Cho tam giác ABC có điểm I nằm bên trong tam giác. Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại M, N, P. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN, MP lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng véc tơ IH = véc tơ KI


Cho tam giác ABC có điểm I nằm bên trong tam giác. Các tia AI, BI, CI lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại M, N, P. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN, MP lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng véc tơ IH = véc tơ KI.

Giải. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN, MP lần lượt tại X và Y.

Theo Thales ta có: $\dfrac{IH}{AX}=\dfrac{MI}{MA}=\dfrac{IK}{AY}.$

Do vậy để chứng minh $IH=IK$ ta chứng minh $AX=AY.$

Theo Thales ta có: $\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{AX}{MC}\Rightarrow AX=MC.\dfrac{NA}{NC};\dfrac{AY}{MB}=\dfrac{PA}{PB}\Rightarrow AY=MB.\dfrac{PA}{PB}.$

Vậy để chứng minh $AX=AY$ ta chứng minh $MC.\dfrac{NA}{NC}=MB.\dfrac{PA}{PB}\Leftrightarrow \dfrac{MB}{MC}.\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{PA}{PB}=1.$ Đây chính là Định lý Ceva, là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Chứng minh cụ thể như sau:

Ta có $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{{{S}_{ABM}}}{{{S}_{ACM}}}=\dfrac{{{S}_{IBM}}}{{{S}_{ICM}}}=\dfrac{{{S}_{ABM}}-{{S}_{IBM}}}{{{S}_{ACM}}-{{S}_{ICM}}}=\dfrac{{{S}_{ABI}}}{{{S}_{ACI}}}.$

Hoàn toàn tương tự, ta có: $\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{{{S}_{BCI}}}{{{S}_{ABI}}};\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{{{S}_{ACI}}}{{{S}_{BCI}}}.$

Suy ra $\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{NC}{NA}.\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{{{S}_{ABI}}}{{{S}_{ACI}}}.\dfrac{{{S}_{BCI}}}{{{S}_{ABI}}}.\dfrac{{{S}_{ACI}}}{{{S}_{BCI}}}=1.$ Ta có điều phải chứng minh.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Combo X Luyện thi 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả