Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc Lý thuyết kèm ví dụ bài tập chi tiết về Cơ sở của không gian véctơ:

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>>Cơ sở của không gian véctơ

1. Cơ sở của không gian véctơ

• Trong không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}$ mỗi hệ gồm $n$ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}} \right\}$ độc lập tuyến tính được gọi là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}.$

Ví dụ 1: Hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=(1,2),{{P}_{2}}=(-2,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{2}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ độc lập tuyến tính do không tỉ lệ.

Ví dụ 2: Hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=(1,0,0),{{P}_{2}}=(0,1,0),{{P}_{3}}=(0,0,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{3}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}}$ độc lập tuyến tính.

Ví dụ 3: Hệ gồm n véctơ ${{E}_{1}}=(1,0,0,...,0),{{E}_{2}}=(0,1,0,...,0),...,{{E}_{n}}=(0,0,0,...,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}.$  

2. Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở

• Giả sử hệ véctơ ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{n}}.$ Khi đó mọi véctơ $X\in {{\mathbb{R}}^{n}}$ đều được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua hệ véctơ ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}}$, tức là luôn tồn tại duy nhất $n$ số thực ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}}$ sao cho $X={{\alpha }_{1}}{{P}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{P}_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}{{P}_{n}}.$ Bộ số $({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}})$ được gọi là toạ độ của véctơ $X$ trong cơ sở $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}} \right\}.$
• Ta đã biết rằng $({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{n}})$ là nghiệm của hệ tuyến tính có ma trận hệ số mở rộng $\overline{A}=\left( {{P}_{1}}{{P}_{2}}...{{P}_{n}}X \right)$ trong đó ${{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n}},X$ viết dưới dạng cột.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ gồm 3 véctơ ${{v}_{1}}=(1,1,1),{{v}_{2}}=(1,1,2),{{v}_{3}}=(1,2,3)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ đối với cơ sở đó.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cơ sở đó:

a) ${{v}_{1}}=(2,1,1),{{v}_{2}}=(6,2,0),{{v}_{3}}=(7,0,7),v=(15,3,1).$

b) ${{v}_{1}}=(0,1,1),{{v}_{2}}=(2,3,0),{{v}_{3}}=(1,0,1),v=(2,3,0).$

c) ${{v}_{1}}=(1,2,-1),{{v}_{2}}=(2,3,0),{{v}_{3}}=(5,7,2),v=(2,-3,6).$

d) ${{v}_{1}}=(1,2,3),{{v}_{2}}=(1,3,-2),{{v}_{3}}=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ gồm 4 véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}} \right\}$ dưới đây

${{P}_{1}}=(1,2,-1,1),{{P}_{2}}=(5,9,2,-3),{{P}_{3}}=(3,5,5,-1),{{P}_{4}}=(4,7,3,-3)$

là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}$ và tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong cơ sở đó.

Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ gồm 3 véctơ ${{P}_{1}}=(2,1,1),{{P}_{2}}=(6,2,0),{{P}_{3}}=(7,0,m)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$

Ví dụ 5: Tìm $m$ để hệ gồm 4 véctơ ${{P}_{1}}=(1,2,-1,1),{{P}_{2}}=(5,9,2,-3),{{P}_{3}}=(3,5,5,-1),{{P}_{4}}=(4,7,3,m)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

Ví dụ 6: Cho cho ba véctơ ${{X}_{1}}=(3,-2,4,1),{{X}_{2}}=(-2,1,3,-2),{{X}_{3}}=(-3,-1,k,2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&4&1\\ { - 2}&1&3&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&k&2\\ a&b&c&d \end{array}} \right).$

Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ sao cho $\det (A)\ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:

$\begin{array}{c} \det (A) = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{( - 1)^{4 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&1\\ { - 2}&1&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&2 \end{array}} \right| + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + 15c + d{A_{44}}. \end{array}$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=d=0,c\ne 0$ khi đó $\det (A)=15c\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=(0,0,c,0),c\ne 0.$

Ví dụ 7: Cho ba véctơ ${{X}_{1}}=(2,k,4,-1),{{X}_{2}}=(-3,1,2,k),{{X}_{3}}=(6,-1,-4,-2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4&{ - 1}\\ { - 3}&1&2&k\\ 6&{ - 1}&{ - 4}&{ - 2}\\ a&b&c&d \end{array}} \right).$ Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ sao cho $\det (A)\ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:

$\begin{array}{c} \det (A) = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{( - 1)^{4 + 4}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4\\ { - 3}&1&2\\ 6&{ - 1}&{ - 4} \end{array}} \right|\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} - 16d. \end{array}$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=c=0,d\ne 0$ khi đó $\det (A)=-16d\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=(0,0,0,d),d\ne 0.$

3. Cơ sở và số chiều của không gian con

Cho L là một không gian con của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$ Hệ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}$ nằm trong L được gọi là một cơ sở của L nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

1. Hệ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}$ độc lập tuyến tính;
2. Mọi véctơ $X\in L$ đều được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}.$

Số véctơ của cơ sở của L được gọi là số chiều của L và được kí hiệu là dimL.

Ví dụ 1: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{2}}=2{{x}_{1}} \right\}.$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véc tơ ${{P}_{1}}=(1,2,0),{{P}_{2}}=(1,2,1)$ là một cơ sở của L.

Ví dụ 2: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 4: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0 \right\}(a,b,c\in \mathbb{R};a\ne 0).$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1 \right)$ là một cơ sở của L.

Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}}(a\ne 0).$

Vậy $X=\left( -\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right)=\left( -\frac{b}{a}{{x}_{2}},{{x}_{2}},0 \right)+\left( -\frac{c}{a}{{x}_{3}},0,{{x}_{3}} \right)={{x}_{2}}\left( -\frac{b}{a},1,0 \right)+{{x}_{3}}\left( -\frac{c}{a},0,1 \right).$

Rõ ràng   ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1 \right)$ độc lập tuyến tính vì không tỉ lệ nên hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1 \right)$ là một cơ sở của L.

Ví dụ 8: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},4{{x}_{1}}-5{{x}_{2}})\in {{\mathbb{R}}^{3}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 9: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-{{x}_{4}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 10: Cho không gian con $L=\left\{ X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)\in {{\mathbb{R}}^{3}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 11: Cho không gian con $L=\left\{ X=(a,b,c,d)\in {{\mathbb{R}}^{4}}|2a+b=c-3d \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 12: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|{{x}_{1}}-3{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=0,4{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 13: Cho không gian con $L=\left\{ X=(4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+3,{{x}_{2}},{{x}_{3}},-3{{x}_{2}}+{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{4}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 14: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0 \right\}(a,b,c,d\in \mathbb{R};a\ne 0).$ Chứng minh rằng hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\frac{d}{a},0,0,1 \right)$ là một cơ sở của L.

Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}}-\frac{d}{a}{{x}_{4}}(a\ne 0).$Vậy

$\begin{array}{c} X = \left( { - \frac{b}{a}{x_2} - \frac{c}{a}{x_3} - \frac{d}{a}{x_4},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( { - \frac{b}{a}{x_2},{x_2},0,0} \right) + \left( { - \frac{c}{a}{x_3},0,{x_3},0} \right) + \left( { - \frac{d}{a}{x_4},0,0,{x_4}} \right)\\ = {x_2}\left( { - \frac{b}{a},1,0,0} \right) + {x_3}\left( { - \frac{c}{a},0,1,0} \right) + {x_4}\left( { - \frac{d}{a},0,0,1} \right). \end{array}$

Rõ ràng   ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\frac{d}{a},0,0,1 \right)$ độc lập tuyến tính nên hệ gồm bavéctơ ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\frac{d}{a},0,0,1 \right)$ là một cơ sở của L.

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY