Đề học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hải Dương

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Tìm các giá trị của $m$ để hàm số $y=x^{4}-4 x^{3}+(m+25) x-m$ đồng biến trên khoảng $(1 ;+\infty)$.

b) Cho hàm số $y=2 x^{3}-3 m x^{2}+(m-1) x+1$, với $m$ là tham số thực. Tìm các giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\left|x_{1}-x_{2}\right| \geq 1$.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $0,1,2$, $3,4,5,7,8,9.$ Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập $S$. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5.

b) Giải phương trình: $\left(x^{2}-x-1\right) \sqrt{2 x+3}+5 x^{2}=2 x^{3}+x+3$.

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}=\sqrt{7 y-3 x+8} \\ 27 x^{6}=x^{3}+4 y+2\end{array}\right.$.

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho hình vuông $A B C D$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x-2 y+6=0$. Điểm $C$ thuộc đường thẳng $\Delta$, điểm $M(6 ; 4)$ thuộc cạnh $B C$. Đường tròn đường kính $A M$ cắt đoạn $B D$ tại điểm $N(1 ; 5)$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông $A B C D$, biết rằng đỉnh $C$ có tọa độ nguyên và đỉnh $A$ có hoành độ nhỏ hơn 1 .

Câu 4 (3,0 điểm)

a) Cho hình chóp $S \cdot A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $A$ và $S C=2 a \sqrt{5}$. Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm $M$ của $A B$. Góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $60^{\circ}$. Tính theo $a$ khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(S A C)$.

b) Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$, cạnh $B C=2 a$ và $\widehat{A B C}=60^{\circ}$. Biết tứ giác $B C C^{\prime} B^{\prime}$ là hình thoi có $\widehat{B^{\prime} B C}$ nhọn. Biết mặt phẳng $\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ và mặt phẳng $\left(A B B^{\prime} A^{\prime}\right)$ tạo với mặt phẳng $(A B C)$ một góc $45^{\circ}$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.

c) Cho tứ diện $A B C D$. Gọi $K$ là điểm thuộc cạnh $C D$ sao cho $2 K D=3 K C$ và $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $B K$ sao cho $I K=2 I B$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $I$ và luôn cắt các tia $A B, A C, A D$ lần lượt tại các điểm $M, N, P$ (khác đỉnh $A$ ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$T=4 \cdot \dfrac{A B^{2}}{A M^{2}}+9 \cdot \dfrac{A C^{2}}{A N^{2}}+16 \cdot \dfrac{A D^{2}}{A P^{2}}$

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho $x, y, z \in[1 ; 4]$ và thỏa mãn $x \geq y ; x \geq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\dfrac{x}{2 x+3 y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}$