Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2020 TP. Hồ Chí Minh kèm lời giải chi tiết

Câu 4. Cho hàm số $f(x) = \dfrac12 x^2 - mx$ và $g(x) = \dfrac{x - m}{x - 1}$, tham số $m \ne 1$, có đồ thị $(C_1)$, $(C_2)$. Biết rằng tồn tại đúng $2$ số $x_0 \in (2; 3)$ sao cho nếu gọi $d_1$, $d_2$ là tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ $x_0$ thuộc $(C_1)$, $(C_2)$ và $d_1$, $d_2$ cắt nhau tại $A$, còn $d_1$, $d_2$ cắt trục $Ox$ ở $B$, $C$ thì $AB = AC$. Tìm tất cả các giá trị $m$.

Có $AB=AC\Leftrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Leftrightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ACD}={{180}^{0}}\Leftrightarrow \tan \widehat{ABC}=-\tan \widehat{ACD}\Leftrightarrow {f}'({{x}_{0}})=-{g}'({{x}_{0}}).$

Vì vậy

\[\begin{gathered} {x_0} - m = - \dfrac{{m - 1}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} \Leftrightarrow {x_0}{({x_0} - 1)^2} - m{({x_0} - 1)^2} = - m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m\left( {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} - 1} \right) = {x_0}{({x_0} - 1)^2} - 1 \Leftrightarrow m = g({x_0}) = \dfrac{{{x_0}{{({x_0} - 1)}^2} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} - 1}}(*). \hfill \\ \end{gathered} \]

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm ${{x}_{0}}\in (2;3)\Leftrightarrow \dfrac{2+3\sqrt{3}}{2}<m<\dfrac{11}{3}.$