Đề chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Quảng Bình có lời giải chi tiết

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Bài thi thứ nhất

Câu 1 (2,5 điểm):
a) Giải phương trình $\sin 2 x-\cos 2 x-5 \sin x-3 \cos x+4=0$.
b) Bác Bình vay của Ngân hàng Chính sách xã hội với số tiền 360 triệu đồng để xây nhà. Sau mỗi tháng, bác Bình phải trả lãi cho Ngân hàng với lãi suất $0,4 \% /$ tháng và cứ sau 6 tháng thì bác Bình phải trả 36 triệu đồng tiền gốc cho Ngân hàng. Cứ như vậy, sau 60 tháng thì bác Bình đã trả hết tiền cho Ngân hàng. Tìm tổng số tiền lãi mà bác Bình phải trả.
Câu 2 (2,5 điểm):
a) Cho 2024 số thực $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$ thỏa mãn $a_1, a_2, \ldots, a_{2024} \in[0 ; 2025)$. Chứng minh phương trình $x^{2024}-2025\left(a_1+a_2+\ldots+a_{2024}\right) x+a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{2024}^2-1=0$ luôn có nghiệm.
b) Cho $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1}=2$. Tính $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{f(x)}+\sqrt[3]{f(x)+7}-3}{x^3+x-2}$.

Câu 3 (1,5 điểm):
a) Biển số xe ôtô của tỉnh Quảng Bình có dạng $73 \mathrm{~A}-a b c$.de (trong đó: 73 A là mã số cố định của tỉnh Quảng Bình; $a, b, c, d, e$ là các chữ số không đồng thời bằng 0). Một biển số xe ôtô được gọi là biển số "đẹp" nếu thỏa mãn $a \leq b \leq c \leq d \leq e$. Bác An chọn ngẫu nhiên một biển số xe ôtô của tỉnh Quảng Bình. Tính xác suất để bác An chọn được biển số "đẹp".
b) Sắp xếp 3 bạn nam $B_1, B_2, B_3$ và 5 bạn nữ vào 8 cái ghế được xếp theo hàng ngang (mỗi bạn ngồi một cái ghế). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thỏa mãn tất cả các điều kiện sau: $B_1, B_2, B_3$ ngồi theo thứ tự đó từ trái qua phải; giữa $B_1$ và $B_2$ có ít nhất 1 bạn nữ; giữa $B_2$ và $B_3$ có nhiều nhất 2 bạn nữ.

Câu $4(3,5$ điểm $)$ : Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và điểm $M$ di động trên cạnh $A B$ thỏa mãn $\frac{A M}{A B}=x(0<x<1)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ song song với các đường thẳng $A C^{\prime}, A^{\prime} B$ và cắt các cạnh $A A^{\prime}, A^{\prime} C^{\prime}, C^{\prime} B^{\prime}, B C$ tương ứng tại các điểm $N, P, Q, K$.
a) Chứng minh giao điểm của $M N$ và $Q K$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định. Nêu cách dựng các điểm $N, P, Q, K$.
b) Tính tỉ số $\frac{Q B^{\prime}}{Q C^{\prime}}$ khi $x=\frac{2}{3}$.
c) Trong trường hợp $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ là hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng 1 , tìm giá trị lớn nhất của diện tích ngũ giác $M N P Q K$.

Bài thi thứ hai:

Câu 1 (2,0 điểm):
a) Tìm tất cả các bộ ba số thực $x, y, z$ thỏa mãn $2025^{x^2-3 y+z}+2025^{y^2-3 z+x}+2025^{z^2-3 x+y}=\frac{3}{2025}$.
b) Cho đa thức bậc hai $f(x)=x^2+b x+c$ với $b, c$ là hai số nguyên. Chứng minh luôn tồn tại số nguyên $a$ thỏa mãn $f(a)=f(2024) \cdot f(2025)$.

Câu 2 (2,0 điểm): Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=5 \\ u_{n+1}=u_n^{2025}-3 u_n^{2024}+u_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \text {. }\end{array}\right.$
a) Chứng minh $\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n=+\infty$.
b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $v_n=\frac{1}{\left(u_1^{2024}+1\right)\left(u_2^{2024}+1\right) \ldots\left(u_n^{2024}+1\right)}$. Tính $\lim _{n \rightarrow+\infty} v_n$.

Câu 3 (3,5 điểm): Cho tam giác nhọn $A B C \quad(A B<A C)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường cao $B E, C F(E \in A C, F \in A B)$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M, N, P, Q$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $B C, C A, A B, A H$. Tia $M H$ cắt $(O)$ tại $L$.
a) Chứng minh $A L, B C, E F$ đồng quy tại một điểm $T$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của $N P$ và $E F$. Chứng minh $A K$ vuông góc với $O H$.
c) Đường thẳng đi qua $A$ song song với $B C$ cắt $O Q$ tại $D$. Chứng minh giao điểm (khác $M$ ) của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $M N P$ và $M L T$ nằm trên đường thẳng $D M$.
Câu 4 ( 1,5 điểm): Cho $n$-giác đều $A_1 A_2 \ldots A_n(n \in \mathbb{N}, n \geq 3)$. Mỗi một đỉnh của $n$-giác đều $A_1 A_2 \ldots A_n$ được tô bởi một màu trong $m$ màu cho trước $(m \in \mathbb{N}, m \geq 3)$ sao cho hai đỉnh kề nhau được tô bởi hai màu khác nhau. Tìm số cách tô màu có thể thực hiện được trong các trường hợp sau:
a) Khi $n=4, m=5$.
b) Khi $n=2024, m=2025$.

Câu $5(1,0$ điểm $)$ : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m ; n)$ thỏa mãn $m^2-2$ chia hết cho $m \cdot n+2$.

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

KIẾN THỨC BỔ SUNG DÀNH CHO CÁC KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC, ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐƯỢC PHÁT HÀNH TRONG CHƯƠNG X KHÓA PRO X VÀ MỘT PHẦN KHÓA XMAX

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.