Đề thi SPT môn Toán năm 2025 trường Đại học Sư phạm Hà Nội (Đề số 113)

Xem thêm đề thi trước đó: Đề khảo sát Toán 12 năm 2024 – 2025 đợt 3 sở GD&ĐT Nghệ An (Đề số 112)

>>Xem thêm: Bộ đề dự đoán Môn Toán thi Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia 2025

Một số câu hỏi có trong đề thi:

A. TÔ TRỀN PHIẾU TRẢ LỒI TRẮC NGHIỆM

Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đển câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phưong án.
Câu 1. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-2 x+m}{x-1}$ có tiệm cận đứng. Khi đó tập hợp $S$ bằng
A. $\mathbb{R} \backslash\{1\}$.
B. $\mathbb{R} \backslash\{0\}$.
C. $\mathbb{R} \backslash\{-1\}$.
D. $\mathbb{R}$.

Câu 2. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là tứ giác lồi, $A C=2 a, B D=3 a, A C \perp B D$ và $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$. Biết góc $\alpha$ giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng đáy thỏa mãn $\cot \alpha=3$. Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ bằng
A. $\frac{a^3}{12}$.
B. $\frac{a^3}{3}$.
C. $\frac{a^3}{4}$.
D. $\frac{2 a^3}{3}$.

Câu 16. Hàm số $f(x)=1-\frac{1}{x^2}$ có một nguyên hảm là
A. $F_1(x)=\frac{2}{x^3}$.
B. $F_3(x)=x+\frac{2}{x^3}$.
C. $F_4(x)=\frac{1}{x}$.
D. $F_2(x)=x+\frac{1}{x}$.

Phần II (2 điểm). Thi sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi $\dot{y}$ a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ có hai trạm phảt sóng wifi với ranh giới vùng phủ sóng của trạm thứ nhất, trạm thứ hai lần lượt cho bởi các mặt cầu

\[\left(S_1\right):(x-5)^2+(y+6)^2+(z-15)^2=22725 ;\left(S_2\right):(x-1005)^2+(y-219)^2+(z-15)^2=22725.\]

Coi mặt đất là một phần của mặt phẳng tọa độ $(O x y)$, đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là mét.
a) Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ nhất là hình tròn $\left(C_1\right)$ có bán kinh bằng 150 m.
b) Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ hai là hình tròn $\left(C_2\right)$ có bán kính bằng 150 m.
c) Khoảng cách giữa tâm của hình tròn $\left(C_1\right)$ và tâm của hình tròn $\left(C_2\right)$ bằng 1020 m.
d) Giả sử có một thiết bị (coi như một điểm) di chuyển trên mặt đất với tốc độ $1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{giây}$. Thời gian ít nhất cần phải có để thiết bị đó di chuyển trên mặt đất từ một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ nhất đến một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thử hai là 480 giây.

>>Lời giải
Câu 2. Người ta mô phỏng cách chể tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường tròn đường kính $A B=6 \mathrm{~cm}$ và một dây cung $C D$ song song vởi $A B$. Quay hình thang $A B D C$ quanh đường thẳng $A B$ dể tạo thành chi tiết máy có dạng khối tròn xoay. Xét hệ tọa độ $O x y$ với $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$ (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử $D(a ; b)$ với $0<a<3$.
a) Ta có $a^2+b^2=36$.
b) Phương trình đường thẳng $B D$ là $y=\dfrac{b}{a-3}(x-3)$.
c) Thể tich chi tiết máy là $V=\pi\left(\int_0^a b^2 d x+\int_a^3 \dfrac{b^2}{(a-3)^2}(x-3)^2 d x\right)\left(\mathrm{cm}^3\right)$.
d) Khi dây cung $C D$ thay đổi, giá trị lớn nhắt của thể tích chi tiết máy nhỏ hon $85 \mathrm{~cm}^3.$

>>Lời giải

B. VIÊT TRÊN TỜ GIÂY THI

Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu I đến câu 4. Đối với mỗi câu, thi sinh chi viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 1. Chọn ngẫu nhiên ba số nguyên dương khác nhau đôi một không vượt quá 12. Hỏi xác suất để ba số được chọn ra là độ dài ba cạnh của một tam giác bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đển hàng phần trăm).
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-4 x+12 y+6 z+24=0$. Xét hai điểm $M, N$ thuộc $(S)$ sao cho $M N=8$ và $O N^2-O M^2=112$. Hỏi khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $M N$ bằng bao nhiêu?
Câu 3. Bạn An dự định làm một chiếc hộp có dạng hình lăng trụ tam giác đều sao cho thể tích của khối lăng trụ đó bằng $40 \mathrm{~cm}^3$. Bạn An muốn sơn màu tất cả các mặt của chiếc hộp đó. Hỏi tổng diện tích của tất cả các mặt được sơn màu nhỏ nhất là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

>>Lời giải

Câu 4. Bác Dũng gửi tiết kiệm vào một tài khoản ngân hàng theo kì hạn 1 tháng. Biết rằng số tiền trong tài khoản sau $x$ tháng $\left(x \in \mathbb{N}^*\right)$ được tính bằng công thức $f(x)=50 .(1,004)^x$ (triệu đồng) và bác Dũng không rút tiền khỏi ngân hàng trong suốt quả trình gửi. Hỏi sau it nhất bao nhiêu tháng, số tiền trong tài khoản đó của bác Dũng vượt quá 52 triệu đồng?
Phần IV ( $\mathbf{3}$ diểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7 .
Câu 5. Một trường học có $60 \%$ học sinh là nữ, $40 \%$ học sinh là nam. Sau khi thống kê kết quả học tập cuối năm, người ta thấy rẳng trong số học sinh nữ có $45 \%$ đạt kết quả học tập xếp loại tốt, trong số học sinh nam có $40 \%$ đạt kết quả học tập xếp loại tốt. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. Tính xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó đạt kết quả học tập xếp loại tốt (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi cạnh bằng $a, \widehat{B A D}=120^{\circ}$, cạnh bên $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $S B$ và $A C$.
Câu 7. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime}(x)$ được cho bởi hình bên.
Giả sử $f^{\prime}(x)>x+2, \forall x \in(-2 ; 0)$ và $f^{\prime}(x)<x+2, \forall x \in(0 ; 1) \cup(1 ; 3)$.
Xét hàm số $g(x)=2 f(x)-(x+2)^2, x \in[-2 ; 3]$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)$ trên đoạn $[-2 ; 3]$, biết rằng $f(-2)=1$.

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Combo X các em học kết hợp giữa bài giảng, tài liệu, đề thi có sẵn đã phát hành tại vted.vn và các bài giảng Live Fb được cập nhật trong năm học (kéo dài từ T9.2025 đến T6.2026)