Đề lần 3 năm 2017 môn Toán trường THPT Chuyên ĐH Vinh thi ngày 23 - 04 - 2017 các bạn tải về tại đây: TẢI VỀ ĐỀ THI THPT CHUYÊN ĐH VINH LẦN 3 CÓ ĐÁP ÁN 

Sau đây là lời giải chi tiết của Vted cho nhóm câu hỏi vận dụng và vận dụng cao của đề thi này 

Câu 44. Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính $MN,PQ$ của hai đáy sao cho $MN\bot PQ.$ Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm $M,N,P,Q$ để được khối đá có hình tứ diện $MNPQ.$ Biết rằng $MN=60cm$ và thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng $30d{{m}^{3}}.$ Hãy tính thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy).

A. $121,3d{{m}^{3}}.$

B. $141,3d{{m}^{3}}.$

C. $111,4d{{m}^{3}}.$

D. $101,3d{{m}^{3}}.$

Giải. Ta có $MN=2R=60cm\Rightarrow R=3dm$ và chiều cao khối trụ xác định bởi ${{V}_{MNPQ}}=\frac{1}{6}MN.PQ.d(MN,PQ).\sin (MN,PQ)=\frac{1}{6}.2R.2R.h.1=30\Leftrightarrow h=5dm.$

Do đó thể tích lượng đá bị cắt bỏ bằng thể tích trụ trừ thể tích khối tứ diện và bằng \[V=\pi {{R}^{2}}h-30=\pi {{.3}^{2}}.5-30\approx 111,4d{{m}^{3}}.\] Chọn đáp án C.

*Chú ý. Xem thêm công thức tổng quát xác định thể tích của một tứ diện tại đây: http://vted.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va-cac-truong-hop-dac-biet-4345.html

Câu 48. Bạn A có một cốc thuỷ tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước có trong cốc.

A. $15\pi c{{m}^{3}}.$

B. $60\pi c{{m}^{3}}.$

C. $60c{{m}^{3}}.$

D. $70c{{m}^{3}}.$

Giải. Thể tích của lượng nước là $\frac{2}{3}{{R}^{3}}\tan \alpha =\frac{2}{3}{{R}^{3}}.\frac{h}{R}=\frac{2}{3}{{R}^{2}}h=\frac{2}{3}{{.3}^{2}}.10=60c{{m}^{3}}.$ Chọn đáp án C.

*Chú ý. Các em xem phương pháp giải bài toán này tại bài giảng Thể tích vật thể, một ứng dụng của tích phân trong khoá tư duy trắc nghiệm Toán tại link: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chuong-trinh-dgnl-hoc-va-giai-toan-trac-nghiem-thpt-quoc-gia-2017-kh963493378.html

Câu 49. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=4a,CD=6a,$ các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{22}.$ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD.$

A. $3a.$

B. $\frac{a\sqrt{85}}{3}.$

C. $\frac{a\sqrt{79}}{3}.$

D. $\frac{5a}{2}.$

Giải. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,CD,$ ta có $(CDE),(ABF)$lần lượt là mặt phẳng trung trực của các cạnh $AB,CD.$ Do đó tâm mặt cầu $I$ ngoại tiếp tứ diện thuộc $EF.$

Ta có $EF=\sqrt{A{{F}^{2}}-A{{E}^{2}}}=\sqrt{\frac{2\left( A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}} \right)-C{{D}^{2}}}{4}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{\frac{2\left( 22{{a}^{2}}+22{{a}^{2}} \right)-36{{a}^{2}}-16{{a}^{2}}}{4}}=3a.$

Đặt $EI=x,FI=3a-x$ và $\left\{ \begin{align} & {{R}^{2}}=I{{A}^{2}}=I{{E}^{2}}+E{{A}^{2}}={{x}^{2}}+4{{a}^{2}} \\ & {{R}^{2}}=I{{D}^{2}}=I{{F}^{2}}+F{{D}^{2}}={{(3a-x)}^{2}}+9{{a}^{2}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow x=\frac{7}{3}a\Rightarrow R=\sqrt{{{\left( \frac{7}{3}a \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{85}}{3}.$ Chọn đáp án B.

Câu 50. Cho các số phức $z,w$ khác 0 thoả mãn $\left| z-w \right|=2\left| z \right|=\left| w \right|.$ Phần thực của số phức $u=\frac{z}{w}$ là ?

A.$-\frac{1}{8}.$

B. $\frac{1}{4}.$

C. $1.$

D. $\frac{1}{8}.$

Câu 50. Ta có $\left\{ \begin{gathered} (z - w)(\overline z - \overline w ) = {k^2} \hfill \\ 4z.\overline z = {k^2} \hfill \\ w.\overline w = {k^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{{k^2}}}{4} + {k^2} - \left( {w.\overline z + z.\overline w } \right) = {k^2} \hfill \\ z.\overline z = \frac{{{k^2}}}{4},w.\overline w = {k^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} w.\overline z + z.\overline w = \frac{{{k^2}}}{4} \hfill \\ z.\overline z = \frac{{{k^2}}}{4},w.\overline w = {k^2} \hfill \\ zw.\overline {zw} = \frac{{{k^4}}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Thực hiện biến đổi ta có: ${{(z.\overline{w}-w.\overline{z})}^{2}}={{(w.\overline{z}+z.\overline{w})}^{2}}-4z.w.\overline{z}.\overline{w}={{\left( \frac{{{k}^{2}}}{4} \right)}^{2}}-4{{k}^{2}}.\frac{{{k}^{2}}}{4}=\frac{-15{{k}^{4}}}{16}.$

Do đó $z.\overline{w}-w.\overline{z}=\frac{\pm \sqrt{15}{{k}^{2}}i}{4}\Rightarrow z.\overline{w}=\frac{{{k}^{2}}\pm \sqrt{15}{{k}^{2}}i}{8}.$ Suy ra $u=\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{w.\overline{w}}=\frac{\frac{{{k}^{2}}\pm \sqrt{15}{{k}^{2}}i}{8}}{{{k}^{2}}}=\frac{1}{8}\pm \frac{\sqrt{15}}{8}i.$ Chọn đáp án D.

Cách 2: Ta có phần thực của $u$ xác định bởi: $\frac{u+\overline{u}}{2}=\frac{\frac{z}{w}+\overline{\frac{z}{w}}}{2}=\frac{\frac{z}{w}+\frac{\overline{z}}{\overline{w}}}{2}=\frac{z.\overline{z}+w.\overline{z}}{2w.\overline{w}}=\frac{\frac{{{k}^{2}}}{4}}{2{{k}^{2}}}=\frac{1}{8}.$

Đề lần 2 các bạn xem tại bài viết sau:

Bài viết này, chúng tôi Giải chi tiết một số câu hỏi nhóm vận dụng đề thi thử THPT Quốc Gia Môn Toán trường THPT Chuyên ĐH Vinh lần 2 năm 2017 do thầy Đặng Thành Nam thực hiện. Để xem và tải về đề thi đầy đủ các em vào link sau: http://vted.vn/de-thi/xem/de-thi-thu-thpt-quoc-gia-mon-toan-lan-2-chuyen-dh-vinh-nghe-an-nam-2017-co-dap-an-chinh-thuc-doi-chieu-thi-ngay-26032017-dt227208169.html . Đề lần 2 theo đánh giá của chúng tôi bám sát cấu trúc đề và đặt vấn đề rất hay, nhiều bài toán liên hệ giữa kiến thức đã học và các vấn đề thực tế được mô hình trong toán học. Chủ đề các bài toán thực tế các em có thể tham khảo khoá học sau dành riêng cho teen 99 do vted xây dựng tại link: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-thuc-te-trong-de-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-kh668864686.html

Câu 31. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox.$ Đường thẳng $x=a\text{ }(0<a<4)$ cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $M$ (hình vẽ bên). Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox.$ Biết rằng $V=2{{V}_{1}}.$ Khi đó:

A. $a=2.$

C. $a=\frac{5}{2}.$

B. $a=2\sqrt{2}.$

D. $a=3.$

Giải. Theo giả thiết ta có $V=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left| {{(\sqrt{x})}^{2}} \right|dx}=8\pi \Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{1}{2}V=4\pi .$ Ta có $M(a;\sqrt{a})$ và khi quay tam giác giác $OMH$ quanh trục $Ox.$ ta được hai khối nón có chung bán kính $\sqrt{a}$ và chiều cao tương ứng ${{h}_{1}}=a,{{h}_{2}}=4-a.$ Vì vậy ${{V}_{1}}=\frac{\pi a{{(\sqrt{a})}^{2}}}{3}+\frac{\pi (4-a){{(\sqrt{a})}^{2}}}{3}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{3}+\frac{\pi (4a-{{a}^{2}})}{3}=4\pi \Leftrightarrow a=3.$ Chọn đáp án D.

Câu 48. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=AC=a,BC=a\sqrt{3}$ và $A{A}'=2a.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A{B}'{C}'C$ là ?

A. $a.$

B. $\sqrt{2}a.$

C. $\sqrt{5}a.$

D. $\sqrt{3}a.$

Giải. Ta có $R=\sqrt{R_{ABC}^{2}+{{\left( \frac{A{A}'}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{BC}{2\sin A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{A{A}'}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2a}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}.$ Chọn đáp án B.

Câu 49. Trong công viên toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh đất được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ những đường Lemniscate có phương trình trong hệ toạ độ $Oxy$ là $16{{y}^{2}}={{x}^{2}}(25-{{x}^{2}})$ như hình vẽ bên. Tính diện tích $S$ mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục toạ độ $Oxy$ tương ứng với chiều dài 1 mét.

A. $S=\frac{125}{6}({{m}^{2}}).$

B. $S=\frac{125}{4}({{m}^{2}}).$

C. $S=\frac{250}{3}({{m}^{2}}).$

D. $S=\frac{125}{3}({{m}^{2}}).$

 

Giải. Từ giả thiết, ta có $y=\pm \frac{1}{4}x\sqrt{25-{{x}^{2}}}.$ Vì tính đối xứng nên diện tích mảnh đất tương ứng 4 lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư của hệ trục toạ độ $Oxy,$ vì vậy $S=4\left( \int\limits_{0}^{5}{\frac{1}{4}x\sqrt{25-{{x}^{2}}}dx} \right)=\frac{125}{3}({{m}^{2}}).$ Chọn đáp án D.

Câu 45. Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức Hợp tác và Phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm.Người ta ước tính được rằng, khi nhiệt độ trái đất tăng ${{2}^{0}}C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%; còn nhiệt độ trái đất tăng thêm ${{5}^{0}}C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10%. Biết rằng, nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm ${{t}^{0}}C,$ tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm $f(t)%$ thì $f(t)=k.{{a}^{t}},$ trong đó $k,a$ là các hằng số dương. Khi nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu $^{0}C$ thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến 20% ?

A. $9,{{3}^{0}}C.$

B. $7,{{6}^{0}}C.$

C. $6,{{7}^{0}}C.$

D. $8,{{4}^{0}}C.$

Giải. Theo giả thiết, ta có

\[\left\{ \begin{gathered} k.{a^2} = 3 \hfill \\ k.{a^5} = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^3} = \frac{{10}}{3} \hfill \\ k = \frac{3}{{{a^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = {\left( {\frac{{10}}{3}} \right)^{\frac{1}{3}}} \hfill \\ k = 3{\left( {\frac{{10}}{3}} \right)^{ - \frac{2}{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right..\] Suy ra \[f(t)=3{{\left( \frac{10}{3} \right)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left( \frac{10}{3} \right)}^{\frac{t}{3}}}=3{{\left( \frac{10}{3} \right)}^{\frac{t-2}{3}}}=20\Leftrightarrow t\approx 6,{{7}^{0}}C.\] Chọn đáp án C.

Câu 47. Cho các số phức $z,w$ thoả mãn $\left| z+2-2i \right|=\left| z-4i \right|,w=iz+1.$ Giá trị nhỏ nhất của $\left| w \right|$ là ?

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

B. $2\sqrt{2}.$

C. $2.$

D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}.$

Giải. Với $z=a+bi,$ ta có $\left| (a+bi)+2-2i \right|=\left| (a+bi)-4i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{(a+2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(b-4)}^{2}}}\Leftrightarrow b=2-a.$

Vì vậy $\left| w \right|=\left| i\left( a+(2-a)i \right)+1 \right|=\sqrt{{{\left( 1-(2-a) \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\sqrt{2{{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{2}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Chọn đáp án A.

Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $A(2;-2;5)$ và tiếp xúc với ba mặt phẳng $(\alpha ):x=1;(\beta ):y=-1;(\gamma ):z=1.$ Bán kính của mặt cầu $(S)$ là ?

A. $3.$

B. 1.

C. $3\sqrt{2}.$

D. $\sqrt{33}.$

Giải. Theo giả thiết với tâm $I(a;b;c),$ ta có \[\begin{gathered} IA = d(I,(\alpha )) = d(I,(\beta )) = d(I,(\gamma )) \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(a - 2)}^2} + {{(b + 2)}^2} + {{(c - 5)}^2}} = \left| {a - 1} \right| = \left| {b + 1} \right| = \left| {c - 1} \right| \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 4 \hfill \\ b = - 4 \hfill \\ c = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow R = 3. \hfill \\ \end{gathered} \] Chọn đáp án A.

*Chú ý. Các phương trình trên giải được bằng phép bình phương.

Câu 46. Cho hai số thực $x,y$ thoả mãn $x+y=2\left( \sqrt{x-3}+\sqrt{y+3} \right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4({{x}^{2}}+{{y}^{2}})+15xy.$

A. $\min P=-80.$

B. $\min P=-91.$

C. $\min P=-83.$

D. $\min P=-63.$

Giải. Ta có $x+y=2\left( \sqrt{x-3}+\sqrt{y+3} \right)\ge 2\sqrt{(x-3)+(y+3)}=2\sqrt{x+y}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+y=0 \\ & x+y\ge 4 \\ \end{align} \right..$ Và $x+y=2\left( \sqrt{x-3}+\sqrt{y+3} \right)\le 2\sqrt{\left( 1+1 \right)\left( x-3+y+3 \right)}=2\sqrt{2(x+y)}\Rightarrow x+y\le 8.$

Nếu $x+y=0\Leftrightarrow x=-3;y=3\Rightarrow P=-63.$

Nếu $x+y\in [4;8],$ ta có

\[(x-3)(y+3)\ge 0\Rightarrow xy\ge 3(y-x)+9.\]

Suy ra

\[\begin{align} & P=4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+15xy=4{{(x+y)}^{2}}+7xy\ge 4{{(x+y)}^{2}}+7\left[ 3(y-x)+9 \right] \\ & =4{{(x+y)}^{2}}-21(x+y)+42y+63\ge {{4.4}^{2}}-21.4+42.(-3)+63=-83. \end{align}\] Chọn đáp án C.

*Chú ý. Câu hỏi này tương tự câu hỏi số V trong đề thi thpt quốc gia 2016, vì sử dụng cách đánh giá tương tự. 

Câu 50. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích $V.$ Các điểm $M,N,P$ trên các cạnh $A{A}',B{B}',C{C}'$ sao cho $\frac{AM}{A{A}'}=\frac{1}{2},\frac{BN}{B{B}'}=\frac{CP}{C{C}'}=\frac{2}{3}.$ Tính thể tích của khối đa diện $ABC.MNP.$

A. $\frac{2}{3}V.$

B. $\frac{9}{16}V.$

C. $\frac{20}{27}V.$

D. $\frac{11}{18}V.$

Giải. Ta có ${{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{M.ABC}}+{{V}_{M.BCPN}}.$

Trong đó ${{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}d(M,(ABC)).{{S}_{ABC}}=\frac{1}{6}V.$ ${{V}_{M.BCPN}}=\frac{{{S}_{BCPN}}}{{{S}_{BC{C}'{B}'}}}{{V}_{M.BC{C}'{B}'}}=\frac{BP+CN}{B{B}'+C{C}'}{{V}_{A.BC{C}'{B}'}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}V=\frac{4}{9}V.$

Vậy ${{V}_{ABC.MNP}}=\left( \frac{1}{6}+\frac{4}{9} \right)V=\frac{11}{18}V.$ Chọn đáp án D.

*Chú ý. Bài toán đúng cho mọi lăng trụ tam giác, không nhất thiết là lăng trụ đứng như đề bài. 

Riêng các em học sinh 2000 trở đi có thể tham khảo khoá học: PRO X TOÁN 2018 tại Vted được xây dựng dành riêng cho các em tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

(Video giới thiệu khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted)

(Video giới thiệu lộ trình Khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted)

 

Các em là học sinh 2000 hiện tại là lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 theo dõi cho thầy khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted sau đây:

Video giới thiệu khóa‼️ Pro X Toán 2018 tại Vted các em xem kĩ nhé! #vted

⚡️⚡️Khoá học dành riêng cho học sinh K2000 Luyện thi THPT Quốc Gia Môn Toán!

