Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Nam Định có đáp án và giải chi tiết

Đề thi này bám sát theo chương trình học và thi TN THPT nên các em dùng để ôn luyện thoải mái nhé.

Đề gồm hai phần: phần tự luận viết đáp số gồm 20 câu (08 điểm), phần trắc nghiệm gồm 40 câu (12 điểm), thời gian làm bài 120 phút. Đây là một đề thi có khá nhiều câu hỏi hay. Các em ôn luyện mục tiêu 9+ hợp lí.

Một số câu hỏi có trong đề thi này:

Câu 39. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 1;2 \right]$ và thoả mãn $f\left( x \right)=2+\int\limits_{1}^{2}{\left( 6x+2t \right)f\left( t \right)dt},\,\forall x\in \left[ 1;2 \right]$. Tính $f\left( 2 \right)$.

A. $f\left( 2 \right)=-\dfrac{4}{3}$. B. $f\left( 2 \right)=\dfrac{4}{3}$.          C. $f\left( 2 \right)=-\dfrac{2}{3}$.        D. $f\left( 2 \right)=\dfrac{2}{3}$.

Giải. Ta có $f\left( x \right)=2+\int\limits_{1}^{2}{\left( 6x+2t \right)f\left( t \right)dt}=2+6x\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}+2\int\limits_{1}^{2}{tf\left( t \right)dt}$

Đặt $a=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt};b=\int\limits_{1}^{2}{tf\left( t \right)dt}\Rightarrow f\left( x \right)=6ax+2b+2$

Thay ngược lại ta có $a=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 6at+2b+2 \right)dt}=9a+2b+2\left( 1 \right)$

Và $b=\int\limits_{1}^{2}{tf\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{2}{t\left( 6at+2b+2 \right)dt}=14a+3b+3\left( 2 \right)$

Giải $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow a=-\dfrac{1}{6};b=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow f\left( x \right)=-x+\dfrac{4}{3}\Rightarrow f\left( 2 \right)=-\dfrac{2}{3}.$ Chọn đáp án C.

*Các em xem lại Bài giảng Tích phân và các dạng toán cơ bản của tích phân khoá PRO X.

Câu 40. Cho hàm số đa thức bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $(C)$ tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $-1$ và $2$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f\left( x \right)\,$và $y=f'\left( x \right)$ bằng $\dfrac{428}{5}$. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và parabol $(P)$ đi qua ba điểm cực trị của đồ thị $(C)$.

A. \[S=\dfrac{81}{5}\]. B. $S=\dfrac{81}{20}$.   C. $S=\dfrac{81}{10}$.   D. $S=\dfrac{81}{40}$.

Giải. Theo bài ra ta có $f\left( x \right)=a{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}$

$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=a\left[ 2\left( x+1 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}+2\left( x-2 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}} \right]$

Xét $f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\Leftrightarrow a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-5x \right)=0\Leftrightarrow x=-1;x=2;x=0;x=5$

Theo bài ra ta có $\int\limits_{-1}^{5}{\left| a\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-5x \right) \right|dx}=\dfrac{428}{5}\Rightarrow \left| a \right|=1.$

Lấy $f\left( x \right)$ chia cho ${f}'\left( x \right)$ ta được: $f\left( x \right)=\dfrac{1}{4}\left( x-\dfrac{1}{2} \right){f}'\left( x \right)+g\left( x \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$

Do đó $S=\int\limits_{-1}^{2}{\left| \dfrac{1}{4}\left( x-\dfrac{1}{2} \right)\times a\left( 4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-6x+4 \right) \right|dx}=\dfrac{81}{40}.$ Chọn đáp án D.    

*Các em xem lại Bài giảng Tính diện tích hình phẳng dựa trên đồ thị hàm số dạng bài Đường cong qua các điểm cực trị của hàm đa thức khoá VDC XMAX.

Phần II: Viết đáp án (Viết câu trả lời vào tờ giấy thi theo hàng dọc, viết đơn vị nếu có)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-{{x}^{3}}-3x+6$ trên $\left[ -1;\,1 \right]$.

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+5}$.

Tìm tập hợp giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=m{{x}^{4}}-\left( m-2 \right){{x}^{2}}-2$ có ba điểm cực trị.

Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hỏi phương trình $\left| a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+cx-d \right|=4$ có bao nhiêu nghiệm dương?

Tính đạo hàm của hàm số $y=\log \left( -x \right)$.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ -1;\,\,2 \right]$. Biết $2f\left( 2 \right)+f\left( -1 \right)=4$ và $\int\limits_{-1}^{2}{f'\left( x \right)dx=2}$. Tính $f\left( 2 \right)$.

Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi $t=0\,\,\left( s \right)$ chuyển động thẳng với gia tốc $a\left( t \right)=10-2t\text{ }\left( m/{{s}^{2}} \right).$ Tính quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.

Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.

Cho hình nón có bán kính đáy $r=20cm$ và chiều cao $h=10cm$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi luôn đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo thiết diện có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm \[M\left( 1;-1;5 \right)\] và \[N\left( 0;0;1 \right)\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa \[M,\,\,N\] và song song với trục \[Oy\].

Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Phương trình ${{f}^{2}}\left( x \right)-\left( 2+{{\log }_{2}}x \right)f\left( x \right)+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Xét các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn ${{\log }_{a}}\left( bc \right)=3,\,\,{{\log }_{b}}\left( ca \right)=4$. Tính giá trị của biểu thức ${{\log }_{c}}\left( ab \right).$

Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f\left( x \right)$. Biết đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có điểm cực đại là $A\left( a;6 \right),$ điểm cực tiểu là $B\left( b;-2 \right)$ và đi qua điểm $C\left( c;4 \right)$ với $a<b<c$. Tính $I=\int\limits_{a}^{c}{\left| f'\left( x \right) \right|dx}$.

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,\text{ }AC$ và $AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB=4a,\,\text{ }AC=5a$ và $AD=6a.$ Gọi $M,\text{ }N,\text{ }P$ tương ứng là trung điểm các cạnh $AB,\text{ }AC,\,\text{ }AD;$ $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Tính theo a thể tích của khối tứ diện $GMNP.$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60{}^\circ $, $SA=a$ và \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.

Có $2$ hộp đựng các viên bi, trong mỗi hộp chỉ có các viên bi màu đỏ và màu xanh. Tổng số viên bi của hai hộp là $26$. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra $1$ viên bi. Biết xác suất để chọn được hai viên bi màu xanh là \[\dfrac{91}{160}\]. Tính xác suất để chọn được $2$viên bi màu đỏ.

Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$. Biết đồ thị hàm số $y=f'\left( \dfrac{1}{2}x+1 \right)$ là đường cong trong hình vẽ.

Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \sin x \right)+\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}x+1$ có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng \[\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{5\pi }{2} \right)\]?

Cho hàm số $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+r$. Biết rằng đồ thị hàm số \[y={f}'\left( x \right)\] cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ $a,\,\,b,\,\,c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai $d>0$. Gọi $S$ là tập hợp các nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=f\left( b-\dfrac{d}{2} \right)$. Hỏi tập $S$ có bao nhiêu phần tử?

Câu 59. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $10\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)-\sqrt{{{2}^{x+y}}}\ge {{x}^{3}}+{{y}^{3}}-32?$

Giải. Ta có $10\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)-\sqrt{{{2}^{x+y}}}\ge {{x}^{3}}+{{y}^{3}}-32$

$\Leftrightarrow 10\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)-\sqrt{{{2}^{x+y}}}\ge \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)-32$

Đặt $a={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy;b=x+y,\left( a,b>0 \right)\Rightarrow 10a-\sqrt{{{2}^{b}}}\ge ab-32$

$\Leftrightarrow g\left( b \right)=ab+{{2}^{\dfrac{b}{2}}}-10a-32\le 0\left( * \right)$

Ta có ${g}'\left( b \right)=a+\dfrac{1}{2}{{2}^{\dfrac{b}{2}}}\ln 2>0,\forall a>0,b>0$ và $g\left( 10 \right)=0$ do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( b \right)\le g\left( 10 \right)\Leftrightarrow b\le 10\Leftrightarrow x+y\le 10$

Với mỗi số nguyên $x\in \left\{ 1,...,9 \right\}$ thì $y\in \left\{ 1,...,10-x \right\}$ có $10-x$ cách chọn.

Vậy có tất cả $\sum\limits_{x=1}^{9}{\left( 10-x \right)}=45$ cặp số nguyên dương thoả mãn.

*Các em xem lại Bài giảng Biến đổi Mũ logarit nâng cao khoá VDC XMAX.

Câu 60. Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm $A\left( -1;5;4 \right),B\left( 2;-1;1 \right),C\left( -1;1;-4 \right).$ Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi đi qua $I\left( 1;1;2 \right).$ Kí hiệu $T=d\left( A,\left( P \right) \right)+2d\left( B,\left( P \right) \right)+2d\left( C,\left( P \right) \right).$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ khi $T$ đạt giá trị lớn nhất.

Giải. Ta có $\left( P \right):a\left( x-1 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-2 \right)=0,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$

Và kiểm tra sự đặc biệt $\overrightarrow{AI}\left( 2;-4;-2 \right);\overrightarrow{BI}\left( -1;2;1 \right);\overrightarrow{CI}\left( 2;0;6 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}||\overrightarrow{BI}$

$\Rightarrow AB\cap \left( P \right)=I\Rightarrow \dfrac{d\left( A,\left( P \right) \right)}{d\left( B,\left( P \right) \right)}=\dfrac{AI}{BI}=2$

$T=4d\left( B,\left( P \right) \right)+2d\left( C,\left( P \right) \right)=\dfrac{4\left| a-2b-c \right|+2\left| -2a-6c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

TH1: $T=\dfrac{\left| 4\left( a-2b-c \right)+2\left( -2a-6c \right) \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| -8b-16c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \dfrac{8\sqrt{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le 8\sqrt{5}\left( 1 \right)$

TH2: $T=\dfrac{\left| 4\left( a-2b-c \right)-2\left( -2a-6c \right) \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 8a-8b+8c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \dfrac{8\sqrt{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=8\sqrt{3}\left( 2 \right)$

So sánh $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow {{T}_{\max }}=8\sqrt{5}$ xảy ra khi $a=0;\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{2}\Rightarrow \left( P \right):y+2z-5=0.$

*Các em xem lại Bài giảng biện luận khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoá VDC XMAX.

Xem trực tiếp và tải đề thi về (Bản đẹp của đề thi kèm đáp án và lời giải chi tiết sẽ được Vted cập nhật trong thời gian sớm nhất)

Các đề sưu tầm năm nay của các Trường THPT và Sở Giáo dục cùng các đề thi học sinh giỏi Toán 12 dạng trắc nghiệm được Vted phát hành trong khoá Luyện đề Xplus

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Bộ Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 (Trắc nghiệm)

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Phú Thọ

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thanh Hoá

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thái Bình

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Nam Định