Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 01)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 02)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 03)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 04)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 05)

>>Xem bài giảng đã phát hành trước đó: Tổng ôn Các dạng bài toán thực tế Khối tròn xoay (Nón, trụ, Cầu)

Ứng dụng tích phân tính thể tích của chiếc phao hình xuyến

+Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ dựa trên hai đường thẳng vuông góc có sẵn trên hình vẽ hoặc chọn một cạnh là một trục rồi chọn trục thứ hai vuông góc với cạnh đó.

+Phương trình đường thẳng qua hai điểm $\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\text{ }\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right)$ là $d:y=\dfrac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\left( x-{{x}_{1}} \right)+{{y}_{1}}.$

+ Phương trình parabol có trục đối xứng song song hoặc trùng với trục tung $\left( P \right):y=a{{x}^{2}}+bx+c.$ Nếu biết toạ độ đỉnh $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\Rightarrow \left( P \right):y=a{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{y}_{0}}.$

+ Phương trình parabol có trục đối xứng song song hoặc trùng với trục hoành $\left( P \right):x=a{{y}^{2}}+by+c$ Nếu biết toạ độ đỉnh $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\Rightarrow \left( P \right):x=a{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{x}_{0}}.$

Note: Diện tích hình parabol có độ dài cạnh đáy $b,$ độ dài đường cao $h$ có diện tích là $S=\dfrac{2}{3}bh.$

Chứng minh. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ

Parabol có đỉnh $\left( 0;h \right)\Rightarrow \left( P \right):y=a{{x}^{2}}+h$ qua điểm $\left( \dfrac{b}{2};0 \right)\Rightarrow a=-\dfrac{4h}{{{b}^{2}}}$

$\Rightarrow \left( P \right):y=-\dfrac{4h}{{{b}^{2}}}{{x}^{2}}+h\Rightarrow S=\int\limits_{-\dfrac{b}{2}}^{\dfrac{b}{2}}{\left( -\dfrac{4h}{{{b}^{2}}}{{x}^{2}}+h \right)dx}=\dfrac{2}{3}bh.$

+ Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ bán kính bằng $R$ là ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}.$

Rút ra $y={{y}_{0}}+\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}$ là nửa đường tròn nằm trên đường thẳng \[y={{y}_{0}}\] và $y={{y}_{0}}-\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}}$ là nửa đường tròn nằm dưới đường thẳng $y={{y}_{0}}.$

Tương tự: $x={{x}_{0}}-\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}};\text{ }x={{x}_{0}}+\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}$ lần lượt là nửa đường tròn nằm bên trái, nằm bên phải đường thẳng $x={{x}_{0}}.$

+ Phương trình chính tắc của elip (trục lớn nằm trên trục hoành và trục nhỏ nằm trên trục tung) có độ dài trục lớn $2a;$ độ dài trục nhỏ $2b$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1.$

Note: Diện tích hình elip là $S=\pi ab.$

Chứng minh. Từ $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\Rightarrow y=\pm b\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}$

\[\Rightarrow S=\int\limits_{-a}^{a}{\left[ b\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-\left( -b\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}} \right) \right]dx}=2b\int\limits_{-a}^{a}{\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}dx}\]

Đổi biến \[x=a.\cos t\Rightarrow dx=-a.\sin tdt;\text{ }x=-a\Rightarrow t=\pi ;\text{ }x=a\Rightarrow t=0\]

\[\Rightarrow S=2b\int\limits_{0}^{\pi }{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}t}.a.\sin tdt}=2ab\int\limits_{0}^{\pi }{{{\sin }^{2}}tdt}\]

\[ = ab\int\limits_0^\pi {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} = ab\left( {t - \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| \begin{gathered} \pi \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \pi ab.\]

Ngược lại nếu elip có trục lớn nằm trên trục tung và trục nhỏ nằm trên trục hoành thì phương trình là $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}=1.$

Một số câu hỏi có trong đề thi này:

Câu 1 [Q231760027] Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông $A B C D$ cạnh $2 m$ được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ $O x y$ với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1 ; 1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong $O A$ có phương trình $y=x^2$ và $y=a x^3+b x$. Giá trị của $a b$ khi diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn là
A. -2 .
B. 2 .
C. -3 .
D. 3 .

Câu 2 [Q222387674] Cổng Parabol của trường đại học Bách Khoa Hà Nội được xây dựng từ những năm 70 của thế ki trước, là niềm tự hào của nhiều thế hệ sinh viên Bách Khoa Hà Nội. Chiều cao của cổng (khoảng cách cao nhất từ mặt đất đến đỉnh) là $7,62 m$ và khoảng cách giữa hai chân cổng là $9 m$. Hỏi diện tích thiết diện của chiếc cổng này là
A. $S=45,72\left(\mathrm{~m}^2\right)$.
B. $S=102,87\left(\mathrm{~m}^2\right)$.
C. $S=91,44\left(m^2\right)$.
D. $S=51,435\left(\mathrm{~m}^2\right)$.

Câu 9 [Q973611913] Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_1, A_2, B_1, B_2$ như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi parabol có đinh $B_1$,trục đối xứng $B_1 B_2$ và đi qua các điểm $M, N$ Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng $/ m^2$ và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng $/ m^2$. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_1 A_2=4 m, B_1 B_2=2 m, M N=2 m$.
B. 2.057.000 đồng.
C. 2.760.000đồng.
D. 1.664.000đồng.

Câu 23 [Q903954530] Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn để một dải đất rộng $8 \mathrm{~m}$ và nhận trục bé của elip làm làm trục đối xứng làm sân và lối đi (hình vẽ bên). Phần còn lại trồng hoa, biết kinh phí trồng hoa là 100.000 đồng $/ \mathrm{m}^2$. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
A. 7.652 .000 đồng.
B. 4.913 .000 đồng.
C. 4.914.000 đồng.
D. 7.653 .000 đồng.

Câu 30 [Q476298419] Một bức tường lớn hình vuông có kích thước $8 m x 8 m$ trước đại sảnh của một toà biệt thự được sơn loại sơn đặc biệt. Người ta vẽ hai nửa đường tròn đường kính $A D, A B$ cắt nhau tại $H$; đường tròn tâm $D$, bán kính $A D$ cắt nửa đường tròn đường kính $A B$ tại $K$. Biết tam giác "cong" $A H K$ được sơn màu xanh và các phần còn lại được sơn màu trắng (như hình vẽ) và một mét vuông sơn trắng, sơn xanh lần lượt có giá là 1 triệu đồng và 1,5 triệu đồng. Số tiền phải trả để sơn bức tuờng trên bằng (làm tròn đến hàng ngàn)
A. 60567000 (解g).
B. 70405000 (đồng).
C. 67128000 (đồng).
D. 86124000 (đồng).

Câu 34 [Q828848484] Thầy Nam có môt miếng đất trồng cō hình vuông cạnh bằng $8 \mathrm{~m}$ như hình vẽ.

Tại 2 điểm $A, B$ của mảnh đất cột hai chú bò với sợi dây lần lượt là $3 \mathrm{~m}$ và $6 \mathrm{~m}$. Diện tích phần có mà 2 chú bò có thể ăn chung gần với kết quả nào sau đây?
A. $1 \mathrm{~m}^2$.
B. $1,5 \mathrm{~m}^2$.
C. $2,5 \mathrm{~m}^2$.
D. $3 \mathrm{~m}^2$.

Câu 35 [Q293382972] Ông An mua cho cứa hiệu cắt tóc của mình một tấm gương phẳng có dạng như hình bên

Biết $A B=4 \mathrm{~m} ; A D=1,2 \mathrm{~m} ; M N=1,4 \mathrm{~m}$; hai cạnh cong $A M B, D N C$ là các đường parabol với đình tương ứng là $M$ và $N$. Giá bán tính cho $1 \mathrm{~m}^2$ gương như trên là 300.000 đồng. Số tiền ông An mua tấm gương trên là
A. 1600000 đồng.
B. 1760000 đồng.
C. 1520000 đồng.
D. 1840000 đồng.

Câu 36 [Q965546454] Để trang trí và làm giảm lượng ánh sáng đi qua một cửa sổ trống hình chữ nhật $A B C D$ người ta lắp thêm tấm kính màu hình con cá, được giới hạn bời hai đường parabol lần lượt đi qua các điểm $M, N, P$ và $M, Q, P$. Biết tấm kính chi cho phép $50 \%$ lượng ánh sáng đi qua và $A D=90 \mathrm{~cm}, A B=A Q=B N=50 \mathrm{~cm}, C P=20 \mathrm{~cm}$ (tham khảo hình vẽ). Sau khi lắp thêm tấm kính lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cứa sổ giàm đi bao nhiêu phần trăm?
A. $29,2 \%$.
B. $31,1 \%$.
C. $32,2 \%$.
D. $28,9 \%$.

Câu 37 [Q435588775] Để trang trí một bảng gỗ hình vuông $A B C D$ độ dải cạnh $90 \mathrm{~cm}$, người ta chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau rồi vẽ một hình càng cua được giới hạn bởi các cung phần tư của các đường tròn tâm $A, E, F, G$ sau đó sơn màu đỏ với chi phí 1.200 .000 đồng $/ \mathrm{m}^2$; phần còn lại sơn màu trắng với chi phí 600.000 đồng $/ \mathrm{m}^2$.

Số tiền cần dùng để trang trí bảng gỗ trên gần nhất với
A. 609.000 đồng.
B. 729.000 đồng.
C. 848.000 đồng.
D. 590.000 đồng.

Câu 38 [Q555270220] Một vườn hoa hình tròn đường kính $10 \mathrm{~m}$, lối đi ở giữa được lát đá với chi phí 1.200 .000 đồng $/ \mathrm{m}^2$ được giới hạn bởi đường tròn và hai đường cong $A B, C D$. Biết rằng tứ giác $A B C D$ là một hình chữ nhật và đường cong $C D$ có được nhờ tịnh tiến đường cong $A B$ lên trên $2 \mathrm{~m}$. Số tiền cần dùng để lát đá lối đi trên gần nhất với
A. 23.500 .000 đồng.
B. 24.000 .000 đồng.
C. 23.600 .000 đồng.
D. 23.800 .000 đồng.

Câu 39 [Q751682639] Sàn một sân chơi hình chữ nhật $A B C D$ được chia thành 3 khu vực sơn các màu trắng, đó và xanh như hình vẽ:

Biết $A B=8 \mathrm{~m}, A D=10 \mathrm{~m}$ và các khu vực được giới hạn bởi các cạnh $A B, B C, C D, D A$; đường tròn tiếp xúc với ba cạnh $A D, B C, C D$; parabol qua $C, D$ và trung điểm của $A B$. Nếu chi phí sơn sàn màu trắng, đỏ và xanh lần lươt là 100.000 đồng $/ \mathrm{m}^2, 200.000$ đồng $/ \mathrm{m}^2$ và 400.000 đồng $/ \mathrm{m}^2$ thì số tiền sơn sản sân chơi này gần nhất với
A. 15.800 .000 đồng.
B. 19.200 .000 đồng.
C. 16.800 .000 đồng.
D. 18.600 .000 đồng.

[Combo X] Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (Đề số 01)

[Combo X] Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (Đề số 02)

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 6): Diện tích của con đường dạo bộ trong một công viên

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 5): Diện tích của chiếc diều

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.