Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Thái Nguyên


Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Thái Nguyên

Câu 1 (6,0 điểm).

a. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ đề hàm số $y=\dfrac{1}{3} x^{3}-m x^{2}+\left(m^{3}-4 m\right) x+1$ đạt cực đại tại $x=0$.

b. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^{3}+\left(7 m^{2}-6 m\right) x^{2}-m^{4} x-2 m^{2}-8=0$ có nghiệm trong khoàng $(0 ; 2)$.

Câu 2 (5,0 điểm).

a. Có 30 tấm thè được đánh số lần lượt từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thè. Tính xác suất để tích của hai số được đánh trên hai tấm thẻ chọn ra là một số chia hết cho 4 .

b. Xét các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=5$ và $x y z=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=(x+y)(y+z)(z+x)$

Câu 3 (5,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a, S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa mặt phẳng $(S B C)$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ}$.

a. Tính thể tích khối chóp $S . A B C$.

b. Tính côsin của góc tạo bời đường thẳng $A B$ và mặt phẳng $(S B C)$.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số $\left(a_{n}\right)$ xác định bời $a_{1}=\dfrac{2}{3}$ và

$a_{n+1}=\dfrac{4}{3+4 a_{n}-3 a_{n}^{2}}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

a. Chứng minh rằng dãy số $\left(a_{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số đó.

b. Đặt $x_{n}=\prod_{k=1}^{n} a_{k}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Chứng minh rằng dãy số $\left(x_{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số đó.

Câu 5 (2,0 điểm).

a. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho với mọi số nguyên $x, y$ thì $3 x^{2}+5 x y+y^{2}-m$ không chia hết cho 13 .

b. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho với mọi số nguyên dương $m$ đều tồn tại các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $3 x^{2}+5 x y+y^{2}-m$ chia hết cho $p$.

 

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả