Có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác


Có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Trích đề thi và bài giảng khoá PRO XMAX Vận dụng cao 2019 Môn Toán tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://www.vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2019-mon-toan-kh896337656.html

Ví dụ 1: Cho đa giác đều $(H)$ gồm 16 đỉnh, có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của $(H)$ nhưng không có cạnh nào là cạnh của $(H).$

A. $110.$

B. $2640.$

C. $660.$

D. $1320.$

Lời giải chi tiết: Gọi các đỉnh của đa giác là ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{16}}.$

Để chọn được một tứ giác thoả mãn ta thực hiện qua các công đoạn:

  1. Chọn một đỉnh có 16 cách, giả sử là ${{A}_{1}}.$
  2. Ta tìm số cách chọn ba đỉnh còn lại, tức ba đỉnh ${{A}_{i}},{{A}_{j}},{{A}_{k}}$ và giữa ${{A}_{1}},{{A}_{i}}$ có ${{x}_{1}}$ đỉnh; giữa ${{A}_{i}},{{A}_{j}}$ có ${{x}_{2}}$ đỉnh; giữa ${{A}_{j}},{{A}_{k}}$ có ${{x}_{3}}$ đỉnh và giữa ${{A}_{k}},{{A}_{1}}$ có ${{x}_{4}}$ đỉnh, theo giả thiết có $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=16-4=12 \\ & {{x}_{m}}\ge 1,m=\overline{1,4}\\ \end{align} \right..$

Số cách chọn ra ba đỉnh này bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=12$ và bằng $C_{12-1}^{4-1}=C_{11}^{3}.$

Vậy số các tứ giác có thể bằng $16C_{11}^{3},$ tuy nhiên vì vai trai trò bốn đỉnh như nhau nên mỗi đa giác được tính 4 lần, do đó số tứ giác bằng $\frac{16C_{11}^{3}}{4}=4C_{11}^{3}=660.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho một đa giác $(H)$ gồm 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn tâm $O.$ Người ta lập một tứ giác tuỳ ý có bốn đỉnh là các đỉnh của $(H).$ Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của $(H)$ gần nhất với số nào dưới đây ?

A. $0,854.$

B. $0,1345.$

C. $0,4035.$

D. $0,807.$

Lời giải: Tứ giác có các cạnh là đường chéo của đa giác tương đương với tứ giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

Xác suất cần tính bằng $\frac{\frac{60C_{(60-4)-1}^{4-1}}{4}}{C_{60}^{4}}=\frac{15C_{55}^{3}}{C_{60}^{4}}=\frac{26235}{32509}\approx 0,807.$

Chọn đáp án D.

Trích đề thi và bài giảng khoá PRO XMAX Vận dụng cao 2019 Môn Toán tại Vted.vn

Đăng kí khoá học tại đây: https://www.vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2019-mon-toan-kh896337656.html

 

Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện

Câu 15. Cho đa giác đều $(H)$ gồm 24 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ra 4 đỉnh, xác suất để để chọn được 4 đỉnh là 4 đỉnh của một tứ giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ bằng

A. $\frac{323}{3542}.$

B. $\frac{969}{1771}.$

C. $\frac{969}{3542}.$

D. $\frac{323}{1771}.$

Câu 16. Quanh một hồ nước hình tròn có trồng 10 cây xanh, người ta chặt đi ngẫu nhiên 4 cây. Xác suất để trong 4 cây bị chặt không có hai cây cạnh nhau bằng

A. $\frac{5}{21}.$

B. $\frac{10}{21}.$

C. $\frac{37}{42}.$

D. $\frac{5}{42}.$

Câu 17. Một đa giác đều 20 đỉnh, chọn ngẫu nhiên ra 3 đỉnh. Xác suất để ba đỉnh chọn ra tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều đã cho bằng

A. $\frac{40}{57}.$

B. $\frac{56}{57}.$

C. $\frac{17}{57}.$

D. $\frac{1}{57}.$

Câu 18. Một đa giác đều 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên ra 6 đỉnh. Xác suất để 6 đỉnh được chọn tạo thành một lục giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều bằng

A. $\frac{884}{4807}.$

B. $\frac{3039}{4807}.$

C. $\frac{1768}{4807}.$

D. $\frac{3923}{4807}.$ .

 

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả