Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Cần Thơ

Câu 1. (3,0 điểm) Với $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=\dfrac{1}{3-a b}+\dfrac{1}{3-b c}+\dfrac{1}{3-c a}.\]

Câu 2. (3,0 điểm) Cho hai đãy số $\left(a_n\right)$ và $\left(b_n\right)$ được xác định bởi $a_1, b_1 \in \mathbb{R}$ và với mỗi $n \geq 1,$ các số hạng $a_{n+1}, b_{n+1}$ được xác định theo $a_n, b_n$ bởi một trong hai cách:

i) $a_{n+1}=\dfrac{2024 a_n}{2025}, b_{n+1}=1-\dfrac{a_n}{2025}$

ii) $a_{n+1}=a_n^2, b_{n+1}=a_n.$

a) Chứng minh rằng nếu $a_1 \in(-1 ; 1)$ thì dãy số $\left(a_n\right)$ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

b) Giả sử $a_{2025} \leq a_1,$ tìm giá trị lớn nhất của tổng $S=b_2+\ldots+b_{2025}.$

Câu 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện

\[f(y f(x))+f(x f(y))=2 x y, \forall x, y \in \mathbb{R} .\]

Câu 4. (5,0 điểm) Cho hai đường tròn $(O),\left(O^{\prime}\right)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $D.$ Từ một điểm $A$ bất kì trên $(O)$, kè hai tiếp tuyến $A B, A C$ dến đường tròn $\left(O^{\prime}\right)\left(B, C \in\left(O^{\prime}\right)\right).$ Gọi $I$ là giao điểm của $A D$ và $B C.$ $M$ là trung điểm $B C.$ Đường tròn đường kính $A I$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $P$ ( $P$ khác $A).$

a) Chứng minh đường thẳng $A P, I M$ và tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(O)$ đồng quy tại một điểm.

b) Chứng minh $P$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C.$

c) Gọi $G$ là giao điểm của $P D$ và $B C.$ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $G P M$ tiếp xúc với đường tròn $(O).$

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tập hợp $X=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 2024 ; 2025\}.$ Một tập con $A$ của $X$ được gọi là có tính chất "đẹp" nếu ba phần tử bất kì của $A$ là độ dài các cạnh của một tam giác. Tìm số phần tử lớn nhất có thể có của $A.$

Câu 6. (3,0 điểm) Cho số nguyên $n \geq 3.$ Một dãy số nguyên dương $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ được gọi là dãy đặc biệt nếu thỏa mãn đồng thời các điều kię̂n sau:

i) Giá trị các số hạng không vượt quá $n.$

ii) Tồn tại số hạng $a_i$ sao cho $a_i<a_{i-1}$ với $1<i \leq n.$

iii) Tồn tại số hạng $a_j$ sao cho $a_j>a_{j-1}$ với $1<j \leq n.$

Tính số dāy đặc biệt theo $n.$