Ví dụ 1: Hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=(1,2),{{P}_{2}}=(-2,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{2}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ độc lập tuyến tính do không tỉ lệ.
Ví dụ 2: Hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=(1,0,0),{{P}_{2}}=(0,1,0),{{P}_{3}}=(0,0,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{3}}$ vì ${{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}}$ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 3: Hệ gồm n véctơ ${{E}_{1}}=(1,0,0,...,0),{{E}_{2}}=(0,1,0,...,0),...,{{E}_{n}}=(0,0,0,...,1)$ là một cơ sở của không gian ${{\mathbb{R}}^{n}}.$
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ gồm 3 véctơ ${{v}_{1}}=(1,1,1),{{v}_{2}}=(1,1,2),{{v}_{3}}=(1,2,3)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ đối với cơ sở đó.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},{{v}_{3}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}$ và tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cơ sở đó:
a) ${{v}_{1}}=(2,1,1),{{v}_{2}}=(6,2,0),{{v}_{3}}=(7,0,7),v=(15,3,1).$
b) ${{v}_{1}}=(0,1,1),{{v}_{2}}=(2,3,0),{{v}_{3}}=(1,0,1),v=(2,3,0).$
c) ${{v}_{1}}=(1,2,-1),{{v}_{2}}=(2,3,0),{{v}_{3}}=(5,7,2),v=(2,-3,6).$
d) ${{v}_{1}}=(1,2,3),{{v}_{2}}=(1,3,-2),{{v}_{3}}=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ gồm 4 véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},{{P}_{3}},{{P}_{4}} \right\}$ dưới đây
${{P}_{1}}=(1,2,-1,1),{{P}_{2}}=(5,9,2,-3),{{P}_{3}}=(3,5,5,-1),{{P}_{4}}=(4,7,3,-3)$
là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}$ và tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong cơ sở đó.
Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ gồm 3 véctơ ${{P}_{1}}=(2,1,1),{{P}_{2}}=(6,2,0),{{P}_{3}}=(7,0,m)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$
Ví dụ 5: Tìm $m$ để hệ gồm 4 véctơ ${{P}_{1}}=(1,2,-1,1),{{P}_{2}}=(5,9,2,-3),{{P}_{3}}=(3,5,5,-1),{{P}_{4}}=(4,7,3,m)$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$
Ví dụ 6: Cho cho ba véctơ ${{X}_{1}}=(3,-2,4,1),{{X}_{2}}=(-2,1,3,-2),{{X}_{3}}=(-3,-1,k,2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$
Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&4&1\\ { - 2}&1&3&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&k&2\\ a&b&c&d \end{array}} \right).$
Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ sao cho $\det (A)\ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:
$\begin{array}{c} \det (A) = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{( - 1)^{4 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&1\\ { - 2}&1&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&2 \end{array}} \right| + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + 15c + d{A_{44}}. \end{array}$
Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=d=0,c\ne 0$ khi đó $\det (A)=15c\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=(0,0,c,0),c\ne 0.$
Ví dụ 7: Cho ba véctơ ${{X}_{1}}=(2,k,4,-1),{{X}_{2}}=(-3,1,2,k),{{X}_{3}}=(6,-1,-4,-2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ để hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một cơ sở của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$
Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ làm véctơ dòng, có $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4&{ - 1}\\ { - 3}&1&2&k\\ 6&{ - 1}&{ - 4}&{ - 2}\\ a&b&c&d \end{array}} \right).$ Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ sao cho $\det (A)\ne 0.$ Khai triển theo dòng 4 có:
$\begin{array}{c} \det (A) = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{( - 1)^{4 + 4}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&k&4\\ { - 3}&1&2\\ 6&{ - 1}&{ - 4} \end{array}} \right|\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} - 16d. \end{array}$
Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=c=0,d\ne 0$ khi đó $\det (A)=-16d\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=(0,0,0,d),d\ne 0.$
Cho L là một không gian con của ${{\mathbb{R}}^{3}}.$ Hệ véctơ $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{k}} \right\}$ nằm trong L được gọi là một cơ sở của L nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
Số véctơ của cơ sở của L được gọi là số chiều của L và được kí hiệu là dimL.
