Cho hai tia $Ax,By$ chéo nhau và vuông góc với nhau, $AB$ là đường vuông góc chung. Khi $C,D$ lần lượt thay đổi trên $Ax,By$ sao cho $AC+BD=CD,$ chứng minh rằng $CD$ luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính $AB.$

Gọi ${{C}_{1}}$ là điểm thuộc tia đối của tia $Ax$ sao cho $A{{C}_{1}}=BD\Rightarrow C{{C}_{1}}=A{{C}_{1}}+AC=BD+AC=CD.$

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$ thì $OC_{1}^{2}=AC_{1}^{2}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{4};O{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}\Rightarrow O{{C}_{1}}=OD$

$\Rightarrow \Delta OC{{C}_{1}}=\Delta OCD\left( c-c-c \right)\Rightarrow OH=OA=\dfrac{AB}{2}.$ Điều phải chứng minh.

*Chú ý: Nếu chỉ chứng minh $CD$ tiếp xúc với mặt cầu đường kính $AB,$ chúng ta không cần điều kiện hai đường thẳng $Ax, By$ vuông góc với nhau.

>Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Ví dụ 1: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $3$$\left( m \right)$, đường kính $AB$. Qua $A$ và $B$ dựng các tia $A{{t}_{1}},\,\,B{{t}_{2}}\,$tiếp xúc với mặt cầu và vuông góc với nhau. Hai điểm $M$ và $N$ là hai điểm lần lượt di chuyển trên $A{{t}_{1}},\,\,B{{t}_{2}}\,$sao cho $MN$ cũng tiếp xúc với $\left( S \right)$. Biết rằng khối tứ diện $ABMN$có thể tích $V\,\,\left( {{m}^{3}} \right)$ không đổi. $V$ thuộc khoảng nào sau đây?

Giải. Theo công thức tính nhanh thể tích tứ diện cho trường hợp đặc biệt giữa góc và khoảng cách của cặp cạnh đối diện ta có:

${{V}_{ABMN}}=\dfrac{1}{6}AM.BN.d(AM,BN).\sin (AM,BN)=\dfrac{1}{6}.AM.BN.AB.\sin {{90}^{0}}=\dfrac{1}{6}AM.BN.6.1=AM.BN.$

Giả sử $MN$ tiếp xúc với mặt cầu đường kính $AB$ tại điểm $H$

Ta có $AM=MH;BN=NH\Rightarrow MN=MH+NH=AM+BN\left( 1 \right)$

Ta có $BN\bot AB;BN\bot AM\Rightarrow BN\bot \left( ABM \right)\Rightarrow BN\bot BM$

$\Rightarrow M{{N}^{2}}=B{{M}^{2}}+B{{N}^{2}}=\left( A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}} \right)+B{{N}^{2}}=36+A{{M}^{2}}+B{{N}^{2}}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow {{\left( AM+BN \right)}^{2}}=36+A{{M}^{2}}+B{{N}^{2}}\Rightarrow AM.BN=18\Rightarrow {{V}_{ABMN}}=18.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$ đường kính $AB.$ Xét điểm $H$ di động trên $\left( S \right).$ Tiếp tuyến của $\left( S \right)$ tại $H$ cắt các mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $A,B$ lần lượt tại các điểm $M$ và $N$ sao cho góc giữa $AM$ và $BN$ bằng $\alpha ,\text{ }\left( \alpha >{{0}^{0}} \right).$ Xét điểm $P$ trên tia đối của tia $BN$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$ tiếp xúc với $BN,MN$ lần lượt tại $B$ và $H.$ Thể tích khối tứ diện $AMNP$ bằng

Xem lời giải chi tiết

Chuyển sang hệ toạ độ Oxyz

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5