Cực trị của hàm số

3.1. Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a ; b)$ ( $a$ có thể là $-\infty, b$ có thể là $+\infty$ ) và điểm $x_0 \in(a ; b).$

- Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)<f\left(x_0\right)$ với mọi $x \in\left(x_0-h ; x_0+h\right) \subset(a ; b)$ và $x \neq x_0$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0.$

- Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)>f\left(x_0\right)$ với mọi $x \in\left(x_0-h ; x_0+h\right) \subset(a ; b)$ và $x \neq x_0$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0.$

Chú ý.

- Nếu hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f(x).$ Khi đó, $f\left(x_0\right)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f(x)$ và kí hiệu là $f_{C \boxminus}$ hay $y_{C \varnothing}.$ Điểm $M_0\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$ được gọi là điểm cục đại của đồ thị hàm số.

- Nếu hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f(x).$ Khi đó, $f\left(x_0\right)$ được gọi là giá trị cục tiểu của hàm số $f(x)$ và kí hiệu là $f_{C T}$ hay $y_{C T}.$ Điểm $M_0\left(x_0 ; f\left(x_0\right)\right)$ được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực tṛ̂) của hàm số.

3.2. Mối quan hệ giữa cực trị và dấu của đạo hàm

Định lí. Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a ; b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left(a ; x_0\right)$ và $\left(x_0 ; b\right).$ Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime}(x)<0$ với mọi $x \in\left(a ; x_0\right)$ và $f^{\prime}(x)>0$ với mọi $x \in\left(x_0 ; b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x).$

b) Nếu $f^{\prime}(x)>0$ với mọi $x \in\left(a ; x_0\right)$ và $f^{\prime}(x)<0$ với mọi $x \in\left(x_0 ; b\right)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số $f(x).$

Định lí trên được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau:

Nhận xét: Xét hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên tập $D.$

+ Số điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$ bằng số lần đổi dấu của đạo hàm trên $D.$

+ Số điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right)$ bằng số lần đổi dấu từ dương sang âm của đạo hàm trên $D.$

+ Số điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right)$ bằng số lần đổi dấu từ âm sang dương của đạo hàm trên $D.$

+ Nếu ${f}'\left( x \right)$ không đổi dấu khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số $f(x).$

Định lí 2. Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}\in \left( a;b \right)$ thì ${f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0.$

Chứng minh. Xét trường hợp hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$

Do hàm số có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}\Rightarrow {f}'\left( x_{0}^{+} \right)={f}'\left( x_{0}^{-} \right)={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\text{ }\left( 1 \right).$

Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$ nên tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right),\text{ }\forall x\in \left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right)\subset \left( a;b \right).$

Do đó ${f}'\left( x_{0}^{+} \right)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\ge 0\text{ }\left( 2 \right);\text{ }{f}'\left( x_{0}^{-} \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\le 0\text{ }\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow {f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0.$

Trường hợp hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$ chứng minh tương tự.

3.3. Tìm cực trị của hàm số dựa trên bảng biến thiên hay đồ thị của hàm số

Dùng kiến thức về mối quan hệ giữa cực trị và bảng biến thiên hay đồ thị hàm số trong 3.1.

3.4. Tìm cực trị của hàm số dựa trên bảng xét dấu hay bảng biến thiên hay đồ thị của đạo hàm

+ Dùng các nhận xét trong 3.2.

+ Nếu hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $D$ thì hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $D.$

+ Xét dấu của đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ dựa trên bảng biến của đạo hàm ${f}'\left( x \right):$ Kẻ thêm $y=0.$

+ Xét dấu của đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ dựa trên đồ thị của đạo hàm ${f}'\left( x \right):$ Nằm trên trục hoành thì ${f}'\left( x \right)>0$ và nằm dưới trục hoành thì ${f}'\left( x \right)<0.$

3.5. Tìm cực trị của các hàm số cụ thể

Các bước tìm cực trị của hàm số $y=f(x)$ như sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm ${f}'\left( x \right).$ Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ bằng $0$ hoặc đạo hàm không tồn tại.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Hoặc gọn hơn chỉ cần lập bảng xét dấu của đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ trên $D.$

+ Cực trị của hàm số bậc ba

MTCT: MENU 9 2 3 Nhập hàm số bậc ba và nhấn dấu = liên tiếp

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a,b,c,d\in \mathbb{R};a\ne 0 \right)$

Ta có ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ có biệt thức ${\Delta }'={{b}^{2}}-3ac.$

+ Nếu ${\Delta }'\le 0\Rightarrow {y}'\ge 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\text{ }\left( a>0 \right)$ hoặc ${y}'\le 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\text{ }\left( a<0 \right)$ nên lúc này hàm số không có cực trị.