1️⃣HỌC TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

2️⃣ÔN TẬP HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 11 CÓ TRONG ĐỀ THI 2018

3️⃣ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA GIÚP BẠN ĐẠT ĐẾN 10 ĐIỂM

💯 KÈM 30 ĐỀ BÁM SÁT CẤU TRÚC CỰC CHẤT

▶️😮ƯU ĐÃI CỰC SỐC: 600.000đ so với học phí gốc: 1.200.000đ😮

---------------------------

➡️➡️CHƯƠNG TRÌNH ƯU ĐÃI CHỈ ÁP DỤNG ĐẾN HẾT 30 - 04 - 2017

▶️👉 👉Đăng kí học ngay tại links: https://goo.gl/m22862

Khuyến mại đặc biệt các khoá học môn Toán thi THPT Quốc Gia dành cho học sinh K99 và học sinh K2000

ƯU ĐÃI ĐẾN 50% HỌC PHÍ CÁC KHOÁ HỌC DÀNH CHO K99 & KHOÁ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2018 PRO X

Nhằm tạo điều kiện cho các học viên mới tham gia vào các khoá học môn PRO X Toán 2018 và các khoá luyện thi K99 ưu đãi:

giảm ngay 50% học phí/khoá cho tất cả các khoá học

Áp dụng trước ngày 23 - 04 - 2017

Chi tiết về ưu đãi từng khoá học như sau:

STT	KHOÁ HỌC	HỌC PHÍ GỐC	HỌC PHÍ ƯU ĐÃI	ĐĂNG KÍ
1	Chinh phục đề thi THPT Quốc Gia môn Toán 2017	400.000đ	200.000đ	http://vted.vn/khoa-hoc/xem/luyen-de-thi-thpt-quoc-gia-2016-mon-toan-kh362893300.html
2	Tư duy trắc nghiệm Toán	400.000đ	200.000đ	http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chuong-trinh-dgnl-hoc-va-giai-toan-trac-nghiem-thpt-quoc-gia-2017-kh963493378.html
3	Chinh phục nhóm câu hỏi vận dụng thực tiễn	200.000đ	100.000đ	http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-thuc-te-trong-de-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-kh668864686.html
4	Chinh phục cực trị Oxyz	200.000đ	100.000đ	http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chinh-phuc-cuc-tri-oxyz-kh969342861.html
5	PRO X TOÁN 2018	1.200.000đ	600.000đ	http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

6 LÍ DO TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI VTED CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

•Nội dung chất lượng luôn đi sát với thực tiễn đề thi

•Học 1 được 3 và còn hơn thế nữa với tổng thời lượng cho đến 500giờ/khoá 

•Tài liệu hỗ trợ & bài tập đi kèm đầy đủ, chỉ sợ học viên phát hoảng vì quá nhiều

•Giao lưu trực tuyến hàng tuần và gặp trực tiếp tại Hà Nội 

•Học phí quá rẻ so với những gì các bạn nhận được & liên tục cập nhật các nội dung mới hoàn toàn miễn phí

•Đảm bảo kết quả thi nếu Bạn tiếp thu được 70% lượng kiến thức mà khoá học mang lại 

Có thể Bạn sẽ gặp một số đối tượng đi rao bán những video này của chúng tôi không xin phép (đối với những video chúng tôi dạy trong các khóa trước đây) và hành vi lừa đảo Bạn đối với những video Tôi đã để công khai trên kênh Youtube của chúng tôi mà bị đem đi kinh doanh thương mại không xin phép. Bạn nên sáng suốt trước những lời mời mọc của những thành phần mất nhân cách này. Hãy chứng tỏ nhân cách của Bạn bằng cách hãy từ chối và chụp hình lại đoạn mời mọc của chúng (Facebook, thông tin cá nhân, đoạn chat mời mọc) và gửi cho chúng tôi để có biện pháp xử lý chúng. Chúng tôi sẽ giữ bí mật cho Bạn đồng thời gửi tặng Bạn phần quà và lời cảm ơn chân thành.

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!