[Combo X] – Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong hình học (Đề số 02)

Phần I.  Trong phần I này, chúng ta tập trung xử lý các yêu cầu hoặc vận các kiến thức về góc

Ghi chú. Các công thức lượng đã học trong chương trình Toán 9, 10 và 11.

Ngoài ra rất hay sử dụng công thức lượng giác tan của tổng và hiệu sau:

$\tan \left( a-b \right)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b},\text{ }\tan \left( a+b \right)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.$

Cũng tương tự như các vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu khác. Sau khi các em thiết lập được biểu thức cần tìm GTLN (GTNN) của hàm số một biến. Bước cuối sử dụng các kĩ năng tìm GTLN (GTNN) của hàm số một biến, trong đó ưu tiên sử dụng MTCT hỗ trợ bằng chức năng tìm nghiệm của đạo hàm.

Ngoài ra, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về hệ trục tọa độ Oxy (điểm, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn,...) sẽ giúp chúng ta biện luận đơn giản hơn.

>>Xem thêm: [Combo X] – Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong hình học (Đề số 01)

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong hình học (Đề số 03 và 04)

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Câu 3 [Q445703226] Một chiếc đèn được đặt trên đỉnh của một cột đèn cao $h(\mathrm{~m})$ để chiếu sáng một vòng xuyến giao thông đông đúc có bán kính 12 m . Cường độ ánh sáng $I$ tại một điểm $P$ trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc $\theta$ và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $d(\mathrm{~m})$ từ nguồn sáng đến điểm $P$ (xem hình dưới đây).
a) Giá trị $\cos \theta=\frac{12}{\sqrt{h^2+144}}$.
b) $I=k \cdot \frac{\cos \theta}{d^2}$ (với $k$ là hằng số dương).
c) Nếu $I=f(h)$ thì $f^{\prime}(h)=k \cdot \frac{-2 h^2+144}{\left(h^2+144\right)^2 \sqrt{\left(h^2+144\right)^3}}$.
d) Để cuờng độ ánh sáng $I$ lớn nhất thì cột đèn phải cao $6 \sqrt{2} \mathrm{~m}$.

Câu 4 [Q548365685] Một quan sát viên $C$ đứng cách đường đua $O t$ một khoảng $O C=1 \mathrm{~km}(O C \perp O t)$. Hai vận động viên $A, B$ xuất phát tại $O$ và chạy cùng lúc (sang phải, như hình vẽ) trên đường đua. Góc $\theta=\widehat{A C B}$ được gọi là góc nhìn từ $C$ đến hai vận động viên. Giả sử $B$ luôn chạy nhanh hơn $A$ bốn lần. Khi góc nhìn từ $C$ đến hai vận động viên lớn nhất thì khoảng cách giữa hai vận động viên là bao nhiêu kilômét?

Câu 6 [Q423753578] Một màn ảnh hình chữ nhật cao $1,4 \mathrm{~m}$ và đặt ở độ cao $1,8 \mathrm{~m}$ so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình như hình vẽ). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng tại $O$ sao cho góc nhìn $\widehat{B O C}$ lớn nhất. Hỏi góc nhìn tốt nhất là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 7 [Q969825609] Có thể di chuyển được một thanh xà chiều dài tối đa là bao nhiêu mét qua góc vuông của hành lang một toà nhà có độ rộng tương ứng là 9 m và 6 m ? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 8 [Q190099610] Một kênh dẫn nước theo góc vuông có bề rộng $3,0 \mathrm{~m}$ như hình vẽ. Cho 4 cây luồng (thẳng) có độ dài là $6,2 m ; 8,3 m ; 8,4 m ; 9,0 m$ trôi tự do trên kênh. Số cây luồng có thể trôi tự do qua góc kênh là bao nhiêu?

Câu 9 [Q621113218] Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao 2 m , một phía rộng 1 m , một phía rộng $1,2 \mathrm{~m}$. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài $2 \mathrm{~m}, 2,5 \mathrm{~m}, 3 \mathrm{~m}, 3,5 \mathrm{~m}, 4 \mathrm{~m}$, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Câu 10 [Q893875578] Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào gara ôtô nhà cô Hiền. Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng $x(\mathrm{~m})$, đoạn đường thẳng vào cổng gara có chiều rộng $2,6(\mathrm{~m})$.

Biết xe ôtô có kích thước $5 \mathrm{~m} \times 1,9 \mathrm{~m}$, để tính toán và thiết kế đường đi cho ôtô ta coi ôtô là một khối hộp chữ nhật có chiều dài 5 m , chiều rộng $1,9 \mathrm{~m}$. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên là bao nhiêu mét để ôtô có thể đi vào gara được? (giả thiết ôtô không đi ra ngoài đường, không đi nghiêng và ôtô không bị biến dạng).

Câu 11 [Q350001850] Hình vẽ bên dưới mô tả đoạn đường đi vào gara ô tô, đoạn đường đầu tiên rộng $a \mathrm{~m}$ và đoạn đường thẳng vào cổng gara rộng $2,6 \mathrm{~m}$. Khúc cua cong là một phần tư đường tròn tâm $M$ bán kính 2 m .

Biết xe ôtô có kích thước $5 \mathrm{~m} \times 1,9 \mathrm{~m}$, để tính toán và thiết kế đường đi cho ôtô ta coi ôtô là một khối hộp chữ nhật có chiều dài 5 m , chiều rộng $1,9 \mathrm{~m}$. Hỏi chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên là bao nhiêu mét để ôtô có thể đi vào gara được? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, giả thiết ôtô không đi ra ngoài đường, không đi nghiêng và ôtô không bị biến dạng).

Câu 13 [Q889682758] Một màn hình cỡ lớn trong một rạp chiếu phim cao 12 m và đặt ở độ cao 1 m so với mặt sàn. Để xem rõ nhất phải xác định vị trí $O$ của mắt người xem sao cho góc nhìn $\widehat{B O C}$ lớn nhất (tính theo phương vuông góc với màn hình).

Biết rằng chiều cao mắt người xem đến mép dưới màn hình ở hàng ghế đầu là 20 cm (mắt người xem cao hơn mép dưới màn hình) và chiều cao mắt người xem đến mép dưới màn hình ở hàng ghế sau hơn hàng ghế ngay trước đó là 20 cm . Khoảng cách giữa hai hàng ghế liên tiếp là 90 cm và hàng ghế đầu cách màn hình 6 m . Các hàng ghế đầu sẽ cho góc nhìn lớn hơn các hàng ghế sau, tuy nhiên khi xem phim hay phải ngước lên cao dễ mỏi cổ và mắt. Hỏi nên lựa chọn hàng ghế nào xa màn hình nhất mà vẫn đảm bảo góc nhìn tối thiểu là $45^{\circ}$ ?

Câu 15 [Q822733438] Một hành lang bằng phẳng có dạng hình chữ $L$ được giới hạn bởi hai bức tường song song $\left(T_1\right),\left(T_3\right)$ và hai bức tường song song $\left(T_2\right),\left(T_4\right)$ (khi nhìn thẳng đứng từ trên xuống, ta được hình minh họa như bên dưới). Một người muốn đặt một thanh sào có dạng đoạn thẳng $A B$ để chắn lối đi trên hành lang đó sao cho hai đầu $A, B$ của thanh sào luôn lần lượt chạm vào chân của hai bức tường $\left(T_1\right),\left(T_2\right)$; đồng thời giao điểm $C$ tạo bởi chân của hai bức tường $\left(T_3\right),\left(T_4\right)$ cũng luôn chạm vào thanh sào. Biết khoảng cách giữa hai bức tường $\left(T_1\right),\left(T_3\right)$ là $a=3$ (mét) và khoảng cách giữa hai bức tường $\left(T_2\right),\left(T_4\right)$ là $b=2$ (mét). Tính chiều dài tối thiểu của thanh sào $A B$ theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 17 [Q388837833] Cho mảnh giấy màu hình bán nguyệt có đường kính là đoạn thẳng $A B$ có độ dài bằng 2 . Trên cung $A B$ lấy một điểm $P$. Gấp mảnh giấy theo nếp gấp là đoạn thẳng $A P$ sao cho hai phần giấy khít lên nhau. Khi $\widehat{P A B}=\theta$ (với $0<\theta<\frac{\pi}{4}$ ), gọi $S(\theta)$ là diện tích phần giấy bị chồng lên nhau.

Giả sử $S(\theta)$ đạt giá trị lớn nhất tại $\theta=\alpha$. Hỏi giá trị của $\cos \alpha$ là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 18 ［Q698351663］Trong mặt phẳng，cho tam giác $A B C$ cân tại $A, A B=1000, \widehat{B A C}=\varphi$ và $\tan \varphi=-\frac{3}{4}$ ． Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ ．Hai điểm $I$ và $J$ di động sao cho đường thẳng $A B$ tiếp xúc với đường tròn tâm $I$ bán kính 100 tại điểm $M$ thuộc đoạn $A B$ ，đường thẳng $A C$ tiếp xúc với đường tròn tâm $J$ bán kính 180 tại điểm $N$ thuộc đoạn $A C$ và khoảng cách giữa hai điểm $I$ và $J$ là 700 ．Hai điểm $I$ và $G$ nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng $A B$ ，hai điểm $J$ và $G$ nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng $A C$ ．Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $I J$ nhỏ nhất là bao nhiêu？（làm tròn kết quả đến hàng đơn vị）．

Câu 19 ［Q689383095］Hệ thống mạch máu bao gồm các mạch máu（động mạch，tiểu động mạch，mao mạch và tĩnh mạch）có nhiệm vụ truyền máu từ tim đến các cơ quan và trở về tim．Hệ thống này sẽ làm việc để giảm thiểu năng lượng tiêu hao của trái tim trong quá trình bơm máu．Đặc biệt，năng lượng này sẽ giảm khi sức đề kháng của máu được hạ xuống．Bằng thực nghiệm，người ta chỉ ra rằng sức đề kháng của máu được xác định bởi công thức： $R=C_0 \cdot \frac{L}{r^4}$ ，trong đó $L$ là chiều dài của mạch máu，$r$ là bán kính mạch máu và $C_0$ là một hằng số dương xác định bởi độ nhớt của máu．

Dựa vào hình vẽ trên，hãy tìm $\cos \theta$ để năng lượng tiêu hao trong quá trình bơm máu trên đoạn mạch máu $A B C$ là nhỏ nhất，biết rằng $r_2=\frac{2}{3} r_1$（làm tròn kết quả đến chữ số thứ tư sau dấu phẩy).

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Combo X các em học kết hợp giữa bài giảng, tài liệu, đề thi có sẵn đã phát hành tại vted.vn và các bài giảng Live Fb được cập nhật trong năm học (kéo dài từ T9.2025 đến T6.2026)