Ví dụ 1: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{2}}=2{{x}_{1}} \right\}.$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véc tơ ${{P}_{1}}=(1,2,0),{{P}_{2}}=(1,2,1)$ là một cơ sở của L.
Ví dụ 2: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|{{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 4: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{3}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0 \right\}(a,b,c\in \mathbb{R};a\ne 0).$ Chứng minh rằng hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1 \right)$ là một cơ sở của L.
Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}}(a\ne 0).$
Vậy $X=\left( -\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right)=\left( -\frac{b}{a}{{x}_{2}},{{x}_{2}},0 \right)+\left( -\frac{c}{a}{{x}_{3}},0,{{x}_{3}} \right)={{x}_{2}}\left( -\frac{b}{a},1,0 \right)+{{x}_{3}}\left( -\frac{c}{a},0,1 \right).$
Rõ ràng ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1 \right)$ độc lập tuyến tính vì không tỉ lệ nên hệ gồm hai véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1 \right)$ là một cơ sở của L.
Ví dụ 8: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},4{{x}_{1}}-5{{x}_{2}})\in {{\mathbb{R}}^{3}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 9: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-{{x}_{4}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 10: Cho không gian con $L=\left\{ X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)\in {{\mathbb{R}}^{3}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 11: Cho không gian con $L=\left\{ X=(a,b,c,d)\in {{\mathbb{R}}^{4}}|2a+b=c-3d \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 12: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|{{x}_{1}}-3{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=0,4{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+2{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0 \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 13: Cho không gian con $L=\left\{ X=(4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+3,{{x}_{2}},{{x}_{3}},-3{{x}_{2}}+{{x}_{3}})\in {{\mathbb{R}}^{4}} \right\}.$ Tìm một cơ sở và số chiều của L.
Ví dụ 14: Cho không gian con $L=\left\{ X=({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})\in {{\mathbb{R}}^{4}}|a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0 \right\}(a,b,c,d\in \mathbb{R};a\ne 0).$ Chứng minh rằng hệ gồm ba véctơ ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\frac{d}{a},0,0,1 \right)$ là một cơ sở của L.
Giải. Có $a{{x}_{1}}+b{{x}_{2}}+c{{x}_{3}}+d{{x}_{4}}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-\frac{b}{a}{{x}_{2}}-\frac{c}{a}{{x}_{3}}-\frac{d}{a}{{x}_{4}}(a\ne 0).$Vậy
$\begin{array}{c} X = \left( { - \frac{b}{a}{x_2} - \frac{c}{a}{x_3} - \frac{d}{a}{x_4},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( { - \frac{b}{a}{x_2},{x_2},0,0} \right) + \left( { - \frac{c}{a}{x_3},0,{x_3},0} \right) + \left( { - \frac{d}{a}{x_4},0,0,{x_4}} \right)\\ = {x_2}\left( { - \frac{b}{a},1,0,0} \right) + {x_3}\left( { - \frac{c}{a},0,1,0} \right) + {x_4}\left( { - \frac{d}{a},0,0,1} \right). \end{array}$
Rõ ràng ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\frac{d}{a},0,0,1 \right)$ độc lập tuyến tính nên hệ gồm bavéctơ ${{P}_{1}}=\left( -\frac{b}{a},1,0,0 \right),{{P}_{2}}=\left( -\frac{c}{a},0,1,0 \right),{{P}_{3}}=\left( -\frac{d}{a},0,0,1 \right)$ là một cơ sở của L.
Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:
Cho em xin lời giải ví dụ 2 phần cơ sở và số chiều của không gian được không ạ.