Cách xác định số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa trên công thức tính nhanh

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Trong khoá học PRO X các em đã được tiếp cận cách xác định số điểm cực trị của hàm trị tuyệt đối dựa trên cách suy đồ thị và bảng biến thiên. Ở bài viết này trình bày cho các em công thức tính nhanh:

Nội dung lý thuyết và ví dụ các bài toán trong bài viết này được trình bày tại khoá học vận dụng cao PRO XMAX

Nhận xét: 

• Số điểm cực trị của hàm số $\left| f(x) \right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ và số nghiệm đơn và bội lẻ của phương trình $f(x)=0.$ Hay cách khác bằng tổngsố điểm cực trị của hàm số $f(x)$.

• Số điểm cực trị của hàm số $f\left( \left| x \right| \right)$ bằng $2a+1,$ trong đó $a$ là số điểm cực trị dương của hàm số $f(x).$

Đặc biệt với hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}},{{x}_{2}}.$ Khi đó hàm số $y=\left| f(x) \right|$ có $n$ điểm cực trị

• $n=5\Leftrightarrow {{f}_{cd}}.{{f}_{ct}}<0$ và tương đương với $f(x)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt

• $n=3\Leftrightarrow {{f}_{cd}}.{{f}_{ct}}\ge 0.$

Ví dụ 1: Cho hàm số $f\left( x \right)=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x-m.$ Số giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right)+2 \right|$ có $5$ điểm cực trị là

A. $10.$

B. $11.$

C. $9.$

D. $7.$

Giải. Ta có $\mathbf{ycbt}\Leftrightarrow f\left( x \right)+2=0\Leftrightarrow m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x-m+2=0$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ m{{\left( x-1 \right)}^{2}}-2 \right]=0\Leftrightarrow x=1\vee m{{\left( x-1 \right)}^{2}}=2$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0\Rightarrow m\in \left\{ 1,...,10 \right\}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left( m-2 \right){{x}^{3}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+\left( 5m-3 \right)x-2m-2.$ Số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( x \right) \right|$ có năm điểm cực trị là

A. $3.$

B. $2.$

C. $0.$

D. $1.$

Giải. Ta có $\mathbf{ycbt}\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( m-2 \right){{x}^{3}}-2\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+\left( 5m-3 \right)x-2m-2=0$

$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ \left( m-2 \right){{x}^{2}}+\left( 2-2m \right)x+m+1 \right]=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ g\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + \left( {2 - 2m} \right)x + m + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có 3 nghiệm phân biệt

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 2 \ne 0 \hfill \\ g\left( 2 \right) = 4\left( {m - 2} \right) + 2\left( {2 - 2m} \right) + m + 1 \ne 0 \hfill \\ \Delta ' = {\left( {1 - m} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 2 \hfill \\ m \ne 3 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 2 \ne m < 3 \Rightarrow m = 1.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left| -{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+{{m}^{3}}-{{m}^{2}} \right|$ có $5$ điểm cực trị. Tổng các phần tử của $S$ bằng

A. $-2.$

B. $3.$

C. $7.$

D. $4.$

Giải. Ta có $\mathbf{ycbt}\Leftrightarrow g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+{{m}^{3}}-{{m}^{2}}=0$ có 3 nghiệm phân biệt (*)

Ta có ${g}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+6mx+3\left( 1-{{m}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow x=m+1;x=m-1$

Vậy $\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( m+1 \right)g\left( m-1 \right)<0\Leftrightarrow \left( -{{m}^{2}}+3m+2 \right)\left( -{{m}^{2}}+3m-2 \right)<0$

$ \Leftrightarrow {\left( { - {m^2} + 3m} \right)^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < - {m^2} + 3m < 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2 < m < \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \hfill \\ \dfrac{{3 - \sqrt {17} }}{2} < m < 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {0,3} \right\}.$ Chọn đáp án B.

Các bài toán biện luận số điểm cực trị của hàm tuyệt đối dạng |u(x)| ta đưa về xét dấu đồng thời của u(x) và u'(x). Chi tiết xem ví dụ:

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 200;200} \right]$ để hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-m\left( x+3 \right)+6 \right|$ có đúng $3$ điểm cực trị?

Giải. Xét \[u\left( x \right)={{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-m\left( x+3 \right)+6\Rightarrow {u}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-14x-m\]

\[\Rightarrow u\left( x \right)=0\Leftrightarrow m=g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}+6}{x+3};{u}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow m=h\left( x \right)=4{{x}^{3}}-14x\]

Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right),h\left( x \right)$ như sau:

 

Hàm số \[f\left( x \right)=\left| u\left( x \right) \right|\] có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

TH1 : ${u}'\left( x \right)$ có 1 lần đổi dấu và $u\left( x \right)$ có 2 lần đổi dấu $\Rightarrow m\in \left\{ -200,...,-139,11,...,200 \right\}.$

TH2 : ${u}'\left( x \right)$ có 3 lần đổi dấu và $u\left( x \right)$ có 0 lần đổi dấu $\Rightarrow m\in \left\{ -10,...,-7 \right\}.$

Vậy $m\in \left\{ -200,...,-139,-10,...,-7,11,...,200 \right\}.$ Có tất cả $\left( -139-\left( -200 \right)+1 \right)+\left( -7-\left( -10 \right)+1 \right)+\left( 200-11+1 \right)=256$ giá trị nguyên của $m\in \left[ -200;200 \right]$ thoả mãn. Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\left| f\left( {{x}^{2}}+m-5 \right) \right|$ có ít nhất 7 điểm cực trị?

A. $7.$

B. $6.$

C. $3.$

D. $8.$

Giải. Ta có $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2;x=2\pm \sqrt{3}$ và ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12x+9\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1;x=3$

Xét $u\left( x \right) = f\left( {{x^2} + m - 5} \right) \Rightarrow u'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + m - 5} \right) \Rightarrow u'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ {x^2} + m - 5 = 1 \hfill \\ {x^2} + m - 5 = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Và $u\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^2} + m - 5 = 2 \hfill \\ {x^2} + m - 5 = 2 - \sqrt 3 \hfill \\ {x^2} + m - 5 = 2 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}+m-5$ có bảng biến thiên như sau:

Ta cần tìm điều kiện để tổng số lần đổi dấu của $u\left( x \right)$ và ${u}'\left( x \right)$ ít nhất bằng 7.

Tức tổng số lần đổi dấu của $g\left( x \right)-1;g\left( x \right)-3;g\left( x \right)-2;g\left( x \right)-\left( 2-\sqrt{3} \right);g\left( x \right)-\left( 2+\sqrt{3} \right)$ ít nhất bằng 6.

Vậy $m-5<2\Leftrightarrow m<7\Rightarrow m\in \left\{ 1,...,6 \right\}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Cho hàm số $f(x)$ có $f(0)=0$ và ${f}'(x)$ là đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=\left| f({{x}^{3}})+x \right|$ là

Xét $u=f({{x}^{3}})+x$ có ${u}'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}{f}'({{x}^{3}})+1=0\Leftrightarrow {f}'({{x}^{3}})=-\dfrac{1}{3{{x}^{2}}}.$ Đặt $t={{x}^{3}}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{t},$ phương trình trở thành: \[{f}'(t)=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}(1).\] Xét hàm số $y=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}$ có ${y}'=\dfrac{2}{9\sqrt[3]{{{x}^{5}}}}.$ Bảng biến thiên:

Suy ra đồ thị hàm số $y=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}$ được vẽ cùng với đồ thị ${f}'(x)$ có dạng như hình vẽ bên:

Hai đường cong ${f}'(x)$ và $y=-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $a<0<b.$ Vì vậy (1) có hai nghiệm là $t=a;t=b.$ Khi đó ${u}'=0$ có hai nghiệm $x=\sqrt[3]{a};x=\sqrt[3]{b}.$

Bảng biến thiên:

trong đó $u(0)=f(0)=0.$ Vì vậy hàm số $g(x)=\left| u \right|$ có tất cả $2+3=5$ điểm cực trị. Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $a$ để hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{6}}+a{{x}^{3}}+48x \right|$ có đúng $3$ điểm cực trị?

Giải. Xét $u\left( x \right)={{x}^{6}}+a{{x}^{3}}+48x\Rightarrow {u}'\left( x \right)=6{{x}^{5}}+3a{{x}^{2}}+48$

$ \Rightarrow u\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ a = g\left( x \right) = - {x^3} - \dfrac{{48}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.;u'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow a = h\left( x \right) = - 2{x^3} - \dfrac{{16}}{{{x^2}}}$Bảng biến thiên của hai hàm số $g\left( x \right),h\left( x \right)$ như sau:

Từ bảng biến thiên của $g\left( x \right),h\left( x \right)$ suy ra ${u}'\left( x \right)$có 3 lần đổi dấu hoặc 1 lần đổi dấu; $u\left( x \right)$ có 4 lần đổi dấu hoặc 2 lần đổi dấu.

Vậy hàm số $f\left( x \right)=\left| u\left( x \right) \right|$ có đúng đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi ${u}'\left( x \right)$ có 1 lần đổi dấu và $u\left( x \right)$ có 2 lần đổi dấu suy ra $a\in \left\{ -13,...,-1 \right\}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-3 \right|$ có đúng ba điểm cực trị $A,B,C$ và diện tích tam giác $ABC$ lớn hơn $1?$

Giải. Xét $u\left( x \right)={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-3.$ Ta có $u\left( 0 \right)=-3<0.$

TH1: Nếu $u\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow -2m<0$ thì $\left| u\left( x \right) \right|$ có $5$ điểm cực trị (loại).

TH2: Nếu $u\left( x \right)$ có đúng 1 điểm cực trị $\Leftrightarrow -2m\ge 0$ thì $\left| u\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị (thoả mãn).

Xét $u\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=m+\sqrt{{{m}^{2}}+3}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{m+\sqrt{{{m}^{2}}+3}}$

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là $A\left( 0;3 \right),B\left( -\sqrt{m+\sqrt{{{m}^{2}}+3}};0 \right),C\left( \sqrt{m+\sqrt{{{m}^{2}}+3}};0 \right)$

$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}BC.AO=3\sqrt{m+\sqrt{{{m}^{2}}+3}}>1.$ Kết hợp với $m\le 0$ nhận các giá trị nguyên $-13,...,0.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+\left( 4-m \right)x,$ với $m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng $7$ điểm cực trị?

Giải. Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ bằng $2a+1=7\Leftrightarrow a=3,$ với $a$ là số điểm cực trị dương của hàm số $f\left( x \right).$

Ta tìm điều kiện để hàm số $f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị dương, tức là ${f}'\left( x \right)$ có 3 lần đổi dấu trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$

Xét phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4-m=0\Leftrightarrow m=4{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}+60x+4=h\left( x \right).$

Ta có $h'\left( x \right) = 12{x^2} - 72x + 60 \Rightarrow h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = 5.$

Bảng biến thiên:

Vậy $4<m<32\Rightarrow m\in \left\{ 5;6;...;31 \right\}$ có tất cả 27 số nguyên. Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-m{{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}({{m}^{2}}-1){{x}^{2}}+(1-{{m}^{2}})x+2019$ với $m$ là tham số thực. Biết rằng hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi $a<{{m}^{2}}<b+2\sqrt{c}\ \ \ (a,b,c\ \in R).$  Giá trị $T=a+b+c$ bằng

Giải. Ta có ${f}'(x)={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x+1-{{m}^{2}}$ là một đa thức bậc ba có tối đa 3 nghiệm, vì vậy hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi và chỉ khi $f(x)$ có nhiều hơn 2 điểm cực trị dương tức là ${f}'(x)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt.

Ta có ${f}'(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x+1-{{m}^{2}}=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt.

Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x+1-{{m}^{2}}$ có $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 3({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = m - 1 \hfill \\ x = m + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_{cd}} = m - 1 \hfill \\ {x_{ct}} = m + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y_{cd}} = {m^3} - {m^2} - 3m + 3 \hfill \\ {y_{ct}} = {m^3} - {m^2} - 3m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Do đó phương trình $y=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_{cd}} > 0 \hfill \\ y(0) < 0 \hfill \\ {y_{cd}}.{y_{ct}} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 1 > 0, \hfill \\ 1 - {m^2} < 0, \hfill \\ ({m^3} - {m^2} - 3m + 3)({m^3} - {m^2} - 3m - 1) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \sqrt 3 < m < 1 + \sqrt 2 \Rightarrow 3 < {m^2} < 3 + 2\sqrt 2 .$

Vì vậy $a=3,b=3,c=2\Rightarrow a+b+c=3+3+2=8.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2}{5}{{x}^{5}}-\dfrac{m}{2}{{x}^{4}}+\dfrac{4\left( m+3 \right)}{3}{{x}^{3}}-\left( m+7 \right){{x}^{2}},\left( m\in \mathbb{R} \right).$ Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 1 điểm cực đại?

Giải. Ta có $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty \Rightarrow g\left( x \right)$ có đúng 1 điểm cực đại$\Leftrightarrow g\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực trị$\Leftrightarrow f\left( x \right)$ có đúng 1 điểm cực trị dương

$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=2{{x}^{4}}-2m{{x}^{3}}+4\left( m+3 \right){{x}^{2}}-2\left( m+7 \right)x=2x\left( {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x-m-7 \right)$

$=2x\left( x-1 \right)\left( \underbrace{{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m+7}_{h\left( x \right)} \right)$ đổi dấu đúng 1 lần trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$

$\Leftrightarrow h\left( x \right)$ không đổi dấu trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ và vì $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h\left( x \right)=+\infty $ nên điều kiện sẽ là

$\Leftrightarrow h\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m+7\ge 0,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$

$\Leftrightarrow m\left( 1-x \right)\ge -{{x}^{2}}-x-7,\forall x\in \left[ 0;+\infty \right);g\left( x \right)=\dfrac{-{{x}^{2}}-x-7}{1-x}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill m\ge g\left( x \right),\forall x\in \left[ 0;1 \right) \\ \hfill m\le g\left( x \right),\forall x\in \left( 1;+\infty \right) \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill m\ge \underset{\left[ 0;1 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=-7 \\ \hfill m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 4 \right)=9 \\ \end{gathered} \right.$

Vậy $m\in \left\{ -7,...,9 \right\}.$

Chọn đáp án A.

Cách 2: TH1: ${{\Delta }_{h}}\le 0\Leftrightarrow {{\left( 1-m \right)}^{2}}-4\left( m+7 \right)\le 0\Leftrightarrow -3\le m\le 9$

TH2: ${{\Delta }_{h}}>0\Leftrightarrow m<-3\vee m>9$ điều kiện là $h\left( x \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill {{\Delta }_{h}}>0 \\ \hfill S<0 \\ \hfill P\ge 0 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill m<-3\vee m>9 \\ \hfill m-1<0 \\ \hfill m+7\ge 0 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow -7\le m<-3.$

Vậy $m\in \left\{ -7,...,9 \right\}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 8: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right).$ Biết $f\left( -2 \right)=0$ và ${f}'\left( x \right)$ có bảng xét dấu như sau:Hàm số $g\left( x \right)=\left| 15f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Giải. Xét $u\left( x \right)=15f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-10{{x}^{6}}+30{{x}^{2}};u\left( 0 \right)=15f\left( -2 \right)=0$

Và ${u}'\left( x \right)=15\left( -4{{x}^{3}}+4x \right){f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)-60{{x}^{5}}+60x$

$=60x\left( -{{x}^{2}}+1 \right)\left[ {f}'\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2 \right)+1+{{x}^{2}} \right]=60x\left( -{{x}^{2}}+1 \right)\left[ {f}'\left( -{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1 \right)+1+{{x}^{2}} \right]$

Vì $-{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1\le -1,\forall x\Rightarrow {f}'\left( -{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1 \right)\ge 0\Rightarrow {f}'\left( -{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1 \right)+1+{{x}^{2}}>0$

Do đó ${u}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x\left( -{{x}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow x=0;x=\pm 1.$

Bảng biến thiên:Suy ra $u\left( x \right)$ có 2 lần đổi dấu và có 3 điểm cực trị nên $g\left( x \right)=\left| u\left( x \right) \right|$ có tất cả 5 điểm cực trị. Chọn đáp án B.

Các em xem lại Bài giảng Số điểm cực trị hàm trị tuyệt đối khoá VDC XMAX.

Ví dụ 9: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$có đồ thị của hàm đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ và $f\left( b \right)=1$.

Số giá trị nguyên của $m\in \left[ -5;5 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+m \right|$ có đúng 5 điểm cực trị là

A. $8$.

B. $10$.

C. $9$.

D. $7$.

Giải. Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$:

Xét hàm số $h\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+m$.

Ta có ${h}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)f\left( x \right)+4{f}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]$.

Khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Rightarrow 2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\hfill {f}'\left( x \right)=0 \\ \hfill f\left( x \right)=-2 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\hfill x=a;\,x=b \\ \hfill x=c\,\,\left( c\,\,\langle \,\,a \right) \\ \end{gathered} \right.$.

Vậy ${h}'\left( x \right)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Rightarrow $$h\left( x \right)$có $3$ điểm cực trị.

Xét $h\left( x \right)=0$$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)=-m\,\,\left( * \right)$.

Để $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi PT $\left( * \right)$có $2$ nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt.

Xét hàm số $t\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)$.

Ta có ${t}'\left( x \right)=2.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)+4{f}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]$.

Khi đó ${t}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{f}'\left( x \right)\left[ f\left( x \right)+2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\hfill {f}'\left( x \right)=0 \\ \hfill f\left( x \right)=-2 \\ \end{gathered} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\hfill x=a;\,x=b \\ \hfill x=c\,\,\left( c\,\,\langle \,\,a \right) \\ \end{gathered} \right.$.

Ta có $t\left( c \right)={{f}^{2}}\left( c \right)+4f\left( c \right)={{\left( -2 \right)}^{2}}-8=-4.$ $t\left( b \right)={{f}^{2}}\left( b \right)+4f\left( b \right)=5.$

Ta có bảng biến thiên của $t\left( x \right)$:

Từ YCBT $\Leftrightarrow t\left( x \right)=-m$ có hai nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill \left[ \begin{gathered}\hfill -m\ge t\left( a \right)>5 \\ \hfill -4<-m\le 5 \\ \end{gathered} \right. \\ \hfill -5\le m\le 5;\,m\in \mathbb{Z} \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill \left[ \begin{gathered}\hfill m\le -t\left( a \right)<-5 \\ \hfill -4<-m\le 5 \\ \end{gathered} \right. \\ \hfill -5\le m\le 5\, \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill -5\le m<4 \\ \hfill m\in \mathbb{Z} \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow m\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}.$ Vậy có $9$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C.

Bài tập tự luyện:

(a) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ để hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-ax-1 \right|$ có đúng $3$ điểm cực trị?

(b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ để hàm số $y=\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-64x \right|$ có đúng $5$ điểm cực trị?

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất