Đề thi Olympic Toán sinh viên và học sinh năm 2025

Kì thi Olympic Toán sinh viên năm này gồm 26 trường bảng A và 63 trường bảng B. Cơ cấu tính giải các bảng như sau:

ĐSA: Ba 17.25- Nhì 21-Nhất 25

GTA: Ba 14,5- Nhì 19-Nhất 23.

ĐSB: Ba 9,75- Nhì 13.25-Nhất 17.5

GTB: Ba 9- Nhì 11- Nhất 14.

Đề thi Olympic Toán sinh viên và học sinh năm 2025 Đại Số (Bảng A)

Đề thi Olympic Toán sinh viên và học sinh năm 2025 Giải tích (Bảng A)

>>Xem thêm: Kỷ yếu Olympic Toán Sinh Viên toàn quốc các năm gần đây

Bài A.1. ( 6 điểm)
Cho $a$ là một số thực, $M(a)$ là ma trận phụ thuộc vào $a$ :

\[
M(a)=\left(\begin{array}{cccc}
a & 2023 & 2024 & 2025 \\
2025 & 2024 & 2023 & a \\
2024 & 2025 & a & 2023 \\
2023 & a & 2025 & 2024
\end{array}\right)
\]

(a) Tính hạng của ma trận $M(a)$ khi $a=2022$.
(b) Tính định thức của ma trận $M(a)$ theo $a$.
(c) Xét hệ phương trình tuyến tính $M(a) \cdot X=0$, trong đó $X=\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)^T$ là vectơ cột gồm các tọa độ $x_1, x_2, x_3, x_4$ đểu là số thực.
(c1) Tìm số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính $M(a) \cdot X=0$ khi $a=2022$.
(c2) Khi nào hệ phương trình $M(a) \cdot X=0$ chỉ có hữu hạn nghiệm? Tại sao?
Bài A.2. (6 điểm)
Giả sử ban đầu học sinh các trường phổ thông ờ Quận 1 chỉ mua bánh mỳ của Công ty $A$. Sau đó Công ty $B$ cüng tham gia vào việc cung cấp bánh mỳ cho thị trường này. Nghiên cứu cho thẩy sau mỗi quý ( 3 tháng) có $30 \%$ khách hàng của Công ty $A$ chuyển sang dùng sản phẩm của Công ty $B$, số còn lại vẫn dùng của Công ty $A$. Đồng thời có $40 \%$ khách hàng của Công ty $B$ chuyến sang dùng của Công ty $A$, số còn lại vẫn dùng của Công ty $B$.
(a) Hỏi sau 18 tháng kể từ khỉ Công ty $B$ tham gia vào thị trường, tị lệ khách hàng (trên tổng số học sinh của toàn Quận 1) mua bánh mỳ của mỗi công ty tương úng là bao nhiêu?
(b) Giám đớc Công ty $A$ quyết định sẽ ngừng kinh doanh mặt hàng bánh mỳ nếu til lệ số khách hàng của họ (trên tống sơ) it hơn $50 \%$. Hỏi với sồ liệu như trên, Công ty $A$ có thời điểm nào cấn quyết định ngừng kinh doanh mặt hàng này hay không? Tai sao?
Bài A.3. ( 6 diếm)
Điền các số $1,2,3, \ldots, 9$ vào các ô đơn vị của một bảng $3 \times 3$, mỗi ô một số khác nhau. Xét 6 số có 3 chû̃ số được tạo thành từ các hàng (đọc từ trái qua phải) và các cột (đọc từ trên xuống dưởi).
(a) Hỏi có thế điền sao cho 6 số nhận được đều chia hết cho 9 hay không? Tại sao?

(b) Gọi $M$ là số lớn nhất trong 6 số nhận được bằng một cách điền bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhắt của $M$.

Bài A.4. (6 điếm)
(a) Xét đa thức $Q(x)=x^2-1$. Chứng minh rằng có vô số đa thức $P(x)$ bậc 2 với hệ số bậc cao nhất bằng 1 , sao cho đa thức $P(Q(x))$ có 4 nghiệm thực phân biệt và chúng lập thành một cấp số cộng.
(b) Xét đa thức $T(x)=x^3-3 x$. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức $S(x)$ có bậc 3 sao cho đa thức $S(T(x))$ có 9 nghiệm thực phân biệt và chúng lạp thành một câp số cộng. ? :
Bài A.5. ( 6 điểm)
Ma trận vuông $A$ cấp 2025 với các phẩn tử là số thực, được gọi là một ma trân tốt nếu vết của $A^2$ (tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận $A^2$ ) bằng 8100 , và mọi ma trận vuông cùng cấp $B$ vối các phần tử thực đều viết được dưới dạng $B=B_1+B_2$, trong đó $A B_1=B_1 A, A B_2=-B_2 A$. Giả sử $A$ là một ma trận tốt bất kỳ cấp 2025.
(a) Xác định tất cả các ma trận $A^2$.
(b) Xác định tất cả các giá trị của det $\left(A-I_{2025}\right)$, trong đó $I_{2025}$ là ma trận đơn vị cấp 2025.

Bài A.1. Cho $\left(a_n\right)_{n=1}^{\infty}$ là một dãy số thực được xác định bởi

\[
a_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\dfrac{\pi}{(k+1)^2}\right)=\left(1-\dfrac{\pi}{2^2}\right) \cdots\left(1-\dfrac{\pi}{(n+1)^2}\right) \quad \text { với } n \geq 1
\]

(a) (3 điểm) Chứng minh rằng dãy số $\left(a_n\right)_{n=1}^{\infty}$ hội tụ.
(b) (3 điểm) Giới hạn của dãy số $\left(a_n\right)_{n=1}^{\infty}$ có bằng 0 được không? Vì sao?

Bài A.2. (6 điểm) Cho $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ là một hàm số được xác định bởi

\[
f(x)=\left(\dfrac{30^x+4^x+2025^x}{3}\right)^{\dfrac{1}{x}} \quad \text { vói } x>0
\]

Khảo sát tính đơn điệu của hàm $f$ trên $(0,+\infty)$.

Bài A. 3 .
Hình bên thể hiện một dãy các hình phẳng lồng nhau bắt đầu bỏ̉i đường tròn đơn vị được ký hiệu $C_1$. Dãy này được xây dựng như sau.
Ở bước thứ nhất trước tiên ta dựng một tam giác đều ngoại tiếp đường tròn đơn vị $C_1$, sau đó ta dựng đường tròn $C_2$ ngoại tiếp tam giác đều này. ở bước thứ hai ta lần lượt dựng một tứ giác đều ngoại tiếp đường tròn $C_2$ và dựng đường tròn $C_3$ ngoại tiếp tứ giác này. Ta lặp lại quá trình trên, tức là ở bước thứ $n$ ta lần lượt dựng $(n+2)$-giác đều ngoại tiếp đường tròn $C_n$ vừa dựng ở bước trước đó (là bước thứ $n-1$ ) và dựng đường tròn $C_{n+1}$ ngoại tiếp $(n+2)$-giác đều đó.

Gọi $r_n$ là bán kính của đường tròn $C_n$.
(a) (3 điểm) Lập công thức liên hệ giữa $r_{n+1}$ và $r_n$ với $n \geq 1$.
(b) (3 điểm) Chứng minh rằng dãy $\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}$ có giới hạn hữu hạn. Kết quả này nói lên điều gì?

Bài A.4. Cho $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số có đạo hàm tại mọi điểm và $\left(a_n\right)_{n=1}^{\infty}$ là dãy các số tự nhiên tăng ngặt.
(a) (3 điểm) Cho ví dụ về một hàm $f$ mà $f^{\prime}(x)=0$ khi và chỉ khi $x \in\left\{a_1, a_2, \ldots\right\}$.
(b) (2 điểm) Chứng minh rằng nếu hàm $f$ có tính chất $f^{\prime}(x)=0$ khi $x \notin\left\{a_1, a_2, \ldots\right\}$ thì $f$ là hàm hằng.
(c) (1 điểm) Có tồn tại hay không hàm $f$ mà $f^{\prime}(x)=0$ khi và chỉ khi $x \in \mathbb{Q}$ ? (Nếu câu trả lời là "không", hãy chứng minh; nếu câu trả lời là "có", hãy chỉ ra một ví dụ về một hàm $f$ thỏa mãn yêu cầu.)

Bài A.5. Cho $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục trên $[0,1]$.
(a) (2 điểm) Chứng minh rằng tồn tại một điểm $c \in(0,1)$ sao cho

\[
\int_0^1 f d x=f(c)
\]

(b) (2 điểm) Chứng minh rằng tồn tại hai điểm phân biệt $a, b \in(0,1)$ sao cho

\[
\left(\int_0^1 f d x\right)^2=f(a) f(b)
\]

(c) (2 điểm) Cho trước số tự nhiên $n \geq 3$, có tồn tại hay không $n$ điểm phân biệt $a_i \in(0,1)$ với $1 \leq i \leq n$ sao cho

\[
\left(\int_0^1 f d x\right)^n=f\left(a_1\right) f\left(a_2\right) \cdots f\left(a_n\right) ?
\]

(Nếu câu trả lời là "có", hãy chứng minh; nếu câu trả lời là "không", hãy chỉ ra một ví dụ về một hàm $f$ và một giá trị $n$ nhưng không thỏa mãn yêu cầu.)

Kỷ yếu Olympic Toán Sinh Viên - Học sinh Toàn quốc năm 2025

...Cập nhật sau khi kì thi 2025 kết thúc.

Đề thi Olympic Toán sinh viên và học sinh năm 2025 Chủ đề Hình học

Chú ý:Thí sinh được sử dung kễt quả của các câu trước trong lời giải của câu sau. Nếu một câu được giải mà không dựa vào kết quả của các câu trước thi có thể dùng để giải các câu trước.

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

A. Một số hệ thức lượng đặc biệt trong tam giác

Bài PT.1.(2 đ.) Chứng minh rằng với mọi tam giác $A B C$ ta có

\[
a=b \cos C+c \cos B
\]

Bài PT.2.(2 đ.) Cho tam giác $A B C$. Gọi $D, E, F$ tương ứng là chân các đường cao hạ từ $A, B, C ;$ gọi $X, Y, Z$ tương ứng là trung điểm của $B C, C A, A B$. Chứng minh rằng luôn có cách đặt các dấu + hoặc - sao cho hệ thức sau đây là đúng:

\[
\frac{D X}{D A} \pm \frac{E Y}{E B} \pm \frac{F Z}{F C}=0
\]

Bài PT.3.(3 đ.) [Định lý Cosin mở rộng] Cho tam giác $A B C$ và một điểm $P$ trong mặt phẳng. Dựng hình bình hành $P B D C$. Đặt $\alpha=\angle B P C$ ,$\theta=\angle P A D$. Chứng minh rằng

\[
a^2=b^2+c^2-2 P B \cdot P C \cos \alpha-2 P A \cdot A D \cos \theta
\]

Bài PT.4.(3 đ.) Cho đa giác lồi $\mathcal{A}=A_1 A_2 \ldots A_n$. Với $i=1, \ldots, n$, ký hiệu góc trong ở đỉnh $A_i$ của $\mathcal{A}$ là $\alpha_i$. Chứng minh rằng với mọi điểm $P$ nằm bên trong $\mathcal{A}$ ta có

\[
P A_1 \cos \frac{\alpha_1}{2}+P A_2 \cos \frac{\alpha_2}{2}+\ldots+P A_n \cos \frac{\alpha_n}{2} \geq s
\]

trong đó $s$ ký hiệu nửa chu vi của $\mathcal{A}$.

B. Một số hệ thức lượng và bất đẳng thức trong tứ giác

Trong các bài tập PT.5, PT.6, PT. 7 và PT. 8 ta ký hiệu $A B C D$ là một tứ giác lồi.
Bài PT.5.(3 đ.) Dựng điểm $P$ bên trong tứ giác $A B C D$ sao cho các tam giác $A P B$ và $A D C$ đồng dạng. Chứng minh rằng độ dài các đoạn thẳng $P B, P D$ và $B D$ tương ứng tỷ lệ với $C D . A B, B C$. $A D$ và $B D . A C$.
Bài PT.6.(3 đ.) Ký hiệu $\theta$ là tổng hai góc đối diện bất kỳ của tứ giác $A B C D$. Chứng minh rằng

\[
A C^2 \cdot B D^2=A B^2 \cdot C D^2+A D^2 \cdot B C^2-2 A B \cdot C D \cdot A D \cdot B C \cos \theta
\]

Bài PT.7.(3 đ.) Đặt $\alpha=|\angle A D B-\angle A C B|=|\angle D A C-\angle D B C|$ và $\beta=|\angle A B D-\angle A C D|=|\angle B A C-\angle B D C|$. Chứng minh rằng

\[
A C \cdot B D=A D \cdot B C \cos \alpha+A B \cdot C D \cos \beta
\]

Bài PT.8.(3 đ.) Chứng minh rằng $A B C D$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi

\[
(A B+C D)^2+(A D+B C)^2=(A C+B D)^2
\]

C. Ứng dụng của một số hệ thức lượng

Bài PT.9.(4 đ.) Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiễp $\omega$ tiễp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ tưởng ứng tại $D, E, F$. Lã̃y một điểm $P$ trên đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $B C$. Gọi $Q$ và $R$ tương ứng là giao điểm của $P C$ và $P B$ với $E F$. Gọi $K$ và $L$ tương ứng là hình chiếu của $R$ và $Q$ trên đường thẳng $B C$. Các đường thẳng $D Q$ và $D R$ cắt lại $\omega$ tại các điểm $M$ và $N$. Gọi $S$ là giao điểm của $K M$ và $L N$. Chứng minh rằng $D S$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $Q R$.
Bài PT.10. (4 đ.) Cho tam giác $A B C$. Gọi $D$ và $E$ tương ứng là trung điểm của $A B$ và $C D$. Giả sử $\angle A C D=2 \angle D E B$. Chứng minh rằng $2 \angle A E D=\angle D C B+180^{\circ}$.
Chú ý: Điểm số của bài toán PT. 11 chi được dùng để xếp hạng các thí sinh có điểm tuyệt đỗi.
Bài PT.11.(Điểm thưởng: 5 đ.) Cho hình chữ nhật $A B C D$ và một điểm $P$ nằm trong mặt phẳng. Gọi $X, Y, Z, W, S$ và $T$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $P$ trên các đường thẳng $A B, B C, C D, D A, A C$ và $B D$. Các đường trung trực của $X Y$ và $W Z$ cắt nhau tại $Q$. Các đường trung trực của $Y Z$ và $X W$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng $Q R$ song song với $S T$.

Đề thi Olympic Toán sinh viên và học sinh năm 2025 Chủ đề Tổ hợp

Chú ý:Thí sinh được sử dung kễt quả của các câu trước trong lời giải của câu sau. Nếu một câu được giải mà không dựa vào kết quả của các câu trước thi có thể dùng để giải các câu trước.

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Trong đề này, $\left(F_n\right)$ ký hiệu dãy số Fibonacci, định nghĩa như sau: $F_1=1, F_2=2, F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$, với mọi $n \geq 2$. Ta gọi $F_n$ là số Fibonacci thứ $n$ và 2 số $F_{n+1}$ là 2 số Fibonacci liên tiếp.

A. Trò chơi Zeckendorf: phiên bản 1 người

Trò chơi Zeckendorf (phiên bản 1 người) ứng với số nguyên $n(n>2)$ là trò chơi sau đây. Ban đầu, trên bảng có $n$ sỗ 1 (tương ứng với $n$ số $F_1$ ). Sau đó, ở mỗi lượt, người chơoi có thể thực hiện 1 trong các thao tác sau, mà ta sẽ gọi là thao tác $P$ :
1. Nếu trên bảng có 2 số Fibonacci liên tiếp là $F_{n-1}$ và $F_n$, người chơi có thể xóa 2 sỗ đó đi và viết lên bảng $F_{n+1}$.
2. Nễu trên bảng có 2 số Fibonacci giống nhau $F_1, F_2$ :
(a) Với $i=1$, người chơi có thể xóa 2 sỗ $F_1$ và viết lên bảng $F_2$;
(b) Với $i=2$, người chơi có thể xóa 2 sỗ $F_2$ và viết lên bảng $F_1$ và $F_2$;
(c) Với $i \geq 3$, người chơi có thể xóa 2 sỗ $F_1$ và viết lên bảng $F_{n-3}$ và $F_{n+1}$.

Trò chơi kễt thúc khi người chơi không còn thực hiện được thao tác nào nữa.
Bài PT1.(3 đ.) Xét trò chơi Zeckendorf ứng với một số nguyên $n>2$. Chứng minh rằng:
a) Tổng các số trên bảng bằng $n$ ở mọi thời điểm.
b) Tổng bình phương của các số trên bảng không giảm sau mỗi lượt chơi.
c) Trò chơi luôn kết thúc sau một số hữu hạn thao tác.

Bài PT2.(3 đ.) Xét $n=6$. Nêu ví dụ về trò chơi Zeckendorf ứng với $n=6$ kết thúc sau:
a) 4 thao tác
b) 5 thao tác.

Bài PT.3.(3 đ.) Chứng minh rằng mỗi số nguyên $n>2$ đều có thể biểu diễn một cách duy nhất thành tổng của các số Fibonacci đôi một phân biệt và không liên tiếp. Ta gọi bộ các số Fibonacci trong tổng sỗ là biểu diễn Zeckendorf của $n$.
Bài PT.4.(3 đ.) Chứng minh rằng, với một cách chơi, trong trạng thái kết thúc của trò chơi Zeckendorf ứng với $n$ là duy nhất và chính là biểu diễn Zeckendorf của $n$.
Trong các bài toán PT.5, PT. 6 và PT.7, ta ký hiêu $x$ n là sỗ thao tác được thực hiên trong một trò chơi Zeckendorf ứng với n.
Bài PT.5.(4 đ.) Chứng minh rằng với mọi $n \geq 4, x_n$ có thể nhận cả giá trị chẵn và giá trị lẻ.
Bài PT.6.(4 đ.) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n>2$ thì

\[
n-Z(n) \leq x_n
\]

trong đó $Z(n)$ là sỗ các sỗ hạng trong biểu diễn Zeckendorf của $n$. Hơn nữa, hãy chỉ ra dãu ' $=^{\prime}$ có thể xảy ra.
Bài PT.7.(4 đ.) Chứng minh rằng

\[
x_n \leq \ell . n<\left[\log _\phi(\sqrt{5} n+1)\right] . n
\]

trong đó $\ell$ là số nguyên dương lớn nhất sao cho $F_{\ell} \leq n$ và $\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

B. Trò chơi Zeckendorf: phiên bản 2 người

Trò chơi Zeckendorf cho 2 người ứng với sỗ nguyên dương $n$ diễn ra như sau. Ban đầu, trên bảng có $n$ sỗ 1 (tương ứng với $n$ sỗ $F_1$ ). Hai người chơi $A$ và $B$ luân phiên chơi, với $A$ đi trước. Mỗi lượt, người đến lượt thực hiện một thao tác $P$ như được mô tả trong phần trên. Trò chơi kết thúc khi một người đễn lượt chới nhưng không thể thực hiện thao tác hợp lệ nào nữa (người thua cuộc); người còn lại là người thắng cuộc.

Bài PT.8.(3 đ.) Xét trò chơi Zeckendorf cho hai người ứng với $n=6$. Hãy chỉ ra một chiến lược thắng cuộc của $B$.
Bài PT.9.(3 đ.) Chứng minh rằng với mọi $n>9$, người chơi $B$ có chiến lược thắng cuộc trong trò chơi Zeckendorf ứng với $n$.

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế:

1. PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng