Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức hai biến x,y phụ thuộc giả thiết logarit

Ví dụ 1: Cho hai số thực $x,y$ thoả mãn ${{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}(x+y)\ge 1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S=x+2y.$

>>Xem thêm bài giảng và bài tập vận dụng cao GTLN và GTNN của biểu thức mũ và logarit

Để cho đơn giản Coi \[{{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}(x+y)=1\Leftrightarrow x+y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}.\]

Khi đó sử dụng bất đẳng thức

\[S=\left( x-\frac{1}{2} \right)+2\left( y-\frac{1}{2} \right)+\frac{3}{2}\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right)}+\frac{3}{2}\le \sqrt{\frac{5}{2}}+\frac{3}{2}=\frac{3+\sqrt{10}}{2}.\]

Chọn đáp án C.

Cách 2: Với $x=S-2y\Rightarrow S-2y+y={{\left( S-2y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow 5{{y}^{2}}-(4S-1)y+{{S}^{2}}-S=0.$

Điều kiện để phương trình có nghiệm là

${{\Delta }_{y}}\ge 0\Rightarrow {{(4S-1)}^{2}}-20({{S}^{2}}-S)\ge 0\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{10}}{2}\le S\le \frac{\sqrt{10}+3}{2}.$

Ví dụ 2: Xét các số thực không âm $x$ và $y$ thoả mãn $2x+y{{.4}^{x+y-1}}\ge 3.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y$ bằng

A. $\dfrac{33}{4}.$

B. $\dfrac{65}{8}.$

C. $\dfrac{49}{8}.$

D. $\dfrac{57}{8}.$

Đặt $t=x+y\Rightarrow x=t-y$ bất phương trình trở thành: $2(t-y)+y{{.4}^{t-1}}-3\ge 0\Leftrightarrow y({{4}^{t-1}}-2)+2t-3\ge 0(*).$

Hàm số $g(t)=y\left( {{4}^{t-1}}-2 \right)+2t-3$ có ${g}'(t)=y{{.4}^{t-1}}\ln 4+2>0,\forall t,\forall y\ge 0$ và $g\left( \dfrac{3}{2} \right)=0.$ Do đó $(*)\Leftrightarrow g(t)\ge g\left( \dfrac{3}{2} \right)\Leftrightarrow t\ge \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x+y\ge \dfrac{3}{2}.$

Khi đó $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y={{(x+2)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}-13\ge \dfrac{1}{2}{{\left( x+2+y+3 \right)}^{2}}-13\ge \dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{3}{2}+5 \right)}^{2}}-13=\dfrac{65}{8}.$

Dấu bằng đạt tại $\left\{ \begin{gathered} x + y = \dfrac{3}{2} \hfill \\ x + 2 = y + 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{5}{4} \hfill \\ y = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho các số thực $x,y$ thoả mãn ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2){{4}^{x}}.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{8x+4}{2x-y+1}$ gần nhất với số nào dưới đây?

A. $9.$

B. $6.$

C. $7.$

D. $8.$

Giả thiết tương đương với: ${{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2.$ Đặt $t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1,$ bất phương trình trở thành \[{{2}^{t}}-t-1\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 1\Leftrightarrow 0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1\Leftrightarrow 0\le {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1.\]

Đây là hình tròn $(C)$ có tâm $I(1;0),R=1.$

Khi đó biến đổi: $P=\dfrac{8x+4}{2x-y+1}\Leftrightarrow 8x+4=P(2x-y+1)\Leftrightarrow (2P-8)x-Py+P-4=0.$ Đây là đường thẳng \[d:(2P-8)x-Py+P-4=0.\]

Ta có điều kiện $(C)$ và $d$ có điểm chung $\Leftrightarrow d(I,d)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| (2P-8)+P-4 \right|}{\sqrt{{{(2P-8)}^{2}}+{{P}^{2}}}}\le 1\Leftrightarrow 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}.$

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $5+\sqrt{5}.$ Chọn đáp án C.