Đề khảo sát chất lượng môn Toán lớp 12 lần 1 năm học 2024-2025 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội (Đề số 06)

Xem thêm đề thi trước đó:

Đề khảo sát chất lượng môn Toán lớp 12 lần 1 năm học 2024-2025 sở Vĩnh Phúc (Đề số 05)

Một số câu hỏi có trong đề thi:

PHẦN II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Có hai phác đồ điều trị A và B cho một loại bệnh. Phác đồ A có xác suất chữa khỏi bệnh là $60 \%$ và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $5 \%.$ Phác đồ B có xác suất chữa khỏi bệnh là $70 \%$ và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là $10 \%.$ Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ (xác suất chọn mỗi phác đồ là $50 \%$).
a) Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ A và được chữa khỏi bệnh là $0,6.$
b) Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiệm trọng là $0,075.$
c) Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ B lớn hơn $0,65.$

d) Biết rằng trong mỗi phác đồ điều trị thì biến cố "bệnh nhân được chữa khỏi bệnh" và biến cố "bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng" là độc lập với nhau. Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là $0,6$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Giải. Gọi $A$ là biến cố bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ A thì $\overline{A}$ là biến cố bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ B. Ta có $P\left( A \right)=P\left( \overline{A} \right)=0,5.$

Gọi $X$ là biến cố bệnh nhân được chữa khỏi bệnh. Ta có $P\left( X|A \right)=0,6;P\left( X|\overline{A} \right)=0,7.$

Gọi $Y$ là biến cố bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng. Ta có $P\left( Y|A \right)=0,05;P\left( Y|\overline{A} \right)=0,1.$

a) Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ A và được chữa khỏi bệnh là

$P\left( AX \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( X|A \right)=0,5\cdot 0,6=0,3.$

b) Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiệm trọng là

$P\left( Y \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( Y|A \right)+P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( Y|\overline{A} \right)=0,5\cdot 0,05+0,5\cdot 0,1=0,075.$

c) Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân được điều trị bằng phác đồ B là

$P\left( \overline{A}|Y \right)=\dfrac{P\left( \overline{A}Y \right)}{P\left( Y \right)}=\dfrac{P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( Y|\overline{A} \right)}{P\left( Y \right)}=\dfrac{0,5\cdot 0,1}{0,075}\approx 0,67>0,65.$

d) Ta có $P\left( X \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( X|A \right)+P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( X|\overline{A} \right)=0,5\cdot 0,6+0,5\cdot 0,7=0,65.$

Do biến cố "bệnh nhân được chữa khỏi bệnh" và biến cố "bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng" là độc lập với nhau. Nên xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là

$P\left( X\overline{Y} \right)=P\left( X \right)\cdot P\left( \overline{Y} \right)=P\left( X \right)\left( 1-P\left( Y \right) \right)=0,65\left( 1-0,075 \right)\approx 0,6.$

Vậy a) sai; b) đúng; c) đúng và d) đúng.

PHẦN III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một nhà máy có hai phân xưởng I và II tương ứng làm ra $40 \%$ và $60 \%$ sản phẩm của nhà máy. Biết rằng tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là $1 \%$ và $2 \%.$. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy nó là phế phẩm. Xác suất để sản phẩm đó thuộc phân xưởng I là bao nhiêu phần trăm?

Giải. Gọi A là biến cố sản phẩm chọn ra là của phân xưởng I.
Ta có $P\left( A \right)=0,4;P\left( \overline{A} \right)=0,6.$
Gọi B là biến cố sản phẩm chọn ra là phế phẩm.
Ta có $P\left( B|A \right)=0,01;P\left( B|\overline{A} \right)=0,02.$
Do đó $P\left( B \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( B|\overline{A} \right)=0,4\cdot 0,01+0,6\cdot 0,02=0,016$
Xác suất để sản phẩm đó thuộc phân xưởng I là

$P\left( A|B \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\dfrac{P\left( A \right)\cdot P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)}=\dfrac{0,4\cdot 0,01}{0,016}=25\%.$

Câu 2. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạuh $3, S A$ vuồng góc với mặt phẳng đáy. Biết số đo của gốc nhị diện $[B, S C, D]$ bằng $120^{\circ}$. Tính thể tích khối chốp $S . A B C D$.
Câu 3. Giả sử chi phí dặt hàng và vận chuyển $C$ (dơn vị: triệu đồng) của một linh kiện dược sử dụng trong sản xuát một sản phẩm dượe xác định theo công thức

\[
C=\dfrac{19200000}{x^2}+\dfrac{27 x}{x+3000}, x \geq 1
\]

trong đó $x$ là số linh kiện dược dặt hàng và vận chuyễn. Tìm $x$ dể chi phí dặt hàng và vận chuyển cho mỗi linh kiện trên là nhỏ nhất.

Câu 4. Trong không gian $O x y z$, cho điểm $A(1 ;-1 ; 2)$, dường thẵng $d: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P): x+y-2 z+5=0$. Xét dı̛ờng thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(P)$ tại hai diểm $M, N$ sao cho $A$ là trung điểm của $M N$. Biêt vectơ $\vec{u}=(1 ; a ; b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Tính $a+b$.

Câu 5. Một chiếc thang dài 9 mét tựa vào một bức tường thẳng dứng trên một mặt đất bằng phẳng. Khi đầu dưới của thang di chuyển (trên mặt đất) ra xa bức tường với vận tốc không đổi là $2(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ thì đầu trên cùng của thang sẽ trượt xuống dọc theo bức tường. Khi điểm đầu thang cách mặt đất 3 mét thì tốc độ di chuyển của nó bằng bao nhiêu? (đơn vị: ( $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Giải. Khi $AB=3\text{ m}\Rightarrow BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}-{{3}^{2}}}=6\sqrt{2}\text{ m}\text{.}$

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}\Rightarrow 2AB\cdot \dfrac{d\left( AB \right)}{dt}=2AC\cdot \dfrac{d\left( AC \right)}{dt}-2BC\cdot \dfrac{d\left( BC \right)}{dt}$

Do chiều dài thang $AC=9\text{ m}$ không thay đổi khi đầu dưới của thang di chuyển ra xa bước tường nên $d\left( AC \right)=0.$

Do đó $\dfrac{d\left( AB \right)}{dt}=-\dfrac{BC}{AB}\cdot \dfrac{d\left( BC \right)}{dt}=-\dfrac{6\sqrt{2}}{3}\cdot 2\approx -5,66\text{ m/s}\text{.}$

Câu 6. Cho hai khối trụ có cùng bán kính đáy bằng 3 và có trục là hai dường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình bên). Gọi $(H)$ là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của $(H).$

Giải. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $Oy,\text{ }Oz$ lần lượt là trục của khối trụ nằm ngang và trục của khối trụ đứng.

Xét thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }\left( -3\le x\le 3 \right).$

Thiết diện là hình vuông có độ dài cạnh $2\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}=2\sqrt{9-{{x}^{2}}}.$

Thể tích phần giao nhau là $V=\int\limits_{-3}^{3}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{-3}^{3}{{{\left( 2\sqrt{9-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}dx}=144.$

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.