Cho hai biến cố $A$ và $B.$ Khi đó, ta có công thức sau:
$P\left( B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right).$
Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần.
Chứng minh. Ta có $B = AB \cup \overline A B.$ Hai biến cố $AB$ và $\overline{A}B$ xung khắc nên $P\left( B \right)=P\left( AB \right)+P\left( \overline{A}B \right).$
Mặt khác theo công thức nhân xác suất, ta có:
$P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)$ và $P\left( \overline{A}B \right)=P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right).$
Do đó $P\left( B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right).$
Cho hai biến cố $A$ và $B,$ với $P\left( B \right)>0$
Khi đó, ta có công thức sau:
$P\left( A|B \right)=\dfrac{P\left( A \right).P\left( B|A \right)}{P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right)}.$
Công thức trên có tên là công thức Bayes.
Chứng minh. Xuất phát từ công thức xác suất có điều kiện:
$P\left( A|B \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}$
Và công thức nhân xác suất:
$P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)$
Và công thức xác suất toàn phần:
$P\left( B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right)$
Suy ra $P\left( A|B \right)=\dfrac{P\left( A \right).P\left( B|A \right)}{P\left( A \right).P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right)}.$
Một số câu hỏi có trong đề thi:
Câu 1 [Q550306580] Một chiếc hộp có 50 viên bi, trong đó có 30 viên bi màu xanh và 20 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích thước và khối lượng giống nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có $70 \%$ số viên bi màu xanh được đánh số và $60 \%$ số viên bi màu đỏ được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Biết rằng, viên bi lấy ra được đánh số, xác suất để viên bi đó có màu xanh bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Câu 2 [Q005300464] Trong một lô sản phẩm có 3 hộp loại I và 5 hộp loại II. Biết rằng trong mỗi hộp loại I có 97 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm, trong mỗi hộp loại II có 95 sản phẩm tốt và 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai sản phẩm.
a) Xác suất để hộp lấy ra là hộp loại I bằng $\frac{3}{8}$.
$\qquad$ -
b) Nếu hộp được lấy ra là hộp loại I thì xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra không có phế phẩm bằng $\frac{776}{825}$.
c) Xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra không có phế phẩm bằng $\frac{1833}{2000}$.
d) Biết rằng trong hai sản phẩm lấy ra có đúng một phế phẩm, xác suất để hộp lấy ra là hộp loại I bằng $\frac{203}{2475}$.
Câu 3 [Q306660538] Nhân dịp kỷ niệm 50 năm ngày thành lập trường, các học sinh lựa chọn tham gia thi đấu thể thao hoặc biểu diễn văn nghệ. Lớp 12 A có $60 \%$ số học sinh tham gia thi đấu thể thao và còn lại $40 \%$ số học sinh tham gia biểu diễn văn nghệ. Biết rằng các bạn nữ đều tham gia biểu diễn văn nghệ. Trong số các bạn nam có $20 \%$ tham gia biểu diễn văn nghệ và $80 \%$ tham gia thi đấu thể thao. Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 12 A . Biết rằng học sinh này tham gia biểu diễn văn nghệ, xác suất để học sinh này là nữ là bao nhiêu phần trăm?
Câu 4 [Q394211184] Một hộp chứa 2025 bi đen và $k$ bi trắng với $k \geq 2$. Lấy ra ngẫu nhiên hai viên bi, sau đó lấy ra ngẫu nhiên thêm một viên bi. Xác suất viên bi thứ ba lấy ra là viên bi trắng không nhỏ hơn $10 \%$ thì hộp đó chứa ít nhất bao nhiêu viên bi?
Câu 5 [Q653351349] Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất sản xuất $60 \%$ và phân xưởng thứ hai sản xuất $40 \%$ tổng số sản phẩm của cả nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của từng phân xưởng lần lượt là $16 \%$ và $20 \%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy.
a) Xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất là 0,6 .
b) Xác suất để lấy được phế phẩm bằng 0,176 .
c) Giả sử đã lấy được phế phẩm, xác suất phế phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất bằng 0,55 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Nếu lấy được sản phẩm tốt, khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ hai sản xuất là cao hơn khả năng sản phẩm đó do phân xưởng thứ nhất sản xuất.
$\square$
Câu 6 [Q351656876] Trong một kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh dành cho học sinh trung học phổ thông của một khu vực (các học sinh của cả ba khối cùng tham gia giải một đề thi), ban tổ chức thống kê kết quả thi và thu được kết quả như sau:
- Trong 500 học sinh tham gia cuộc thi, có $60 \%$ học sinh đạt huy chương, trong đó có 15 học sinh đạt huy chương vàng, 80 học sinh đạt huy chương bạc, còn lại là huy chương đồng.
- Trong số 300 học sinh lớp 12 có 6 học sinh đạt huy chương vàng, 24 học sinh đạt huy chương bạc. Số học sinh đạt huy chương đồng lớp 12 chiếm $9 \%$ tổng số học sinh dự thi.
Chọn ngẫu nhiên một em học sinh. Nếu biết học sinh được chọn là học sinh lớp 12 đạt huy chương thì xác suất để học sinh được chọn đạt huy chương đồng là $a \%$. Tìm $a$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Câu 7 [Q757187396] Trong túi An có 3 bi xanh và 2 bi đỏ, trong túi Bình có 5 bi xanh, 4 bi đỏ và 1 bi vàng (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng). An lấy ra ngẫu nhiên một bi trong túi của mình rồi đưa cho Bình, sau đó Bình cho viên bi này vào túi của mình rồi lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai bi. Biết rằng các bi An và Bình lấy ra có đủ ba màu, xác suất An lấy được bi xanh là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
toan onilne chầt wong cao
Câu 8 [Q773130883] Trong túi An có 2 bi xanh và 3 bi đỏ, trong túi Bình có 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng). An lấy ra ngẫu nhiên một bi trong túi của mình rồi đưa cho Bình, sau đó Bình cho viên bi này vào túi của mình rồi lấy ra ngẫu nhiên đồng thời bốn bi. Biết rằng các bi An và Bình lấy ra có đủ ba màu, xác suất An lấy được bi xanh là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Câu 9 [Q730701687] Biết rằng có $0,5 \%$ dân số nhiễm virus $X$. Ông $A$ muốn biết mình có bị nhiễm virus $X$ hay không nên đã đến một bệnh viện để thực hiện một xét nghiệm phát hiện virus. Cho biết xét nghiệm này có sai số là $1 \%$ (tức là nếu ông $A$ thực sự bị nhiễm virus $X$ thì xác suất ông $A$ nhận kết quả âm tính là $1 \%$; ngược lại, nếu ông $A$ thực sự không bị nhiễm virus $X$ thì xác suất ông $A$ nhận kết quả dương tính là $1 \%$ ). Xác suất ông $A$ nhận kết quả bị nhiễm virus $X$ từ xét nghiệm này là bao nhiêu?
A. 0,005 .
B. 0,01 .
C. 0,0149 .
D. 0,0198 .
Câu 10 [Q478884607] Có hai hộp đựng câu hỏi thi (phiếu), mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Biết rằng sinh viên $A$ đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho $\sinh$ viên $A$ rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà thầy giáo đã rút. Gọi $E_1$ là biến cố sinh viên $A$ rút ra phiếu từ hộp thứ nhất, $E_2$ là biến cố sinh viên $A$ rút ra phiếu từ hộp thứ hai.
a) Xác suất của biến cố $E_1$ bằng $\frac{1}{2}$.
b) Gọi $B$ là biến cố sinh viên $A$ rút được phiếu đã học thuộc thì $B=\left(B \cap E_1\right) \cap\left(B \cap E_2\right)$.
c) Xác suất có điều kiện $P\left(B \mid E_1\right)=\frac{8}{9}$.
d) Nếu sinh viên $A$ rút được phiếu đã học thuộc thì xác suất phiếu đó thuộc hộp thứ nhất bằng $\frac{3}{7}$.
Câu 12 [Q726764152] Một túi chứa ba đồng xu công bằng (một mặt sấp, một mặt ngửa và xác suất xuất hiện mỗi mặt là như nhau) và một đồng xu không công bằng có hai mặt đều là mặt ngửa. Một đồng xu được chọn ra ngẫu nhiên từ túi và được gieo để xem mặt hiện ra là mặt ngửa hay mặt sấp.
a) Xác suất để đồng xu công bằng được chọn và mặt sấp xuất hiện là $\frac{1}{2}$.
b) Xác suất xuất hiện mặt ngửa là $\frac{5}{8}$.
c) Nếu biết rằng mặt ngửa xuất hiện, xác suất đó là đồng xu không công bằng là $\frac{3}{5}$.
d) Nếu gieo đồng xu lần đầu xuất hiện mặt ngửa, xác suất để khi gieo đồng xu đó lần thứ hai vẫn xuất hiện mặt ngửa là $\frac{7}{10}$.
Câu 16 [Q025008830] Ba người bạn An, Bảo và Châu đều muốn đi xem một trận bóng đá. Khả năng mỗi người đi được phụ thuộc vào các yếu tố sau:
An: Nếu trời không mưa, An có $70 \%$ khả năng đi xem bóng đá. Nếu trời mưa, khả năng này giảm xuống còn $40 \%$. Theo dự báo thời tiết, khả năng trời mưa trong ngày diễn ra trận đấu là $30 \%$. Việc An đi xem bóng đá hoàn toàn phụ thuộc vào thời tiết.
Bảo: Việc Bảo đi xem bóng đá hoàn toàn phụ thuộc vào việc An có đi hay không. Nếu An đi, Bảo có $80 \%$ khả năng đi. Nếu An không đi, Bảo chắc chắn sẽ không đi.
Châu: Châu là một người rất độc lập. Khả năng Châu đi xem bóng đá không phụ thuộc vào việc An và Bảo có đi hay không. Châu có $60 \%$ khả năng đi xem bóng đá.
a) Nếu trời không mưa, khả năng An không đi xem đá bóng là $30 \%$.
b) Xác suất An đi xem đá bóng là 0,61 .
c) Xác suất Bảo không đi xem đá bóng là 0,51 .
d) Xác suất để ít nhất hai trong ba người bạn cùng đi xem trận bóng đá là 0,5612 .
Câu 17 [Q803043360] Một thành phố có ba loại phương tiện giao thông công cộng: xe buýt, tàu điện ngầm và taxi. Tỉ lệ người dân trong thành phố sử dụng mỗi loại phương tiện trên tương ứng là: xe buýt $40 \%$, tàu điện ngầm $35 \%$, taxi $25 \%$. Tỉ lệ trễ giờ của xe buýt, tàu điện ngầm và taxi trong một tháng lần lượt là: $20 \%, 10 \%, 5 \%$. Anh Lộc là một người dân trong thành phố. Trong tháng đầu tiên, anh Lộc chọn một trong ba loại phương tiện trên để đi làm, sao cho xác suất chọn mỗi loại phương tiện đúng bằng tỉ lệ sử dụng phương tiện đó của người dân trong thành phố. Từ tháng thứ hai trở đi, cách anh Lộc chọn phương tiện đi làm phụ thuộc vào việc anh có bị trễ giờ trong tháng trước hay không: Nếu tháng trước anh Lộc không bị trễ giờ: Anh ấy tiếp tục sử dụng loại phương tiện mà anh đã đi trong tháng đó. Nếu tháng trước anh Lộc bị trễ giờ: Anh ấy sẽ̃ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại phương tiện còn lại để đi làm trong tháng tiếp theo, với xác suất chọn mỗi loại là $50 \%$. Xác suất để anh Lộc sử dụng taxi trong tháng thứ ba là $\frac{a}{b}$ với $a, b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính $b-2 a$.
Câu 46 [Q788809660] Có ba người, mỗi người mua một sản phẩm cùng loại. Người thứ nhất mua sản phẩm ở đại lý $A$, người thứ hai mua sản phẩm ở đại lý $B$ và người thứ ba mua sản phẩm ở đại lý $C$. Biết rằng tỉ lệ chính phẩm của mặt hàng này ở các đại lý $A, B$ và $C$ lần lượt là 0,$75 ; 0,7$ và 0,8 . Sau khi mua, biết có hai người mua được chính phẩm thì xác suất để người còn lại cũng mua được chính phẩm là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 47 [Q826278338] Trên mặt bàn có 3 lá bài đỏ và 3 lá bài đen chưa được lật. An thực hiện lật ngẫu nhiên lần lượt từng lá bài, trước khi lật từng lá bài An phải đoán màu của lá bài đó và luôn đoán sao cho xác suất đoán đúng màu của lá bài sắp lật là lớn nhất. Xác suất lần lật bài thứ 3 , An đoán đúng màu của lá bài đó là bao nhiêu?
Câu 48 [Q177674435] Một cái túi chứa 3 lá bài: 1 lá bài cả 2 mặt đều màu đỏ, 1 lá bài cả 2 mặt đều màu đen và 1 lá bài có 1 mặt màu đỏ, 1 mặt màu đen. Lấy ra ngẫu nhiên 1 lá bài trong túi và đặt lên bàn, thấy mặt ngửa của lá bài này có màu đỏ. Xác suất để mặt sấp của lá bài này cũng có màu đỏ là $\frac{p}{q}$ với $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm giá trị của $p+q$.
Câu 49 [Q566735358] Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là $80 \%$. Người ta áp dụng một phương pháp chẩn đoán mới thì thấy: nếu chuẩn đoán có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp, còn nếu chuẩn đoán không có bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Gọi $A$ là biến cố người đến khám có bệnh. Gọi $B$ là biến cố người đến khám được chuẩn đoán có bệnh.
a) $P(A)=0,8$ và $P(\bar{A})=0,2$.
b) $P(A \mid B)=0,9$ và $P(\bar{A} \mid \bar{B})=0,5$.
c) Xác suất chuẩn đoán có bệnh là $75 \%$.
d) Phòng khám chuyên khoa này có tỷ lệ chuẩn đoán đúng là $80 \%$.
Câu 50 [Q827618934] Trong kỳ thi nâng bậc, một công nhân phải bốc thăm ngẫu nhiên một trong hai loại sản phẩm $A$ hoặc $B$ trong một thùng phiếu có 4 phiếu sản phẩm loại $A$ và 6 phiếu sản phẩm loại $B$. Sau đó, người công nhân phải gia công 2 sản phẩm của loại vừa bốc được. Để đỗ trong kỳ thi này thì cả 2 sản phẩm gia công đều phải đạt tiêu chuẩn. Xác suất để công nhân đó gia công mỗi sản phẩm loại $A$ đạt tiêu chuẩn là 0,8 và xác suất để gia công mỗi sản phẩm loại $B$ đạt tiêu chuẩn là 0,9 . Sau khi thi xong, người công nhân đó bị trượt. Hỏi xác suất người đó bốc thăm được sản phẩm loại $A$ là bao nhiêu phần trăm? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Câu 34 [Q446633189] Giả sử có một đồng xu cân bằng (fair coin) và một đồng xu thiên lệch (biased coin) mà mặt ngửa (heads) xuất hiện với xác suất $\frac{3}{4}$. Một người chơi chọn ngẫu nhiên một trong hai đồng xu và tung nó ba lần. Goi A là biến cố: "Người chơi chọn đồng xu cân bằng"; B là biến cố: "Ba lần tung đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa".
a) $P(A)=\frac{1}{2}$.
b) $P(B \mid A)=\frac{3}{8}$.
c) Xác suất người đó chọn được đồng xu cân bằng biết kết quả ba lần tung đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa là 0,25 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d) Giả sử bây giờ chúng ta đã thấy đồng xu được chọn xuất hiện mặt ngửa ba lần liên tiếp. Nếu người chơi tung đồng xu đó lần thứ tư, xác suất để nó tiếp tục xuất hiện mặt ngửa là 0,69 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 35 [Q569569926] Xác suất bé An được mẹ dẫn theo khi đi mua sắm là $\frac{2}{5}$. Khi bé An được đi theo mẹ thì $70 \%$ bé sẽ được mua đồ chơi. Khi bé không đi theo mẹ, có thể mẹ vẫn mua đồ chơi cho bé. Biết rằng xác suất bé được đi theo mẹ khi biết bé được mẹ mua cho đồ chơi là $\frac{14}{23}$. Khi bé không đi theo mẹ, xác suất bé được mẹ mua cho đồ chơi là bao nhiêu?
Câu 36 [Q336665938] Trong một lô sản phẩm có 3 hộp loại $I$ và 5 hộp loại II. Biết rằng trong mỗi hộp loại I có 97 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm, trong mỗi hộp loại II có 95 sản phẩm tốt và 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó một hộp, rồi từ hộp đó lấy ra ngẫu nhiên một sản phẩm. Gọi $A$ là biến cố: "Hộp lấy ra là hộp loại I "; $B$ là biến cố: "Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt".
a) $P(A)=0,375$ và $P(B \mid A)=0,97$.
b) $P(B)=0,9575$.
c) Xác suất hộp lấy ra là hộp loại II biết lấy ra được sản phẩm tốt là 0,38 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
d) Giả sử đã lấy ra được sản phẩm tốt và không hoàn lại. Nếu lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai sản phẩm nữa, xác suất hai sản phẩm này có ít nhất một sản phẩm tốt là $99,89 \%$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS
PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)
XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)
LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)
Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: