Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu


Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

Bài 1(3,0$ điểm).

 

1. Giải phương trình $\sin ^{2} x+\sin x+3 \sin 2 x=(\sin x+\cos x)^{2}-\cos x(\cos x+\sqrt{3})$.

2. Gọi $S$ là tập hợp tất cả ước nguyên dương của số $a=648000$. Chọn ngẫu nhiên hai phần từ khác nhau cưa $S$. Tính xác suất đề hai số được chọn đều không chia hết cho 3 .

Bài 2 (3,5 điểm). Giải các phương trình sau:
1. $3 x^{3}-10 x^{2}+11 x-3=3 \sqrt[3]{\frac{x^{2}+x-3}{3}}$.
2. $4 \log _{2}^{2} x+x \log _{2}(x+2)=2 \log _{2} x \cdot\left[x+\log _{2}(x+2)\right]$.

Bài 3 (5,5 điểm).

1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{\cot x-3}{\cot x+m}$ nghịch biến trên khoàng $\left(\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right)$.

2. Cho hàm số $y=\dfrac{2 x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d): y=-3 x+m$. Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A, B$ và $(d)$ lần lượt cắt trục hoành, trục tung tại hai điểm $C, D$ mà diện tích tam giác $O C D$ gấp đôi diện tích tam giác $O A B$ (trong đó $O$ là gốc tọa độ).

3. Với hai số thực $a, b$ thay đổi trên đoạn $[1 ; 3]$, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}}+96 \cdot \sqrt{\dfrac{a b}{a^{2}+a b+b^{2}}}$.

Bài 4 (5,0 điểm). Cho hình chóp $S \cdot A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật tâm $O$ và $A B=2 a, A D=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm $H$ của $O A$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $S B, A D$. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C D)$ là $45^{\circ}$.

1. Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$.

2. Cho điểm $Q$ trên đoạn thẳng $S A$ mà $Q S=2 Q A$. Tính thể tích khối đa diện $A B C N Q M$.

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $S N, C M$.

Bài 5 (3,0 điểm).

1. Tìm tất cả bộ hai số thực $(x, y)$ thỏa mãn đẳng thức $x^{\log _{2} x}+4^{y}+(x-5) 2^{y+1}+57=18 x$.

2. Cho ba số thực $x, y, z$ không âm sao cho không có hai số nào cùng bằng 0 . Chứng minh rằng

$(x+y+z)^{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x}\right)+\dfrac{36}{x+y+z+1} \geq \dfrac{63}{4}$

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả