Chắc hẳn nhiều em đã quen thuộc với công thức tính diện tích của một tứ giác khi biết độ dài hai đường chéo và góc giữa chúng là ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD\sin \left( AC,BD \right).$
Chứng minh. Gọi $O=AC\cap BD,$ góc $\left( AC,BD \right)=\widehat{AOB}=\widehat{DOC}=\alpha $ như hình vẽ khi đó $\sin \widehat{BOC}=\sin \widehat{DOA}=\sin \left( {{180}^{0}}-\alpha \right)=\sin \alpha $
\[\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{OAB}}+{{S}_{OBC}}+{{S}_{OCD}}+{{S}_{ODA}}\]
\[=\dfrac{1}{2}OA.OB\sin \widehat{AOB}+\dfrac{1}{2}OB.OC\sin \widehat{BOC}+\dfrac{1}{2}OC.OD\sin \widehat{COD}+\dfrac{1}{2}OD.OA\sin \widehat{DOA}\]
\[=\dfrac{1}{2}OA.OB\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OB.OC\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OC.OD\sin \alpha +\dfrac{1}{2}OD.OA\sin \alpha \]
\[=\dfrac{1}{2}\sin \alpha \left[ OA\left( OB+OD \right)+OC\left( OB+OD \right) \right]\]
\[=\dfrac{1}{2}\sin \alpha \left( OA+OC \right)\left( OB+OD \right)=\dfrac{1}{2}AC.BD.\sin \alpha .\]
Vậy khi một tứ giác có độ dài bốn cạnh liệu có tính được diện tích của nó hay không?
>>Chứng minh:
Ví dụ 1: Xét tứ giác $ABCD$ nội tiếp độ dài các cạnh là $AB=1,BC=2,CD=3,DA=4.$ Tính diện tích của tứ giác này.
Giải. Vì là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}={{180}^{0}}\Rightarrow \cos \widehat{BAD}=-\cos \widehat{BCD}=x$
Theo định lí côsin cho hai tam giác $ABD$ và $CBD$ ta có
$B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-2AB.AD.\cos \widehat{BAD}=C{{B}^{2}}+C{{D}^{2}}-2CB.CD.\cos \widehat{BCD}$
$\Rightarrow {{1}^{2}}+{{4}^{2}}-2.1.4.x={{2}^{2}}+{{3}^{2}}-2.2.3.\left( -x \right)\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}$
$\Rightarrow \sin \widehat{BAD}=\sin \widehat{BCD}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{ABD}}+{{S}_{CBD}}$
$=\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat{BAD}+\dfrac{1}{2}CB.CD.\sin \widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}.1.4.\dfrac{2\sqrt{6}}{5}+\dfrac{1}{2}.2.3.\dfrac{2\sqrt{6}}{5}=2\sqrt{6}.$
>>Trường hợp tổng quát:
Ví dụ 2: Xét tứ giác có độ dài các cạnh bằng 1, 2, 3, 4 và tổng hai góc đối của tứ giác bằng 900. Tính diện tích của tứ giác này.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: