Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Khánh Hòa

Câu 1 (5,00 điểm):

a) Giải phương trình: $\sin 2 x+4 \cos 2 x=2+\sin 4 x$.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2^{x-1}-2^{y}=\log _{2}(y+1)-\log _{2} x \\ \sqrt{5 x^{3}-1}+\sqrt[3]{2 y+1}+y=3\end{array}\right.$.

Câu 2 (2,50 điểm): Gọi $M$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên mà mỗi số có năm chữ số phân biệt và không có hai chữ số chã̃n đứng cạnh nhau. Tính số phần tử của tập $M$.

Câu 3 (2,00 điểm): Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x-1)^{2}(x-2)$ và $f(1)=1$. Xét hàm số $g(x)=f(2 x+1)+4 x^{2}+4$ liên tục trên đoạn[ $[-1 ; 1]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x) \operatorname{trên~đoạn~}[-1 ; 1]$.

Câu 4 (4,50 điểm): Cho hàm số $y=2 x^{3}+3 m x^{2}+1$ có đồ thị là $\left(C_{m}\right)$ ( $m$ là tham số) và đường tròn tâm $I$ có phương trình $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=\dfrac{1}{16}$.

a) Tìm tất cả các giá trị dương của $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

b) Trường hợp $\left(C_{m}\right)$ có cực trị, gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của $\left(C_{m}\right)$.Hãy tìm tất cả các giá trị của $m$ để trên $\Delta$ có duy nhất một điểm $M$ mà từ đó ta kẻ được hai tiếp tuyến $M A, M B$ đến đường tròn tâm $I$ (với $A, B$ là các tiếp điểm) sao cho $\widehat{A M B}=60^{\circ}$.

Câu 5 (6,00 điểm):
a) Cho lăng trụ tam giác $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, hình chiếu của $A^{\prime}$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $A B C$; mặt phẳng $\left(A^{\prime} B C\right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left(A B^{\prime} C^{\prime}\right)$. Tính thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ theo $a$.

b) Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ và $K$ là trung điểm của $A M$. Biết $K B=K C=a, \widehat{K B C}=60^{\circ}$; góc giữa mặt phẳng $(S K C)$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $45^{\circ}$. Tính theo $a$ khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(S K C)$ và $\sin$ của góc giữa đường thẳng $B C$ với mặt phẳng $(S K C)$.

c) Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ cạnh $a \sqrt{2}$, gọi $O$ là trung điểm của $D^{\prime} B$. Mặt phẳng $(\alpha)$ thay đổi đi qua $O$ và cắt các đoạn $D^{\prime} A, D^{\prime} B^{\prime}, D^{\prime} C$ theo thứ tự là $M, N, P(M, N, P$ không trùng với $D^{\prime}$ ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$T=\dfrac{1}{D^{\prime} M \cdot D^{\prime} P}+\dfrac{1}{D^{\prime} P \cdot D^{\prime} N}+\dfrac{1}{D^{\prime} N \cdot D^{\prime} M}$