Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Câu 1. (2.0 điểm) Cho hàm số $y=\dfrac{2 x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $(C)$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 2. (2.0 điểm) Tìm tất cả các tham số $m$ để hàm số $y=\left|x^{3}-3 x^{2}-\left(m^{2}-6 m+2\right) x+m-2\right|$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 3)$.

Câu 3. (2.0 điểm) Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{4} x^{4}-x^{3}-\dfrac{9}{2} x^{2}+(16-m) x$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $g(x)=f(|x|)$ có đúng 5 điểm cực trị.

Câu 4. (2.0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm

$\sqrt{x-1}+2 \sqrt[4]{x^{2}-1}=m\left(\sqrt{x+1}+2 \sqrt[4]{x^{2}-1}\right)$

Câu 5. (2.0 điểm) Gọi $\mathrm{A}$ là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập hợ $\mathrm{A}$, tính xác suất sao cho số được lấy chia hết cho 13 và có chữ số hàng đơn vị là 1 .

Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình trụ $(T)$ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng $R$, hai đáy là hai hình tròn $(O)$ và $\left(O^{\prime}\right)$. Gọi $A A^{\prime}$ và $B B^{\prime}$ là hai đường sinh bất kì của hình trụ, trong đó $A, B \in(O) ; A^{\prime}, B^{\prime} \in\left(O^{\prime}\right), M$ là một điểm di động trên đường tròn $(O)$. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp $M \cdot A A^{\prime} B^{\prime} B$.

Câu 7. (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime}$ lên $(A B C)$ là trung điểm của $B C$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với cạnh $A A^{\prime}$ và cắt các cạnh bên $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ của hình lăng trụ lần lượt tại $I, J, K$. Biết mặt phẳng $\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left(A C C^{\prime} A^{\prime}\right)$ và chu vi của tam giác $I J K$ bằng 1 . Tính khoảng cách giữa $C C^{\prime}$ và $A B$.

Câu 8. (2.0 điểm) Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{3}$. Biết $d(A,(S B C))=\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}, d(B,(S C A))=\dfrac{3 \sqrt{5}}{10}$ và $d(C,(S A B))=\dfrac{3 \sqrt{10}}{20}$; hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(A B C)$ nằm trong tam giác $A B C$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C$.

Câu 9. (2.0 điểm) Cho hàm số đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình:

$f\left(\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right) \cdot f(x)\right)+3=0.$

Câu 10. (2.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 2 số nguyên $y$ thỏa mãn $2^{x^{2}-5 y+19}+4^{-x-y+8} \geq 2048$ và $x+y>0$.