}\left( 2t+4;-t+1;-2t-1 \right)\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 2;-1;-2 \right)\]

\[\Leftrightarrow 2\left( 2t+4 \right)-\left( -t+1 \right)-2\left( -2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow \overrightarrow{AH}\left( 2;2;1 \right)\]

Ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)\le AH=\text{const}.$ Dấu bằng xảy ra khi $\left( P \right)\bot AH$

\[\Rightarrow \left( P \right):2x+2y+z-13=0\Rightarrow d\left( M,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 10-2+3-13 \right|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{2}{3}.\] Chọn đáp án A.  

Bài toán 5: Đường thẳng song song và cách đường thẳng cố định một khoảng cho trước (đường sinh của mặt trụ)

Khoảng cách từ điểm đến đường sinh của trụ

Xét đường thẳng $d$ song song và cách đường thẳng $\Delta $ một khoảng bằng $a.$ Biện luận khoảng cách từ $A$ đến $d$

Ta có $d||\Delta ,d\left( d,\Delta \right)=a\Rightarrow d$ là đường sinh của mặt trụ có trục $\Delta $ bán kính $a$

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d,\Delta $ và $T$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $d$

Ta có $AH=d\left( A,d \right);AK=d\left( A,\Delta \right);KT=d\left( d,\Delta \right)=a$

Giá trị lớn nhất:

Ta có $AH\le AT\le AK+KT=d\left( A,\Delta \right)+a\Rightarrow d{{\left( A,d \right)}_{\max }}=a+d\left( A,\Delta \right)\Leftrightarrow A,K,H\equiv T$ thẳng hàng theo thứ tự tức $\overrightarrow{AH}=\dfrac{AH}{AK}\overrightarrow{AK}=\dfrac{d\left( A,\Delta \right)+a}{d\left( A,\Delta \right)}\overrightarrow{AK}$

Giá trị nhỏ nhất:

+ Nếu $a\ge d\left( A,\Delta \right)\Rightarrow AH\ge HK-AK\ge KT-AK=a-d\left( A,\Delta \right)$

+ Nếu $a<d\left( A,\Delta \right)\Rightarrow AH\ge AT\ge AK-KT=d\left( A,\Delta \right)-a$

Vậy $d{{\left( A,d \right)}_{\min }}=\left| a-d\left( A,\Delta \right) \right|$

*Ghi nhớ: $d\left( A,d \right)$ lớn nhất hay nhỏ nhất xảy ra khi $A,d,\Delta $ đồng phẳng.

Bài toán 6: Đường thẳng qua một điểm nằm trong mặt phẳng. Biện luận khoảng cách từ đường thẳng đó đến đường thẳng khác

Xét đường thẳng $d\subset \left( P \right)$ và qua điểm $A.$ Biện luận khoảng cách giữa hai đường thẳng $d,\Delta $

Gọi \[H=h/c\left( A,\Delta \right)\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)\le AH=d\left( A,\Delta \right)=\mathbf{const}\]

\[\Rightarrow d{{\left( d,\Delta \right)}_{\max }}=d\left( A,\Delta \right)\Leftrightarrow d\bot AH\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{AH},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right].\]

+ Nếu $\Delta //\left( P \right)\Rightarrow d\left( d,\Delta \right)=d\left( \Delta ,\left( P \right) \right)=\mathbf{const}$

+ Nếu $\Delta \cap \left( P \right)=I\Rightarrow d{{\left( d,\Delta \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow d\equiv AI$

Bài toán 7: Đường thẳng song song và cách mặt phẳng một khoảng cho trước. Biện luận khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Bài toán 8: Đường thẳng tạo với một đường thẳng một góc cho trước (đường sinh của mặt nón)

Bài toán 9: Tổng khoảng cách từ một điểm đến hai đường thẳng

Bài toán 10: Tổng khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng

Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio Fx 580 trong Oxyz

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5