Chọn ngẫu nhiên ba số nguyên đôi một khác nhau thuộc đoạn [1;8].

(a) Xác suất để ba số được chọn ra là độ dài ba cạnh một tam giác tù bằng

>>Có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Giải. Số cách chọn ngẫu nhiên ba số nguyên đôi một khác nhau thuộc đoạn [1;8] là $C_{8}^{3}.$

Gọi ba số được chọn ra là $a,b,c$ với $a,b,c\in S=\left\{ 1,2,...,8 \right\};a<b<c$ và $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác tù $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c.$

Trước tiên chúng là độ dài ba cạnh một tam giác $a + b > c;b + c > a;c + a > b \Leftrightarrow a + b > c$ do $a<b<c$

Khi đó $\cos A=\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)/2bc>0;\cos B=\left( {{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)/2ca>0$

Vậy tam giác này phải tù tại $C\Leftrightarrow \cos C=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)/2ab<0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}}.$

Vậy điều kiện bài toán là $a+b>c;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}}.$

Vì $a\ge 1;c>b>a\Rightarrow c\ge b+1\ge \left( a+1 \right)+1\ge 3\Rightarrow c\in \left\{ 3,....,8 \right\}.$

+ Nếu $c=3\Rightarrow 3<a+b;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}<9$ không có cặp $\left( a;b \right)$ thoả mãn.

+ Nếu $c=4\Rightarrow 4<a+b;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}<16\Rightarrow \left( a;b \right)=\left( 2;3 \right)$

+ Nếu $c=5\Rightarrow 5<a+b;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}<25\Rightarrow \left( a;b \right)=\left( 2;4 \right)$

+ Nếu $c=6\Rightarrow 6<a+b;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}<36\Rightarrow \left( a;b \right)=\left( 2;5 \right),\left( 3;4 \right),\left( 3;5 \right)$

+ Nếu $c=7\Rightarrow 7<a+b;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}<49\Rightarrow \left( a;b \right)=\left( 2;6 \right),\left( 3;5 \right),\left( 3;6 \right),\left( 4;5 \right)$

+ Nếu $c=8\Rightarrow 8<a+b;{{a}^{2}}+{{b}^{2}}<64\Rightarrow \left( a;b \right)=\left( 2;7 \right),\left( 3;6 \right),\left( 3;7 \right),\left( 4;5 \right),\left( 4;6 \right),\left( 5;6 \right)$

Vậy có 15 cách chọn ra thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{15}{C_{8}^{3}}=\dfrac{15}{56}.$ Chọn  đáp  án  C.

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

(b) Xác suất để ba số được chọn ra là độ dài ba cạnh một tam giác bằng