+ Nếu ${\Delta }'>0\Rightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ và ${y}'=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$ đổi dấu khi $x$ qua các điểm ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ nên hàm số đạt cực trị tại các điểm ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}.$

Theo viét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{2b}{3a},\text{ }{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{3a}.$

+ Cực trị của hàm số trùng phương

Xét hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\text{ }\left( a,b,c\in \mathbb{R};a\ne 0 \right)$

Ta có ${y}'=4a{{x}^{3}}+2bx=4ax\left( {{x}^{2}}+\dfrac{b}{2a} \right).$

+ Nếu $\dfrac{b}{2a}\ge 0\Leftrightarrow ab\ge 0$ lúc này ${{x}^{2}}+\dfrac{b}{2a}\ge 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow {y}'$ chỉ đổi dấu khi $x$ qua điểm $0$ nên hàm số có đúng một điểm cực trị $x=0.$

+ Nếu $\dfrac{b}{2a}<0\Leftrightarrow ab<0\Rightarrow {{x}^{2}}+\dfrac{b}{2a}=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{-\dfrac{b}{2a}}\Rightarrow {y}'=4ax\left( x+\sqrt{-\dfrac{b}{2a}} \right)\left( x-\sqrt{-\dfrac{b}{2a}} \right)$ đổi dấu khi $x$ qua các điểm $0,\text{ }-\sqrt{-\dfrac{b}{2a}},\text{ }\sqrt{-\dfrac{b}{2a}}$ nên hàm số có ba điểm cực trị là các điểm $0,\text{ }-\sqrt{-\dfrac{b}{2a}},\text{ }\sqrt{-\dfrac{b}{2a}}.$

3.6. Điểm cực trị của đồ thị hàm số

Chúng ta ôn tập lại một số kiến thức cơ bản của Hình học tọa độ Oxy

Xét hai điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\text{ }B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ ta có $M\left( \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right)$ là trung điểm của $AB.$

Độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}}.$

Phương trình đường thẳng $AB:y=\dfrac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\left( x-{{x}_{1}} \right)+{{y}_{1}}$ với ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.$

Xét hai vectơ $\overrightarrow{a}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\text{ }\overrightarrow{b}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ khi đó tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}$ và góc giữa hai vectơ được xác định bởi:

$\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}=\dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}.$

Xét tam giác $ABC$ có $\overrightarrow{AB}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\text{ }\overrightarrow{AC}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ ta có diện tích tam giác được xác định bởi:

${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|.$

Chứng minh. Ta có ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\widehat{BAC}}$

$=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt{1-\dfrac{{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}}}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-{{({{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}})}^{2}}}$

$=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{({{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}})}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|.$

Xét đường thẳng $d:ax+by+c=0$ khi đó khoảng cách từ điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$đến $d$ được xác định bởi:

$d\left( M,d \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}.$

3.7. Nhận diện đồng thời đồ thị của ba hàm số f(x), f’(x) và f’’(x) trên cùng một hệ trục toạ độ

3.8. Tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối bằng phép suy đồ thị hay bảng biến thiên

3.9. Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số

Định lí 3. Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng $\left( a;b \right)$ chứa điểm ${{x}_{0}}$ thỏa mãn ${f}'({{x}_{0}})=0$ và ${f}''({{x}_{0}})\ne 0$ thì ${{x}_{0}}$ là một điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right).$ Cụ thể:

+ Nếu ${f}''({{x}_{0}})>0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right).$

+ Nếu ${f}''({{x}_{0}})<0$ thì ${{x}_{0}}$ là điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right).$

+ Nếu ${f}''({{x}_{0}})=0$ thì chưa thể khẳng định được ${{x}_{0}}$ là điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$ hay không.

Chứng minh. Xét trường hợp hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng $\left( a;b \right)$ chứa điểm ${{x}_{0}}$ và ${f}'({{x}_{0}})=0,\text{ }{f}''({{x}_{0}})<0.$

Ta có ${f}''({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{f}'(x)-{f}'({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{f}'(x)}{x-{{x}_{0}}}<0.$

Do đó theo định nghĩa giới hạn tồn tại số $h>0$ sao cho $\dfrac{{f}'(x)}{x-{{x}_{0}}}<0$ với mọi $x\in ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h)\subset \left( a;b \right)$ và $x\ne {{x}_{0}}.$

Mặt khác $x-{{x}_{0}}<0,\text{ }\forall x\in ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}})$ nên ${f}'(x)>0,\text{ }\forall x\in ({{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}).$

Và $x-{{x}_{0}}>0,\text{ }\forall x\in ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h)$ nên ${f}'(x)<0,\text{ }\forall x\in ({{x}_{0}};{{x}_{0}}+h).$ Vì vậy theo định lí 1 hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${{x}_{0}}.$

Tương tự, trường hợp hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng $\left( a;b \right)$ chứa điểm ${{x}_{0}}$ và ${f}'({{x}_{0}})=0,\text{ }{f}''({{x}_{0}})>0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}.$

Chú ý. Định lí này thường được sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số khi việc xét dấu của đạo hàm khó khăn.

Tổng quát của định lí 3.

Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm đến cấp $n$ trên khoảng $\left( a;b \right)$ chứa điểm ${{x}_{0}}$ và ${f}'({{x}_{0}})={f}''({{x}_{0}})=...={{f}^{(n-1)}}({{x}_{0}})=0$ và ${{f}^{(n)}}({{x}_{0}})\ne 0$ khi đó:

a) $n$ lẻ, hàm số không đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}.$

b) $n$ chẵn, hàm số đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ cụ thể:

+ Nếu ${{f}^{(n)}}({{x}_{0}})>0$ hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${{x}_{0}}$

+ Nếu ${{f}^{(n)}}({{x}_{0}})<0$ hàm số đạt cực đại tại điểm ${{x}_{0}}.$

c) Nếu ${{f}^{(n)}}({{x}_{0}})=0$ chưa kết luận được ${{x}_{0}}$ có là điểm cực trị của hàm số hay không.

Tham khảo: Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 266.