Công thức Brahmagupta tính diện tích tứ giác bất kì

Chắc hẳn nhiều em đã quen thuộc với công thức tính diện tích của một tứ giác khi biết độ dài hai đường chéo và góc giữa chúng là ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD\sin \left( AC,BD \right).$

Chứng minh. Gọi $O=AC\cap BD,$ góc $\left( AC,BD \right)=\widehat{AOB}=\widehat{DOC}=\alpha $ như hình vẽ khi đó $\sin \widehat{BOC}=\sin \widehat{DOA}=\sin \left( {{180}^{0}}-\alpha \right)=\sin \alpha $

\[\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{OAB}}+{{S}_{OBC}}+{{S}_{OCD}}+{{S}_{ODA}}\]

\[=\dfrac{1}{2}OA.OB\sin \widehat{AOB}+\dfrac{1}{2}OB.OC\sin \widehat{BOC}+\dfrac{1}{2}OC.OD\sin \widehat{COD}+\dfrac{1}{2}OD.OA\sin \widehat{DOA}\]

\[=\dfrac{1}{2}OA.OB\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OB.OC\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OC.OD\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OD.OA\sin \alpha \]

\[=\dfrac{1}{2}\sin \alpha \left[ OA\left( OB+OD \right)+OC\left( OB+OD \right) \right]\]

\[=\dfrac{1}{2}\sin \alpha \left( OA+OC \right)\left( OB+OD \right)=\dfrac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha .\]

Vậy khi một tứ giác có độ dài bốn cạnh liệu có tính được diện tích của nó hay không?

>>Trường hợp đặc biệt nếu tứ giác nội tiếp, ta có công thức tính diện tích của nó gọn đẹp sau:

>>Chứng minh:

Ví dụ 1: Xét tứ giác $ABCD$ nội tiếp độ dài các cạnh là $AB=1,BC=2,CD=3,DA=4.$ Tính diện tích của tứ giác này.

Giải. Vì là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}={{180}^{0}}\Rightarrow \cos \widehat{BAD}=-\cos \widehat{BCD}=x$

Theo định lí côsin cho hai tam giác $ABD$ và $CBD$ ta có

$B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AB.AD.\cos \widehat{BAD}=C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-2CB.CD.\cos \widehat{BCD}$

$\Rightarrow {{1}^{2}}+{{4}^{2}}-2.1.4.x={{2}^{2}}+{{3}^{2}}-2.2.3.\left( -x \right)\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}$

$\Rightarrow \sin \widehat{BAD}=\sin \widehat{BCD}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{ABD}}+{{S}_{CBD}}$

$=\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}+\dfrac{1}{2}CB.CD.\sin \widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}.1.4.\dfrac{2\sqrt{6}}{5}+\dfrac{1}{2}.2.3.\dfrac{2\sqrt{6}}{5}=2\sqrt{6}.$

>>Trường hợp tổng quát:

Ví dụ 2: Xét tứ giác có độ dài các cạnh bằng 1, 2, 3, 4 và tổng hai góc đối của tứ giác bằng 90⁰. Tính diện tích của tứ giác này.

Thực tế, nhiều trường hợp ta phải tính diện tích của một mảnh đất hình tứ giác. Trong trường hợp này, ta đo độ dài bốn cạnh và một đường chéo của mảnh đất ta sẽ tính được diện tích của mảnh đất theo công thức Hê – rông cho tam giác.

Xét tứ giác $ABCD$ có $AB=a,BC=b,CD=c,DA=d$ và $AC=e.$

Khi đó ${{S}_{ABCD}}={{S}_{ABC}}+{{S}_{ADC}}$

$=\sqrt{{{p}_{1}}\left( {{p}_{1}}-a \right)\left( {{p}_{1}}-b \right)\left( {{p}_{1}}-e \right)}+\sqrt{{{p}_{2}}\left( {{p}_{2}}-c \right)\left( {{p}_{1}}-d \right)\left( {{p}_{1}}-e \right)}$ với ${{p}_{1}}=\dfrac{a+b+e}{2};{{p}_{2}}=\dfrac{c+d+e}{2}.$

Ví dụ 1: Một mảnh đất tứ giác có các kích thước như hình vẽ, tính diện tích của mảnh đất này

Tam giác $ABC$ có $a=3,3\text{m};b=8\text{m};e=11\text{m};{{p}_{1}}=\dfrac{a+b+e}{2}=\dfrac{3,3+8+11}{2}=11,15\text{m}$

Tam giác $ADC$ có $c=4,4\text{m};d=8,5\text{m};e=11\text{m};{{p}_{2}}=\dfrac{4,4+8,5+11}{2}=11,95\text{m}$

Nên diện tích mảnh đất là

$S=\sqrt{11,15\left( 11,15-3,3 \right)\left( 11,15-8 \right)\left( 11,15-11 \right)}$

$+\sqrt{11,95\left( 11,95-4,4 \right)\left( 11,95-8,5 \right)\left( 11,95-11 \right)}\approx 23,6270$ \[{{\text{m}}^{\text{2}}}\]

Nhiều bạn đọc có gửi về cho chúng tôi câu hỏi: Tính diện tích tứ giác khi biết độ dài bốn cạnh lần lượt là 33,32,45,48

Khi chỉ biết độ dài 4 cạnh thì chưa thể xác định được diện tích tứ giác.  
Theo đó muốn tính diện tích thì ngoài độ dài các cạnh ra cần phải biết thêm 1 trong các yếu tố sau:
1/Tổng số đo 2 góc đối. (Vì thế tứ giác nội tiếp có công thức chỉ dựa vào số đo 4 cạnh)
2/Độ dài 2 đường chéo
3/Góc giữa 2 đường chéo (phải khác góc vuông)

.........

Nếu bạn vẫn cho rằng chỉ cần biết 4 cạnh là đủ thì kiếm cái cửa sắt kéo ngang mà dòm xem. Các đoạn sắt nối lại tạo thành những hình thoi; khi bạn kéo đóng cửa các hình thoi này to ra nhưng các đoạn sắt có dài ra đâu.

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5