Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz

Bài viết này Vted giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh 3 trong 10 bài toán Biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz được trích từ Bài giảng khoá VDC PRO XMAX, ba bài toán này hay gặp thuộc mức độ vận dụng trong đề thi TN THPT Quốc Gia

>>Xem thêm phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng

Bài toán 1: Mặt phẳng qua một điểm, biện luận khoảng cách từ điểm thứ hai đến mặt phẳng

Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M,$ biện luận $d\left( A,\left( P \right) \right).$

Gọi $H=h/c\left( A,\left( P \right) \right)\Rightarrow d\left( A,\left( P \right) \right)=AH;0\le AH\le AM=\mathbf{const.}$

Vậy $d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\max }}=AM\Leftrightarrow H\equiv M\Leftrightarrow \left( P \right)\bot \overrightarrow{AM};d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow AH=0\Leftrightarrow A\in \left( P \right).$

Ví  dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng \[(\alpha ):a\left( x-2 \right)+b\left( y+1 \right)+c\left( z+2 \right)=0,\left( a,b,c\in \mathbb{R};{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right).\] Khi khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ lớn nhất thì $(\alpha )$ đi qua điểm nào dưới đây?

Giải. Vì \[A\left( 2;-1;-2 \right)\in (\alpha )\Rightarrow d{{\left( O,(\alpha ) \right)}_{\max }}=OA=3\Leftrightarrow (\alpha )\bot \overrightarrow{OA}\left( 2;-1;-2 \right).\]

Do đó \[(\alpha ):2\left( x-2 \right)-\left( y+1 \right)-2\left( z+2 \right)=0\Leftrightarrow (\alpha ):2x-y-2z-9=0\] đi qua điểm \[M\left( 1;-5;-1 \right).\] Chọn đáp án C.

Bài toán 2: Mặt phẳng chứa một đường thẳng, biện luận khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d,$ biện luận $d\left( A,\left( P \right) \right).$

Gọi $H=h/c\left( A,\left( P \right) \right);K=h/c\left( A,d \right)\Rightarrow d\left( A,\left( P \right) \right)=AH;d\left( A,d \right)=AK\Rightarrow 0\le AH\le AK=\mathbf{const.}$

Vậy $d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\max }}=d\left( A,d \right)\Leftrightarrow H\equiv K\Leftrightarrow \left( P \right)\bot \overrightarrow{AK};d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow AH=0\Leftrightarrow A\in \left( P \right)\Rightarrow \left( P \right)\equiv mp\left( A,d \right).$

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 1;2;2 \right).$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất. Phương trình của $\left( P \right)$ là

Giải. Gọi $H\left( 1;0;0 \right)=h/c\left( A,Ox \right);K=h/c\left( A,\left( P \right) \right)$ khi đó

$d\left( A,\left( P \right) \right)=AK\le AH=2\sqrt{2}.$ Dấu bằng xảy ra khi $K\equiv H\Rightarrow \left( P \right)\bot \overrightarrow{AH}\left( 0;-2;-2 \right)\Rightarrow \left( P \right):y+z=0.$ Chọn đáp án C.

Ví  dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng \[(\alpha ):\left( a+2b \right)x+by+\left( 2a+b \right)z+3a+b=0,\left( a,b\in \mathbb{R};{{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0 \right).\] Khi khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ bằng

Giải. Note: Với mặt phẳng phụ thuộc 2 tham số (bậc nhất) sẽ chứa một đường thẳng cố định.

Xét các điểm cố định có toạ độ $(x;y;z)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha )$

\[\begin{gathered} \left( {a + 2b} \right)x + by + \left( {2a + b} \right)z + 3a + b = 0,\forall a,b \hfill \\ \Leftrightarrow a\left( {x + 2z + 3} \right) + b\left( {2x + y + z + 1} \right) = 0,\forall a,b \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 2z + 3 = 0 \hfill \\ 2x + y + z + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 3 - 2t \hfill \\ y = 5 + 3t \hfill \\ z = t \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow (\alpha ) \supset d:\left\{ \begin{gathered} x = - 3 - 2t \hfill \\ y = 5 + 3t \hfill \\ z = t \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} \]

Gọi $H=h/c\left( O,(\alpha ) \right);K=h/c\left( O,d \right)\Rightarrow OH\le OK=\mathbf{const}.$

Vậy \[d{{\left( O,(\alpha ) \right)}_{\max }}=OK=d\left( O,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{OM},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\sqrt{10}}{2},M\left( -3;5;0 \right)\in d,\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( -2;3;1 \right).\] Chọn đáp án A.

Cách 2: Có $d\left( O,(\alpha ) \right)=\dfrac{\left| 3a+b \right|}{\sqrt{{{\left( a+2b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( 2a+b \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| 3t+1 \right|}{\sqrt{{{\left( t+2 \right)}^{2}}+1+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}}},\left( t=\dfrac{a}{b} \right).$

Xét hàm số $g(t)=\dfrac{{{\left( 3t+1 \right)}^{2}}}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}+1+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,g(t)=g(-2)=\dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{\left| 3t+1 \right|}{\sqrt{{{\left( t+2 \right)}^{2}}+1+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}}}\le \sqrt{\dfrac{5}{2}}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Trong không gian \[\text{Ox}yz,\] cho điểm \[A\left( 3;3;-3 \right)\] và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-9}{10}.$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng \[d\] sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất. Điểm nào dưới đây thuộc$\left( P \right)$?

Giải. Gọi $H=h/c(A,(P));K=h/c(A,d)$ khi đó $d(A,(P))=AH\le AK=\mathbf{const.}$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[H\equiv K\Leftrightarrow (P)\] qua $K$ vuông góc với $AK.$

Gọi $K\left( 1+2t;2+3t;9+10t \right)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0$

$\Leftrightarrow \left( 2t-2;3t-1;10t+12 \right)\left( 2;3;10 \right)=0\Leftrightarrow 2\left( 2t-2 \right)+3\left( 3t-1 \right)+10\left( 10t+12 \right)=0\Leftrightarrow t=-1.$

Vì vậy $K\left( -1;-1;-1 \right),\overrightarrow{AK}\left( -4;-4;2 \right)//\left( 2;2;-1 \right)\Rightarrow (P):2x+2y-z+3=0$ đi qua điểm $A\left( 1;1;7 \right).$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;-1;2 \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):x+y-2z+3=0$ và cách điểm $N\left( 1;2;0 \right)$ một khoảng lớn nhất có phương trình là

Giải. Thử đáp án các em thực hiện: $\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=0;M\in \left( P \right);d{{\left( N,\left( P \right) \right)}_{\max }}$ chọn đáp án C.

Cách 1: Hình học

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;-1;2 \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):x+y-2z+3=0$ nên $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( 3;-1;2 \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):x+y-2z+3=0$

Phương trình của $d:\left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = - 1 + t \hfill \\ z = 2 - 2t \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Gọi $H=h/c\left( N,d \right);K=h/c\left( N,\left( P \right) \right)\Rightarrow d\left( N,\left( P \right) \right)=NK\le NH=d\left( N,d \right)=\mathbf{const}.$

Dấu bằng xảy ra khi $K\equiv H\Leftrightarrow \left( P \right)\bot \overrightarrow{NH}$

Gọi $H\left( 3+t;-1+t;2-2t \right)\in d\Rightarrow \overrightarrow{NH}\left( t+2;t-3;-2t+2 \right)\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;1;-2 \right)$

$\Leftrightarrow \left( t+2 \right)+\left( t-3 \right)-2\left( -2t+2 \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{5}{6}$

$\Rightarrow \overrightarrow{NH}\left( \dfrac{17}{6};-\dfrac{13}{6};\dfrac{2}{6} \right)||\left( 17;-13;2 \right)\Rightarrow \left( P \right):17x-13y+2z-68=0.$ Chọn đáp án C.

Cách 2: Gọi $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;a;b \right)\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\left( 1;1;-2 \right)\Leftrightarrow 1+a-2b=0\Leftrightarrow a=2b-1\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;2b-1;b \right)$

$\Rightarrow \left( P \right):1\left( x-3 \right)+\left( 2b-1 \right)\left( y+1 \right)+b\left( z-2 \right)=0$

$\Rightarrow d\left( N,\left( P \right) \right)=g\left( b \right)=\dfrac{\left| -2+3\left( 2b-1 \right)-2b \right|}{\sqrt{1+{{\left( 2b-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}}\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,g\left( b \right)=g\left( \dfrac{2}{17} \right)=\sqrt{\dfrac{77}{6}}.$

Dấu bằng đạt tại $b=\dfrac{2}{17}\Rightarrow \left( P \right):1\left( x-3 \right)-\dfrac{13}{17}\left( y+1 \right)+\dfrac{2}{17}\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow \left( P \right):17x-13y+2z-68=0.$ Ta có cùng kết quả.  

Bài toán 3: Cho khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, biện luận khoảng cách từ điểm thứ hai đến mặt phẳng

Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ có $d\left( B,\left( P \right) \right),$ biện luận $d\left( A,\left( P \right) \right).$

Gọi $H=h/c\left( A,\left( P \right) \right);K=h/c\left( B,\left( P \right) \right)\Rightarrow d\left( A,\left( P \right) \right)=AH;d\left( B,\left( P \right) \right)=BK.$

$\Rightarrow AH\le AK\le AB+BK=AB+d\left( B,\left( P \right) \right)=\mathbf{const.}$ Vậy \[d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\max }}=AB+d\left( B,\left( P \right) \right)\Leftrightarrow H\equiv K\Leftrightarrow \left( P \right)\bot \overrightarrow{AB}\] và $A,B,H$ thẳng hàng theo thứ tự $\overrightarrow{BH}=\dfrac{d\left( B,\left( P \right) \right)}{AB}\overrightarrow{AB}.$

+ Nếu $AB\ge d\left( B,\left( P \right) \right)\Rightarrow AH\ge 0\Rightarrow d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow AH=0\Leftrightarrow A\in \left( P \right)$

+ Nếu $AB<d\left( B,\left( P \right) \right)\Rightarrow AH\ge BH-BA\ge BK-AB=d\left( B,\left( P \right) \right)-AB$

$\Rightarrow d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\min }}=d\left( B,\left( P \right) \right)-AB\Leftrightarrow H\equiv K\Leftrightarrow \left( P \right)\bot \overrightarrow{AB}$ và $B,A,H$ thẳng hàng theo thứ tự hay $\overrightarrow{BH}=\dfrac{d\left( B,\left( P \right) \right)}{BA}\overrightarrow{BA}.$

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cách gốc toạ độ $O$ một khoảng bằng $1.$ Khi khoảng cách từ $A(0;4;-3)$ đến $(P)$ lớn nhất thì $(P)$ qua điểm nào dưới đây?

Giải. Gọi $H=\mathbf{h/c(O,(P))}\Rightarrow OH=d(O,(P))=1.$

Ta có $d(A,(P))\le AH\le AO+OH=5+1=6\Rightarrow d{{\left( A,\left( P \right) \right)}_{\max }}=6$ dấu bằng phải xảy ra khi $A,O,H$ thẳng hàng theo thứ tự hay $\overrightarrow{OH}=-\dfrac{OH}{OA}\overrightarrow{OA}=-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{OA}=-\dfrac{1}{5}(0;4;-3)=\left( 0;-\dfrac{4}{5};\dfrac{3}{5} \right)\Rightarrow (P):4y-3z+5=0$ đi qua điểm $M(0;-2;-1).$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;\,2;\,1 \right),B\left( 3;\,4;\,0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+46=0$. Biết rằng khoảng cách từ $A,\,B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lần lượt bằng $6$ và $3$. Giá trị của biểu thức $T=a+b+c$ bằng

Giải. Ta có $AB=3=d(A,(P))-d(B,(P)).$ Gọi $H=h/c(B,(P))$ ta có $BH=3,AH\ge d(A,(P))=6.$ Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác có $3+3=AB+BH\ge AH\ge d(A,(P))=6.$

Vậy dấu bằng phải xảy ra tức $A,B,H$ thẳng hàng theo thứ tự và $AB\bot (P)$ trong đó điểm $H$ xác định bởi $\overrightarrow{AH}=\dfrac{AH}{AB}\overrightarrow{AB}=2(2;2;-1)\Rightarrow H(5;6;-1).$ Vậy mặt phẳng cần tìm là $2(x-5)+2(y-6)-1(z+1)=0\Leftrightarrow 2x+2y-z-23=0\Leftrightarrow -4x-4y+2z+46=0.$

Vậy $a+b+c=-4-4+2=-6.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A(-1;-2;-3),B(-6;10;-3).$ Có bao nhiêu mặt phẳng cách điểm $A$ một khoảng bằng $15$ và cách điểm $B$ một khoảng bằng $2?$

Giải. Gọi $(P)$ là mặt phẳng cần tìm, có $AB=13=d(A,(P))-d(B,(P)).$

Gọi $H=h/c(B,(P))\Rightarrow BH=2$ và theo bất đẳng thức tam giác có $13+2=AB+BH\ge AH\ge d(A,(P))=15.$

Vậy dấu bằng phải xảy ra tức $A,B,H$ thẳng hàng theo thứ tự và $AB\bot (P)$ trong đó điểm $H$ xác định bởi $\overrightarrow{AH}=\dfrac{AH}{AB}\overrightarrow{AB}=\dfrac{15}{13}(-5;12;0)\Rightarrow H$ duy nhất nên có đúng một mặt phẳng thoả mãn. Chọn đáp án B.

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong hệ toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Các dạng toán biện luận góc trong hệ toạ độ Oxyz

Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio Fx 580 trong Oxyz

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max