Dấu của tam thức bậc hai và ứng dụng

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực và $a\ne 0.$ Biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac.$

TH1: Nếu $\Delta <0$ thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$

TH2: Nếu $\Delta =0$ thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\ne -\dfrac{b}{2a}$ và $f\left( -\dfrac{b}{2a} \right)=0.$

Từ hai trường hợp này suy ra 4 điều kiện dưới đây:

+ Điều kiện: $f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta = {b^2} - 4ac \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

+ Điều kiện: $f\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta = {b^2} - 4ac \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

+ Điều kiện: $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta = {b^2} - 4ac < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

+ Điều kiện: $f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta = {b^2} - 4ac < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Trong trường hợp hệ số $a$ chưa biết khác $0$ hay không ta phải xét trường hợp này trước.

TH3: Nếu $\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}.$ Khi đó $f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right);$ $f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right).$

Một cách dễ nhớ, trong khoảng hai nghiệm $f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số $a$ và ngoài khoảng hai nghiệm $f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a.$

Chú ý. Trong các kiến thức trên các em có thể thay biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ bởi biệt thức ${\Delta }'={{{b}'}^{2}}-ac$ với $b=2{b}'.$

Combo X Luyện thi 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.

Ví dụ 1. Xét dấu của $f\left( x \right)=-2{{x}^{2}}+3x-2$

Giải. Ta có $a=-2<0;\Delta ={{3}^{2}}-4.\left( -2 \right).\left( -2 \right)=-7<0\Rightarrow f\left( x \right)<0,\forall x\in \mathbb{R}.$

Ví dụ 2. Xét dấu của $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3x+1$

Giải. Ta có $a=3>0;\Delta ={{3}^{2}}-4.3.1=-3<0\Rightarrow f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}.$

Ví dụ 3. Xét dấu của $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2x+\dfrac{1}{2}$

Giải. Ta có $a=2>0;{\Delta }'={{1}^{2}}-2.\dfrac{1}{2}=0\Rightarrow f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}.$

Ví dụ 4. Xét dấu của $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-5x+2$

Giải. Ta có $a=3>0;\Delta ={{5}^{2}}-4.3.2=1>0\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}=\dfrac{2}{3};{{x}_{2}}=1$

Do đó $f\left( x \right)>0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;\dfrac{2}{3} \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$ và $f\left( x \right)<0\Leftrightarrow x\in \left( \dfrac{2}{3};1 \right).$

Ví dụ 5. ${{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+2m+3>0,\forall x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi

Giải. Ta có $\text{ycbt}\Leftrightarrow a=1>0;\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( 2m+3 \right)<0\Leftrightarrow 3-2\sqrt{5}<m<3+2\sqrt{5}.$

Điều kiện để bất phương trình bậc hai có nghiệm và vô nghiệm

Để cho đơn giản, xét $f\left( x \right)={{x}^{2}}+bx+c$ khi đó

+ Bất phương trình $f\left( x \right)>0$ và $f\left( x \right)\ge 0$ luôn có nghiệm

+ Bất phương trình $f\left( x \right)<0$ có nghiệm khi $\Delta ={{b}^{2}}-4c>0$

+ Bất phương trình $f\left( x \right)<0$ vô nghiệm khi $\Delta ={{b}^{2}}-4c\le 0$

+ Bất phương trình $f\left( x \right)\le 0$ có nghiệm khi $\Delta ={{b}^{2}}-4c\ge 0$

+ Bất phương trình $f\left( x \right)\le 0$ vô nghiệm khi $\Delta ={{b}^{2}}-4c<0$

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ để bất phương trình ${{x}^{2}}+\left( a+12 \right)x+{{a}^{2}}+12a<0$ có nghiệm?

Giải. Ta có $\text{ycbt}\Leftrightarrow \Delta ={{\left( a+12 \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+12a \right)>0\Leftrightarrow \left( a+12 \right)\left( a+12-4a \right)>0$

$\Leftrightarrow \left( a+12 \right)\left( -3a+12 \right)>0\Leftrightarrow \left( a+12 \right)\left( a-4 \right)<0\Leftrightarrow -12<a<4.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}.$ Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( a;b \right)$ để $\dfrac{f\left( a \right)-f\left( b \right)}{a-b}<0?$

Giải. Điều kiện: $a\ne b.$

Ta có $\dfrac{f\left( a \right)-f\left( b \right)}{a-b}<0\Leftrightarrow \dfrac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}-6\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{a-b}<0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}-6\left( a+b \right)<0$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+\left( b-6 \right)a+{{b}^{2}}-6b<0\text{ }\left( * \right)$

Để tồn tại $a,b$ thoả mãn (*) thì bất phương trình (*) phải có nghiệm đối với $a$ do đó

${{\Delta }_{a}}={{\left( b-6 \right)}^{2}}-4\left( {{b}^{2}}-6b \right)=\left( b-6 \right)\left( -3b-6 \right)>0\Leftrightarrow -2<b<6$

+ Nếu $b=-1\Rightarrow {{a}^{2}}-7a+7<0\Rightarrow a\in \left\{ 2,...,5 \right\}\Rightarrow 4$ cặp.

+ Nếu $b=0\Rightarrow {{a}^{2}}-6a<0\Rightarrow a\in \left\{ 1,...,5 \right\}\Rightarrow 5$ cặp.

+ Nếu $b=1\Rightarrow {{a}^{2}}-5a-5<0\Rightarrow a\in \left\{ 0,...,5 \right\}\backslash \left\{ 1 \right\}\Rightarrow 5$ cặp.

+ Nếu $b=2\Rightarrow {{a}^{2}}-4a-8<0\Rightarrow a\in \left\{ -1,...,5 \right\}\backslash \left\{ 2 \right\}\Rightarrow 6$ cặp.

+ Nếu $b=3\Rightarrow {{a}^{2}}-3a-9<0\Rightarrow a\in \left\{ -1,...,4 \right\}\backslash \left\{ 3 \right\}\Rightarrow 5$ cặp.

+ Nếu $b=4\Rightarrow {{a}^{2}}-2a-8<0\Rightarrow a\in \left\{ -1,...,3 \right\}\Rightarrow 5$ cặp.

+ Nếu $b=5\Rightarrow {{a}^{2}}-a-5<0\Rightarrow a\in \left\{ -1,...,2 \right\}\Rightarrow 4$ cặp.

Vậy có tất cả 34 cặp số nguyên thoả mãn. Chọn đáp án B.

So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực