Các dạng toán Mô hình Input - Output của Leontief và phương pháp giải

Hệ phương trình Cramer lý thuyết và phương pháp giải

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài 4: Mô hình Input - Output của Leontief

Bài 5: Mô hình cân bằng thị trường và cân bằng kinh tế vĩ mô

Ví dụ 1: Giả sử một nền kinh tế có ba nghành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,3}&{0,1}&{0,2} \\ {0,2}&{0,3}&{0,2} \\ {0,2}&{0,2}&{0,2} \end{array}} \right).$

a) Nêu ý nghĩa của số 0,1 trong ma trận A;

b) Hãy tìm tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 2 trong tổng giá trị sản xuất của ngành đó;

c) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Leontief;

d) Cho biết lượng cầu cuối đối với hàng hoá của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 100 triệu USD, 200 triệu USD, 300 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành.

Giải. 

a)Ta có ${{a}_{12}}=0,1$ có nghĩa là để tạo ra 1 USD giá trị hàng hoá của ngành 2 thì ngành 2 cần sử dụng 0,1 USD giá trị hàng hoá của ngành 1.

b) Tỷ phần chi phí cho các sản phẩm của ngành 2 là $0,1+0,3+0,2=0,6.$ Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 2 là $1-0,6=0,4.$

c) Ma trận Leontief là $E - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,7}&{ - 0,1}&{ - 0,2} \\ { - 0,2}&{0,7}&{ - 0,2} \\ { - 0,2}&{ - 0,2}&{0,8} \end{array}} \right) \Rightarrow \det (E - A) = 0,308.$

Vì vậy ${(E - A)^{ - 1}} = \dfrac{1}{{0,308}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,52}&{0,12}&{0,16} \\ {0,2}&{0,52}&{0,18} \\ {0,18}&{0,16}&{0,47} \end{array}} \right).$

d) Mức tổng cầu đối với mỗi ngành là

${(E - A)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {100} \\ {200} \\ {300} \end{array}} \right) = \dfrac{1}{{0,308}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,52}&{0,12}&{0,16} \\ {0,2}&{0,52}&{0,18} \\ {0,18}&{0,16}&{0,47} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {100} \\ {200} \\ {300} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {402,597} \\ {577,922} \\ {620,13} \end{array}} \right).$

Ví dụ 2: Giả sử một nền kinh tế có ba nghành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận nghịch đảo của ma trận Leontief là

${\left( {E - A} \right)^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {520/308}&{120/308}&{160/308} \\ {200/308}&{520/308}&{180/308} \\ {180/308}&{160/308}&{470/308} \end{array}} \right).$

a) Cho biết lượng cầu cuối đối với hàng hoá của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 308 triệu USD, 462 triệu USD, 616 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành.

b) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật $A.$

Giải.

a) Mức tổng cầu đối với mỗi ngành là ${(E - A)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {308} \\ {462} \\ {616} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {520/308}&{120/308}&{160/308} \\ {200/308}&{520/308}&{180/308} \\ {180/308}&{160/308}&{470/308} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {308} \\ {462} \\ {616} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1020} \\ {1340} \\ {1360} \end{array}} \right).$

b) Ta có ${\left( {E - A} \right)^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {520/308}&{120/308}&{160/308} \\ {200/308}&{520/308}&{180/308} \\ {180/308}&{160/308}&{470/308} \end{array}} \right) = \dfrac{{10}}{{308}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {52}&{12}&{16} \\ {20}&{52}&{18} \\ {18}&{16}&{47} \end{array}} \right)$

$ \Rightarrow E - A = {\left[ {{{\left( {E - A} \right)}^{ - 1}}} \right]^{ - 1}} = \dfrac{{308}}{{10}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {52}&{12}&{16} \\ {20}&{52}&{18} \\ {18}&{16}&{47} \end{array}} \right)^{ - 1}}$

$ = \dfrac{{308}}{{10}}.\dfrac{1}{{308}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ - 1}&{ - 2} \\ { - 2}&7&{ - 2} \\ { - 2}&{ - 2}&8 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,7}&{ - 0,1}&{ - 0,2} \\ { - 0,2}&{0,7}&{ - 0,2} \\ { - 0,2}&{ - 0,2}&{0,8} \end{array}} \right)$

$ \Rightarrow A = E - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,7}&{ - 0,1}&{ - 0,2} \\ { - 0,2}&{0,7}&{ - 0,2} \\ { - 0,2}&{ - 0,2}&{0,8} \end{array}} \right)$

$ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,7}&{ - 0,1}&{ - 0,2} \\ { - 0,2}&{0,7}&{ - 0,2} \\ { - 0,2}&{ - 0,2}&{0,8} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,3}&{0,1}&{0,2} \\ {0,2}&{0,3}&{0,2} \\ {0,2}&{0,2}&{0,2} \end{array}} \right)$

Ví dụ 3: Giả sử một nền kinh tế có ba nghành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,1}&{0,3}&{0,2} \\ {0,4}&{0,2}&{0,3} \\ {0,2}&{0,3}&{0,1} \end{array}} \right).$

a) Nêu ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A


b) Nếu ngành 3 muốn tạo ra sản lượng hàng hoá trị giá là 150 triệu đô thì tổng lượng nguyên liệu đầu vào của ngành 3 là bao nhiêu?

c) Nếu 3 ngành muốn tạo ra sản lượng hàng hoá lần lượt trị giá 120, 100, 150 triệu đô thì tổng lượng nguyên liệu đầu vào ngành 1 cung cấp cho 3 ngành là bao nhiêu?

d) Tính giá trị gia tăng của ngành 1, nếu giá trị hàng hoá của ngành 3 mà ngành 1 cần sử dụng cho việc sản xuất là 20 triệu USD.

Giải. a) Ta có ${{a}_{21}}=0,4$ có nghĩa là để tạo ra 1 USD giá trị hàng hoá của ngành 1 thì ngành 1 cần sử dụng 0,4 USD giá trị hàng hoá của ngành 2.

b) Nếu ngành 3 muốn tạo ra sản lượng trị giá là 150 triệu đô thì tổng lượng nguyên liệu đầu vào của ngành 3 là $\left( {{a}_{13}}+{{a}_{23}}+{{a}_{33}} \right)\times 150=\left( 0,2+0,3+0,1 \right)\times 150=90$ triệu đô.

c) Nếu 3 ngành muốn tạo ra sản lượng hàng hoá lần lượt trị giá 120, 100, 150 triệu đô thì tổng lượng nguyên liệu đầu vào ngành 1 cung cấp cho 3 ngành là ${{a}_{11}}\times 120+{{a}_{12}}\times 100+{{a}_{13}}\times 150=0,1\times 120+0,3\times 100+0,2\times 150=72$ triệu đô.

d) Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 1 là $1-\left( {{a}_{11}}+{{a}_{21}}+{{a}_{31}} \right)=1-\left( 0,1+0,4+0,2 \right)=0,3.$

Ngành 1 tạo ra 1 triệu USD giá trị hàng hoá cần dùng đến ${{a}_{31}}=0,2$ triệu USD giá trị hàng hoá của ngành 3.

Vậy khi ngành 1 cần dùng đến 20 triệu USD giá trị hàng hoá của ngành 3 thì ngành 1 tạo ra $\frac{20}{0,2}=100$ triệu USD giá trị hàng hoá.

Nên giá trị gia tăng của ngành 1 là $100\times 0,3=30$ triệu USD.

Ví dụ 4: Xét một nền kinh tế có ba nghành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0,1}&{0,2}&{0,3} \\ a&{0,2}&{0,3} \\ {0,2}&{0,3}&{0,25} \end{array}} \right).$

Hãy tìm $a$ và xác định lượng cầu cuối đối với ngành 1 và ngành 3 khi mức tổng cầu đối với mỗi ngành 1, 2, 3 lần lượt là 800, 1200, 1500 và cầu cuối đối với ngành 2 là 200.

Giải. Ta có ma trận tổng cầu là $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {800} \\ {1200} \\ {1500} \end{array}} \right)$ và ma trận cầu cuối là $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ {200} \\ y \end{array}} \right)$

Ta có $\left( {E - A} \right)X = B \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.9}&{ - 0.2}&{ - 0.3} \\ { - a}&{0.8}&{ - 0.3} \\ { - 0.2}&{ - 0.3}&{0.75} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {800} \\ {1200} \\ {1500} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ {200} \\ y \end{array}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30} \\ { - 800a + 510} \\ {605} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ {200} \\ y \end{array}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 30 \hfill \\ y = 605 \hfill \\ a = 0,3875 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy $a=0,3875$ và lượng cầu cuối đối với ngành 1 là 30, lượng cầu cuối đối với ngành 3 là 605.

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.