Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch


Bài viết này Vted giới thiệu phương pháp để Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch và các ví dụ minh hoạ có lời giải chi tiết:

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch

>>Cơ sở của không gian véctơ

>>Xem thêm Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải

Ví dụ 1: Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp $n$ khả nghịch. Chứng minh rằng nếu $A+B$ khả nghịch thì ${{A}^{-1}}+{{B}^{-1}}$ cũng khả nghịch.

Giải. Có $A({{A}^{-1}}+{{B}^{-1}})B=A{{A}^{-1}}B+A{{B}^{-1}}B=EB+AE=B+A.$

Do đó $\det (B+A)=\det \left( A({{A}^{-1}}+{{B}^{-1}})B \right)=\det (A)\det ({{A}^{-1}}+{{B}^{-1}})\det (B).$

Do $\det (A)\ne 0;\det (B)\ne 0;\det (A+B)\ne 0\Rightarrow \det ({{A}^{-1}}+{{B}^{-1}})\ne 0.$Ta có điều phải chứng minh.  

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn ${{a}_{k}}{{A}^{k}}+{{a}_{k-1}}{{A}^{k-1}}+...+{{a}_{1}}A+{{a}_{0}}E=0({{a}_{0}}\ne 0)$ thì ma trận $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó.

Giải. Có ${{a}_{k}}{{A}^{k}}+{{a}_{k-1}}{{A}^{k-1}}+...+{{a}_{1}}A=-{{a}_{0}}E\Leftrightarrow A\left( -\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{0}}}{{A}^{k-1}}-\dfrac{{{a}_{k-1}}}{{{a}_{0}}}{{A}^{k-2}}-...-\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{0}}}E \right)=E.$

Điều đó chứng tỏ ma trận $A$ khả nghịch và ${{A}^{-1}}=-\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{0}}}{{A}^{k-1}}-\dfrac{{{a}_{k-1}}}{{{a}_{0}}}{{A}^{k-2}}-...-\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{0}}}E.$

Ví dụ 3: Cho $A,B$ là các ma trận thực vuông cấp $n$ khác nhau và thoả mãn điều kiện ${{A}^{3}}={{B}^{3}}$ và ${{A}^{2}}B=B{{A}^{2}}.$ Chứng minh rằng ma trận ${{A}^{2}}+{{B}^{2}}$ suy biến.

Giải. Có $({{A}^{2}}+{{B}^{2}})(A+B)={{A}^{3}}+{{A}^{2}}B+{{B}^{2}}A+{{B}^{3}}=2{{A}^{3}}+2{{B}^{2}}A=2({{A}^{2}}+{{B}^{2}})A.$

Giả sử $\det ({{A}^{2}}+{{B}^{2}})\ne 0$ khi đó $A+B=2A\Leftrightarrow A=B$ (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy $\det ({{A}^{2}}+{{B}^{2}})=0.$  

Ví dụ 4: Cho $A$ là ma trận vuông. Điều kiện để $A$ là ma trận đối xứng là ${A}'=A;$ điều kiện để $A$ là ma trận phản đối xứng là ${A}'=-A.$ Chứng minh rằng:

  1. Mọi ma trận phản đối xứng cấp lẻ đều suy biến.
  2. Mọi ma trận $A$ vuông cấp lẻ thì $A-{A}'$ suy biến.
  3. Mọi ma trận vuông đều có thể phân tích thành tổng của một ma trận đối xứng và một ma trận phản đối xứng cùng cấp.
  4. Nếu $A$ là ma trận phản đối xứng cấp lẻ thì $E-A$ khả nghịch.
  5. Mọi giá trị riêng của ma trận thực đối xứng đều là các số thực; mọi giá trị riêng của ma trận thực phản đối xứng đều bằng 0 hoặc thuần ảo.

>>Xem thêm bài giảng Định thức và các tính chất của định thức

Ví dụ 5: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn $2{{A}^{3}}-A=E.$ Chứng minh rằng ma trận $E+2A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó.

Giải. Xét phép nhân ma trận $(E+2A)(a{{A}^{2}}+bA+cE)=2a{{A}^{3}}+(a+2b){{A}^{2}}+(b+2c)A+cE.$

Ta sẽ chọn $a,b,c$ sao cho $2a{A^3} + (a + 2b){A^2} + (b + 2c)A = 2{A^3} - A \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a = 2\\ a + 2b = 0\\ b + 2c = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - \dfrac{1}{2}\\ c = - \dfrac{1}{4} \end{array} \right.$ (mục đích để sử dụng giả thiết đề bài cho)

Vậy $(E+2A)\left( {{A}^{2}}-\dfrac{1}{2}A-\dfrac{1}{4}E \right)=2{{A}^{3}}-A-\dfrac{1}{4}E=E-\dfrac{1}{4}E=\dfrac{3}{4}E$

$\Leftrightarrow (E+2A)\left( \dfrac{4}{3}{{A}^{2}}-\dfrac{2}{3}A-\dfrac{1}{3}E \right)=E.$

Điều đó chứng tỏ ma trận $E+2A$ khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là ${{A}^{-1}}=\dfrac{4}{3}{{A}^{2}}-\dfrac{2}{3}A-\dfrac{1}{3}E.$

Dành cho các em tự luyện: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{3}}+13{{A}^{2}}+36A-3E=0.$ Chứng minh rằng ma trận $X=A+9E$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo ${{X}^{-1}}$ của nó theo $A.$

Ví dụ 6: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông vuông cấp $n\ge 2$ thoả mãn $AB+A+B=O.$ Chứng minh rằng nếu $A$ khả nghịch thì $B$ khả nghịch.

Giải. Có biến đổi từ giả thiết có ${{A}^{-1}}$ như sau:

$\begin{array}{l} AB + A + B = O \Rightarrow {A^{ - 1}}\left( {AB + A + B} \right) = O \Leftrightarrow {A^{ - 1}}AB + {A^{ - 1}}A + {A^{ - 1}}B = O\\ \Leftrightarrow B + E + {A^{ - 1}}B = O \Leftrightarrow B(E + {A^{ - 1}}) = - E \Rightarrow \det (B)\det (E + {A^{ - 1}}) = \det ( - E). \end{array}$

Do đó $\det (B)\ne 0;\det (E+{{A}^{-1}})\ne 0.$ Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 7: Cho $A,B$ là hai ma trậnvuông cùng cấp thoả mãn $AB+2019A+2020B=O.$ Chứng minh rằng các ma trận $A+2020E$ và $B+2019E$ khả nghịch.

Giải. Có $AB+2019A+2020B=O\Leftrightarrow (A+2020E)(B+2019E)=2019.2020E.$

Do đó $\det (A+2020E).\det (B+2019E)=\det (2019.2020E).$

Suy ra $\det (A+2020E)\ne 0;\det (B+2019E)\ne 0.$ Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 8: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cùng cấp, có cấp là số lẻ thoả mãn $AB=O.$ Chứng minh rằng ít nhất một trong hai ma trận $A+{A}'$ và $B+{B}'$ suy biến.

Ví dụ 9: Cho $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ với ${{a}_{ij}}=-1,\forall i=j;{{a}_{ij}}\in \left\{ 0,2019 \right\},\forall i\ne j.$ Chứng minh rằng ma trận $A$ khả nghịch.

Giải. Theo định nghĩa về định thức có: $\det (A)-{{(-1)}^{n}}$ chia hết cho $2019$ do đó $\det (A)\ne 0.$

Ví dụ 10: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{2019}}=O$ và $B(A-E)=A+3E.$ Chứng minh rằng ma trận $B$ khả nghịch.

Giải. Có $B(A-E)=A+3E\Rightarrow \det (B)\det (A-E)=\det (A+3E).$

Ta cần chứng minh $\det (A-E)\ne 0;\det (A+3E)\ne 0.$

Theo giả thiết có:

$-E=-{{E}^{2019}}={{A}^{2019}}-{{E}^{2019}}=(A-E)({{A}^{2018}}+E{{A}^{2017}}+...+{{E}^{2017}}A+{{E}^{2018}}).$

Lấy định thức hai vế có $\det (A-E)\ne 0.$

Tương tự có ${{(3E)}^{2019}}={{A}^{2019}}+{{(3E)}^{2019}}=(A+3E)({{A}^{2018}}-3E{{A}^{2017}}+...+{{(3E)}^{2018}}).$

Lấy định thức hai vế có $\det (A+3E)\ne 0.$

Ví dụ 11: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{2019}}=O$ và $A+2019E=AB.$ Chứng minh rằng ma trận $B$ suy biến.

Giải. Có ${{A}^{2019}}=O\Rightarrow {{\left( \det (A) \right)}^{2019}}=0\Leftrightarrow \det (A)=0.$

Biến đổi $2019B=AB-A=A(B-E)\Rightarrow {{2019}^{n}}\det (B)=\det (A)\det (B-E)=0\Leftrightarrow \det (B)=0.$

Ví dụ 12: Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n.$ Chứng minh rằng nếu tồn tại số tự nhiên $m$ sao cho ${{A}^{m}}=O$ thì các ma trận $E-A$ và $E+A$ khả nghịch.

Giải. Có $E={{E}^{m}}={{E}^{m}}+{{A}^{m}}=(E+A)({{E}^{m-1}}-{{E}^{m-2}}A+...+{{A}^{m-1}}).$

Lấy định thức hai vế có $\det (E+A)\ne 0.$

Vì ${{A}^{m}}=0\Rightarrow {{A}^{2m+1}}=0\Rightarrow E={{E}^{2m+1}}={{E}^{2m+1}}-{{A}^{2m+1}}=(E-A)({{E}^{2m}}+{{E}^{2m-1}}A+...+{{A}^{2m}}).$

Lấy định thức hai vế có $\det (E-A)\ne 0.$  

Ví dụ 13: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông cấp $n$ thoả mãn $AB=BA$ và tồn tại các số nguyên dương $m,p$ sao cho ${{A}^{m}}=O,{{B}^{p}}=O.$ Chứng minh rằng các ma trận $E-A-B$ và $E+A+B$ khả nghịch.

Giải. Có $AB=BA$ nên ${{(A+B)}^{m+p}}=\sum\limits_{k=1}^{m+p}{C_{m+p}^{k}{{A}^{m+p-k}}{{B}^{k}}}=O.$

Do đó theo ví dụ 12 có ngay điều phải chứng minh.

Ví dụ 14: Cho $A,B$ là hai ma trận vuông thực cấp 2019 thoả mãn:

$\det (A)=\det (A+B)=\det (A+2B)=...=\det (A+2019B)=0.$

Chứng minh rằng với mọi $x,y\in \mathbb{R}$ ta có $\det (xA+yB)=0.$

Ví dụ 15: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n.$ Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương $m$ thoả mãn ${{(A+E)}^{m}}=O$ thì ma trận $A$ khả nghịch.

Ví dụ 16: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{2019}}=2019A.$ Chứng minh rằng ma trận $A-E$ khả nghịch.

Giải. Biến đổi giả thiết:

$\begin{array}{l} {A^{2019}} - 2019A = O \Leftrightarrow ({A^{2019}} - {E^{2019}}) - 2019(A - E) = 2018E\\ \Leftrightarrow (A - E)\left( {{A^{2018}} + {A^{2017}} + ... + A + E - 2019E} \right) = 2018E\\ \Leftrightarrow (A - E)\left( {{A^{2018}} + {A^{2017}} + ... + A - 2018E} \right) = 2018E. \end{array}$

Lấy định thức hai vế có $\det (A-E)\ne 0.$  

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

  1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
  2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả