Cho tam giác ABC có điểm I nằm bên trong tam giác. Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại M, N, P. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN, MP lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng véc tơ IH = véc tơ KI.

Giải. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN, MP lần lượt tại X và Y.

Theo Thales ta có: $\dfrac{IH}{AX}=\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{IK}{AY}.$

Do vậy để chứng minh $IH=IK$ ta chứng minh $AX=AY.$

Theo Thales ta có: $\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{AX}{MC}\Rightarrow AX=MC.\dfrac{NA}{NC};\dfrac{AY}{MB}=\dfrac{PA}{PB}\Rightarrow AY=MB.\dfrac{PA}{PB}.$

Vậy để chứng minh $AX=AY$ ta chứng minh $MC.\dfrac{NA}{NC}=MB.\dfrac{PA}{PB}\Leftrightarrow \dfrac{MB}{MC}.\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{PA}{PB}=1.$ Đây chính là Định lý Ceva, là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Chứng minh cụ thể như sau:

Ta có $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{{{S}_{ABM}}}{{{S}_{ACM}}}=\dfrac{{{S}_{IBM}}}{{{S}_{ICM}}}=\dfrac{{{S}_{ABM}}-{{S}_{IBM}}}{{{S}_{ACM}}-{{S}_{ICM}}}=\dfrac{{{S}_{ABI}}}{{{S}_{ACI}}}.$

Hoàn toàn tương tự, ta có: $\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{{{S}_{BCI}}}{{{S}_{ABI}}};\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{{{S}_{ACI}}}{{{S}_{BCI}}}.$

Suy ra $\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{{{S}_{ABI}}}{{{S}_{ACI}}}.\dfrac{{{S}_{BCI}}}{{{S}_{ABI}}}.\dfrac{{{S}_{ACI}}}{{{S}_{BCI}}}=1.$ Ta có điều phải chứng minh.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Combo X Luyện thi 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.