Ta cần tính độ dài đường cong của hàm số $y=f(x)$ giới hạn bởi hai đường thẳng $x =a$ và $x=b$ tức là độ dài của cung AB với $A(a;f(a))$ và $B(b;f(b))$ trên đồ thị hàm số $y=f(x)$.

Ý tưởng chia đoạn thẳng AB thành n đoạn thẳng nhỏ với n rất lớn thì độ dài của từng đoạn nhỏ sẽ xấp xỉ đến độ dài của cung tròn nhỏ, tức là tổng độ dài của n đoạn thẳng nhỏ này sẽ xấp xỉ với độ dài cung AB.

Trên đoạn [a;b] xét điểm ${{x}_{0}}\in [a;b],$ xét ${{x}_{0}}+\Delta x\in [a;b]$ với $\Delta x$ đủ nhỏ khi đó độ dài đoạn thẳng nối hai điểm $({{x}_{0}};f({{x}_{0}})),({{x}_{0}}+\Delta x;f({{x}_{0}}+\Delta x))$ ta coi là độ dài của cung nhỏ nối hai điểm $({{x}_{0}};f({{x}_{0}})),({{x}_{0}}+\Delta x;f({{x}_{0}}+\Delta x))$, do $\Delta x$ đủ nhỏ nên ta có thể coi đoạn thẳng nối hai điểm này là tiếp tuyến tại điểm ${{x}_{0}}$ của đồ thị hàm số $y=f(x).$

Như vậy độ dài đoạn thẳng nối hai điểm

Áp dụng: Một nhà sản xuất tấm lợp kim loại bằng tôn có chiều rộng 28 inch và cao 2 inch, bề mặt tấm lợp được dàn bằng máy theo chương trình máy tính lập trình trước mà tập hợp các điểm trên bề mặt tấm lợp đều thuộc đồ thị của hàm số $y=\sin \dfrac{\pi x}{7}$ từ một tấm phôi kim loại phẳng có chiều dài $w.$ Tính chiều dài cần thiết của tấm phôi kim loại để chế tạo được tấm lợp theo yêu cầu trên, biết rằng độ dài của đường cong $y=f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ được xác định bởi công thức $w=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{[{f}'(x)]}^{2}}}dx}.$ (theo đơn vị inch, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Giải. Ta có $f\left( x \right)=\sin \left( \dfrac{\pi x}{7} \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{\pi }{7}\cos \left( \dfrac{\pi x}{7} \right)$

$\Rightarrow w=\int\limits_{0}^{28}{\sqrt{1+{{\left( \dfrac{\pi }{7}\cos \left( \dfrac{\pi x}{7} \right) \right)}^{2}}}dx}\approx 29,4\text{ inch}\text{.}$

Tham khảo khoá học môn Toán do Vted phát hành tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc.html

Bài viết này Vted giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em học sinh ứng dụng tích phân trong việc tính độ dài của một đường cong $y=f(x)$ trên đoạn $[a;b]$.

Trước tiên ta xét một ví dụ:

Ví dụ 1. Một con diều hâu bay 15m/s tại độ cao 180 m tình cờ đánh rơi con mồi. Con mồi rơi theo quỹ đạo là đường parabol có phương trình $y=180-\dfrac{{{x}^{2}}}{45}$ cho đến khi nó chạm đất, trong đó $y$ là độ cao tính từ mặt đất và $x$ là khoảng cách dịch chuyển theo phương ngang. Tính quãng đường di chuyển của con mồi từ lúc rơi đến khi chạm đất, biết độ dài đường cong $y=f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ xác định bởi công thức $L=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{[{f}'(x)]}^{2}}}dx}.$

A. 209 (mét).

B. 201 (mét).

C. 210 (mét).

D. 290 (mét).

Giải. Con mồi chậm đất khi $y=0\Leftrightarrow 180-\dfrac{{{x}^{2}}}{45}=0\Leftrightarrow x=90(x\ge 0).$

Quãng đường con mồi di chuyển từ lúc rơi đến lúc chạm đất là

\[L=\int\limits_{0}^{90}{\sqrt{1+{{[{y}'(x)]}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{90}{\sqrt{1+{{\left( \frac{-2x}{45} \right)}^{2}}}dx}\approx 209\] (mét).

Chọn đáp án A. 

Câu 21. Luồng gió thổi ổn định con diều về hướng tây, chiều cao của con diều phụ thuộc vào vị trí tính theo phương ngang từ $x=0m$ đến $x=80m$ được cho bởi phương trình $y=150-\frac{1}{40}{{(x-50)}^{2}}.$ Tìm quãng đường con diều.

A. 122,776 (mét).

B. 122,767 (mét).

C. 122,677 (mét).

D. 122,711 (mét).

Giải. Quãng đường con diều là \[L=\int\limits_{0}^{80}{\sqrt{1+{{\left[ {y}'(x) \right]}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{80}{\sqrt{1+{{\left[ -\frac{1}{20}(x-50) \right]}^{2}}}dx}\approx 122,776.\]

Chọn đáp án A.

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.