Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Ninh Bình

Xem thêm đề thi trước đó:

Công bố đề tham khảo 17 môn thi tốt nghiệp THPT 2025

Một số câu hỏi có trong đề thi:

PHẦN II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 4. Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với \[ABFE\] là hình chữ nhật và  $EFP$ là tam giác cân tại $P.$ Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\]. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6$m;$AE=5$m; $AD=8$m; $QT=7$m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn \[AD\] sao cho $OA=2$m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:

a) Toạ độ điểm $Q$ là $\left( -6;3;5 \right).$

b) Véc tơ $\overrightarrow{OC}$ có toạ độ là $\left( -6;6;0 \right).$

c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O.$ Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng $5+2\sqrt{10}$m.

d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là $130.000$ đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là $3.750.000$ đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

PHẦN III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi tâm \[O\], \[SO\] vuông góc với mặt đáy. Biết cạnh hình thoi bằng 2024, góc \[\widehat{BAD}\] bằng \[120{}^\circ \], khoảng cách từ điểm \[C\] đến mặt phẳng \[\left( SBD \right)\] bằng bao nhiêu?

Giải. Ta có $SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot CO$ và $CO\bot BD\Rightarrow d\left( C,\left( SBD \right) \right)=CO=1012.$

Câu 2. Trong không gian \[Oxyz,\] một khinh khí cầu ở toạ độ $A\left( -16;-10;10 \right)$ bắt đầu bay với vận tốc không đổi $\overrightarrow{v}=\left( 4;3;-1 \right)$ (ki-lô-mét trên giờ) và dự kiến bay trong thời gian $10$ giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu đặt ở vị trí gốc toạ độ $O,$ kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa $12\text{ km}\text{.}$ Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là bao nhiêu phút?

Giải. Phương trình mặt cầu mô tả vùng kiểm soát của trạm không lưu là $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{12}^{2}}.$

Sau $t$ (giờ) kể từ lúc bắt đầu bay $\left( t\ge 0 \right)$ khinh khí cầu đến vị trí $M$ và $\overrightarrow{AM}=t.\overrightarrow{v}=\left( 4t;3t;-t \right)\Rightarrow M\left( -16+4t;-10+3t;10-t \right).$

Thay $x=-16+4t;y=-10+3t;z=10-t$ vào phương trình của $\left( S \right)$ ta được:

${{\left( -16+4t \right)}^{2}}+{{\left( -10+3t \right)}^{2}}+{{\left( 10-t \right)}^{2}}\Leftrightarrow t=2;t=6.$

Vậy thời gian khinh khí cầu bay trong vùng kiểm soát của trạm quan sát là $6-2=4\text{ h}=240\text{ ph }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ t}\text{.}$

Câu 3. Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy bằng $20\text{ cm}$ sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Hỏi diện tích mặt cắt ngang của mỗi tấm ván tối đa là bao nhiêu cen-ti-mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Giải. Lập hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là cen-ti-mét.

Độ dài cạnh hình vuông $ABCD$ là $a=R\sqrt{2}=20\sqrt{2}$ do đó $AB:y=10\sqrt{2},\text{ }BC:x=10\sqrt{2}.$

Phương trình đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{20}^{2}}\Rightarrow y=\sqrt{{{20}^{2}}-{{x}^{2}}}$ là nửa đường tròn phía trên trục hoành.

Gọi $M\left( x;10\sqrt{2} \right)$ với $0\le x\le 10\sqrt{2}$ thì $N\left( -x;10\sqrt{2} \right),P\left( -x;\sqrt{{{20}^{2}}-{{x}^{2}}} \right),Q\left( x;\sqrt{{{20}^{2}}-{{x}^{2}}} \right).$

Diện tích mỗi tấm ván là $S\left( x \right)=MN.MQ=2x\left[ \sqrt{{{20}^{2}}-{{x}^{2}}}-10\sqrt{2} \right].$

Dễ có $\underset{\left[ 0;10\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,S\left( x \right)=S\left( \approx 8,4807 \right)\approx 67,3.$

Cách 2: Đặt $PQ=x\text{ }\left( 0\le x\le 20\sqrt{2} \right)$ thì $QH=\sqrt{P{{H}^{2}}-P{{Q}^{2}}}=\sqrt{{{40}^{2}}-{{x}^{2}}}$ và $MQ=\dfrac{QH-ME}{2}=\dfrac{\sqrt{{{40}^{2}}-{{x}^{2}}}-20\sqrt{2}}{2}.$

Diện tích mỗi tấm ván là $S\left( x \right)=PQ.MQ=\dfrac{x\left( \sqrt{{{40}^{2}}-{{x}^{2}}}-20\sqrt{2} \right)}{2}.$

Dễ có $\underset{\left[ 0;20\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,S\left( x \right)=S\left( \approx 16,961 \right)\approx 67,3.$

Câu 4. Trong một chiếc hộp có 30 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 6 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh, 8 viên bi màu vàng và 9 viên bi màu trắng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Xác suất để 3 viên bi lấy ra có đúng hai màu bằng \[\dfrac{a}{b}\], với \[\dfrac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tổng \[a+b\] bằng bao nhiêu?

Giải. Với 3 viên bi lấy ra có thể có 3 màu hoặc có đúng 2 màu hoặc có đúng 1 màu.

Số cách lấy ngẫu nhiên 3 viên bi là $C_{30}^{3}.$

Xét lấy ra 3 viên bi có đúng 1 màu: Số cách là $C_{6}^{3}+C_{7}^{3}+C_{8}^{3}+C_{9}^{3}.$

Xét lấy ra 3 viên bi có 3 màu: Số cách là $C_{6}^{1}C_{7}^{1}C_{8}^{1}+C_{7}^{1}C_{8}^{1}C_{9}^{1}+C_{8}^{1}C_{9}^{1}C_{6}^{1}+C_{9}^{1}C_{6}^{1}C_{7}^{1}.$

Số cách lấy ra 3 viên bi có đúng 2 màu là

$C_{30}^{3}-\left( C_{6}^{3}+C_{7}^{3}+C_{8}^{3}+C_{9}^{3}+C_{6}^{1}C_{7}^{1}C_{8}^{1}+C_{7}^{1}C_{8}^{1}C_{9}^{1}+C_{8}^{1}C_{9}^{1}C_{6}^{1}+C_{9}^{1}C_{6}^{1}C_{7}^{1} \right).$

Xác suất cần tính là $P=\dfrac{C_{30}^{3}-\left( C_{6}^{3}+C_{7}^{3}+C_{8}^{3}+C_{9}^{3}+C_{6}^{1}C_{7}^{1}C_{8}^{1}+C_{7}^{1}C_{8}^{1}C_{9}^{1}+C_{8}^{1}C_{9}^{1}C_{6}^{1}+C_{9}^{1}C_{6}^{1}C_{7}^{1} \right)}{C_{30}^{3}}=\dfrac{443}{812}$

$\Rightarrow a+b=443+812=1255.$

Câu 5. Một nhà máy sản xuất \[\text{ }x\] sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C\left( x \right)=16\,000+500x-1,6{{x}^{2}}+0,004{{x}^{3}}$ (nghìn đồng). Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p\left( x \right)=1700-7x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Giải. Lợi nhuận là $P\left( x \right)=R\left( x \right)-C\left( x \right)=x.p\left( x \right)-C\left( x \right)$

$=1700x-7{{x}^{2}}-\left( 16\,000+500x-1,6{{x}^{2}}+0,004{{x}^{3}} \right)$

$=-0,004{{x}^{3}}-5,4{{x}^{2}}+1200x-16000.$

Ta có ${P}'\left( x \right)=-0,012{{x}^{2}}-10,8x+1200\Rightarrow {P}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=100;x=-1000$

$\Rightarrow \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,P\left( x \right)=P\left( 100 \right)=46\text{ 000}\text{.}$ Vậy mỗi tháng nhà máy nên sản xuất 100 sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất.

Câu 6. Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương $ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ với độ dài các cạnh bằng \[5\]m. Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm $M$ trên đoạn thẳng $A{{D}_{1}}$ xuống một điểm $N$ trên đoạn thẳng $BD$ thỏa mãn $AM=DN$. Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Giải. Lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Tọa độ các điểm là $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 5;0;0 \right),C\left( 5;5;0 \right),D\left( 0;5;0 \right)$ và ${{A}_{1}}\left( 0;0;5 \right),{{B}_{1}}\left( 5;0;5 \right),{{C}_{1}}\left( 5;5;5 \right),{{D}_{1}}\left( 0;5;5 \right)\text{.}$

Do $A{{D}_{1}}=BD=5\sqrt{2};AM=DN\Rightarrow \overrightarrow{AM}=c\overrightarrow{A{{D}_{1}}}=c\left( 0;5;5 \right)\Rightarrow M\left( 0;5c;5c \right)$ và

$\overrightarrow{DN}=c\overrightarrow{DB}=c\left( 5;-5;0 \right)\Rightarrow N\left( 5c;-5c+5;0 \right),\text{ }0\le c\le 1.$

Khi đó $MN=g\left( c \right)=\sqrt{25{{c}^{2}}+{{\left( 10c-5 \right)}^{2}}+25{{c}^{2}}}\ge \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( c \right)=g\left( \dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\approx 2,89\text{ m}.$

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.