Đề khảo sát Toán 12 lần 2 năm 2024 – 2025 trường chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định (Đề số 118)

Xem thêm đề thi trước đó: Đề thi thử TN THPT 2025 môn Toán lần 2 trường THPT Lê Quảng Chí – Hà Tĩnh (Đề số 117)

>>Xem thêm: Bộ đề dự đoán Môn Toán thi Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia 2025

Một số câu hỏi có trong đề thi:

PHẦN II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\dfrac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0 ; 0)$ và bán kính bằng 4, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2 ; 2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0, x=4$ như hình vẽ bên dưới:

a) Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng $16\left(\pi-\dfrac{1}{3}\right)$.
b) Parabol có phương trình là $y=-\dfrac{1}{2} x^2+2 x$.
c) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $O x$ bằng $\dfrac{512}{15} \pi$.
d) Cung tròn có phương trình là $y=\sqrt{16-x^2}, 0 \leq x \leq 4$.

>>Lời giải

Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ cắt trục hoành, trục tung tại các điểm $A, B$ và diện tích tam giác $O A B$ bằng 2 ( $O$ là gốc tọa độ)
b) Hàm số có cực đại, cực tiểu.
c) Điểm $M(x ; y)$ có $x \in \mathbb{Z}$ và $y \in \mathbb{Z}$ thì được gọi là có tọa độ nguyên. Đồ thị $(C)$ có đúng 5 điểm có tọa độ nguyên.
d) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ có tọa độ: $(-1 ; 3)$.

Câu 3. Trong một cuộc khảo sát 1000 học sinh thì có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có $85 \%$ học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có $10 \%$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của nhóm khảo sát.
a) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25 .
b) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68
c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75 .
d) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2 .

>>Lời giải

Câu 4. Một bình chứa khí hình cầu $K$ (đường kính 10 m) chạm trực tiếp vào một bức tường thẳng đứng tại điểm $T(-6 ; 0 ; 5)$. Một tấm chắn E được cố định xuống đất tại các điểm $A(0 ; 16,25 ; 0)$, $B(-12 ; 16,25 ; 0)$ và tại các điểm $C(0 ; 5 ; 15), D(-12 ; 5 ; 15)$ được đỡ bằng các thanh chống thẳng đứng (mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1 m).

a) Phương trình tấm chắn $E$ là $4 y+3 z-65=0$.
b) Tâm I của hình cầu $K$ có tọa độ là $(-6 ;-5 ; 5)$.
c) Để tối ưu chi phí, nên thay tấm chắn $E$ bằng tấm $H$ có cùng chiều rộng với tấm chắn $E$ (cùng bằng $A B=12$ ), nhưng chiều dài giảm đi để có thể tiếp xúc với quả bóng. Khi đó các thanh chống đều phải rút ngắn đi không ít hơn $2,5 \mathrm{~m}$.
d) Một điểm $M$ bất kì nằm trên bề mặt của bình chứa $K$. Khi khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến tấm chắn $E$ thì $x_M+y_M+z_M=11$.

>>Lời giải

PHẦN III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Một công viên sinh thái muốn bố trí một mảnh vườn hoa nhỏ. Cụ thể bối cảnh của công viên đã được đo đạt như sau:

- Đường đi lát gạch chạy thẳng, lấy làm ranh dưới của mảnh vườn.

- Hàng rào uốn cong có dạng là đồ thị parabol $y={{x}^{2}}$, biết đồ thị parabol này tiếp xúc với đường đi tại đỉnh của nó.

- Ao cá có dạng là một hình tròn bán kính bằng 0,5 mét tiếp xúc với đường đi đồng thời có chung một điểm duy nhất với hàng rào. Khu vực vườn hoa nằm giữa hàng rào, lối đi và ao cá (phần gạch sọc trong hình minh họa). Hỏi diện tích mảnh vườn hoa đó bằng bao nhiêu mét vuông?( Mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1m) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

>>Lời giải

Câu 2. Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=125-0,01 x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=120+17 x$ (triệu đồng) ( gồm 120 triệu đồng chi phí cố định và 17 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

Câu 3. Cho hình lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có $A^{\prime} A=A^{\prime} B=A^{\prime} C=4$, đáy $A B C$ là tam giác cân tại C có $C A=C B=3, A B=2 \sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $C C^{\prime}$ (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).
Câu 4. Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất $1 \%$ / tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ mỗi tháng từ tháng 1 đến tháng 11 như nhau bằng $a$ triệu đồng, tháng 12 số tiền hoàn nợ bằng $\frac{a}{2}$ triệu đồng và sau đúng một năm kể từ ngày vay ông A còn nợ ngân hàng số tiền 59 triệu đồng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi $a$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

>>Lời giải

Gọi $m, r, T_n, a$ lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay còn lại sau $n$ tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng.

Sau khi hết tháng thứ nhất $(n=1)$ thì còn lại: $T_1=m(r+1)-a$.

Sau khi hết tháng thứ hai $(n=2)$ thì còn lại: $T_2=[m(r+1)-a](r+1)-a$

\[=m(r+1)^2-a(r+1)-a=m(r+1)^2-a(r+2)=m(r+1)^2-\dfrac{a}{r}\left[(r+1)^2-1\right] .\]

Sau khi hết tháng thứ ba $(n=3)$ thì còn: $T_3=\left[m(r+1)^2-\dfrac{a}{r}\left[(r+1)^2-1\right]\right](r+1)-a$

\[=m(r+1)^3-\dfrac{a}{r}\left[(r+1)^3-1\right]\]

Bằng phương pháp quy nạp ta có kết quả:

Sau khi hết tháng thứ $n-1$ thì còn lại: $T_{n-1}=m(r+1)^{n-1}-\dfrac{a}{r}\left[(r+1)^{n-1}-1\right]$.

Tháng cuối cùng là

\[T_n=T_{n-1}(1+r)-\dfrac{a}{2}=m(r+1)^n-\dfrac{a}{r}\left[(r+1)^{n-1}-1\right](1+r)-\dfrac{a}{2}\]

Áp dụng công thức trên, ta có:

\[T_{12}=59=100(0,01+1)^{12}-\dfrac{a}{0,01}\left[(0,01+1)^{11}-1\right](0,01+1)-\dfrac{a}{2}=4,4 \text { triệu đồng. }\]

Câu 5. Một con chim thông minh đang đứng trên một cây cao tại điểm $B(7 ; 10 ; 6).$ Trong không gian $Oxyz$ mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 mét và mặt đất (xem như phẳng) là mặt phẳng $(Oxy).$ Con chim thông minh biết bay thẳng xuổng mặt đất tại $N$ và chạy lấy thức ăn tại điểm $M$ cách $N$ 4 m sau đó bay thẳng đến điểm $A(1 ; 2 ; 3)$ trên một cây cao về cho chim con với tổng các khoảng cách $B N+A M$ nhỏ nhất. Tính tổng các tung độ của $M$ và $N.$

>>Lời giải

Câu 6. Chọn ngẫu nhiên 4 số $a, b, c, d$ thuộc tập hợp $S=\{1,2, \ldots, 2025\}$. Tính xác suất để 4 số chọn ra thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2$ chia hết cho 5. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

>>Lời giải

Gọi A là tập hợp các số thuộc S chia hết cho 5 có, A có 405 phần tử.

Gọi B là tập hợp các số thuộc S chia cho 5 dư 1 hoặc 4, B có 810 phần tử.

Gọi C là tập hợp các số thuộc S chia cho 5 dư 2 hoặc 3, C có 810 phần tử.

Ta có $k\in A\Rightarrow {{k}^{2}}\vdots 5$; $k\in B\Rightarrow {{k}^{2}}$ chia 5 dư 1; $k\in C\Rightarrow {{k}^{2}}$ chia 5 dư 4.

 Số phần tử của không gian mẫu là $C_{2025}^{4}.$

Để chọn được 4 số thoả mãn, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn 4 số thuộc A, có $C_{405}^{4}$ cách chọn.

Trường hợp 2: Chọn 2 số thuộc A, 1 số thuộc  B và 1 số thuộc  C  có $C_{405}^{2}.C_{810}^{1}.C_{810}^{1}$ cách chọn.

Trường hợp 3: Chọn 2 số thuộc B, 2 số thuộc  C  có $C_{810}^{2}.C_{810}^{2}$ cách chọn

Suy ra số phần tử của biến cố là $C_{405}^{4}+C_{405}^{2}.C_{810}^{1}.C_{810}^{1}+C_{810}^{2}.C_{810}^{2}$

Xác suất bằng $\dfrac{C_{405}^{4}+C_{405}^{2}.C_{810}^{1}.C_{810}^{1}+C_{810}^{2}.C_{810}^{2}}{C_{2025}^{4}}=0,23.$

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Combo X các em học kết hợp giữa bài giảng, tài liệu, đề thi có sẵn đã phát hành tại vted.vn và các bài giảng Live Fb được cập nhật trong năm học (kéo dài từ T9.2025 đến T6.2026)