Đề Toán thi tốt nghiệp THPT 2025 cập nhật mã đề 0101, 0102, ..., 0124

Đề thi gồm 22 câu, ở 3 phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (12 câu), trắc nghiệm đúng/sai (4 câu) và trắc nghiệm trả lời ngắn (6 câu).

Trong đó, 4 câu dạng đúng/sai, mỗi câu có 4 ý. Thí sinh chọn chính xác một ý trong một câu được 0,1 điểm; hai ý được 0,25; ba ý được 0,5. Làm đúng cả bốn ý, các em mới lấy trọn vẹn 1 điểm. So với đề các năm trước, cách tính điểm thay đổi, không còn được chia đều 0,25 ở mỗi câu. Theo các giáo viên, cách này giúp phân loại thí sinh giỏi, khá, trung bình.

>>Xem thêm: Đề Toán thi tốt nghiệp THPT 2025 theo chương trình cũ

Lời giải chi tiết Đề Toán thi tốt nghiệp THPT 2025 mã đề 0101 _ Học toán online chất lượng cao 2025 _ Vted

Một số câu hỏi có trong đề thi:

PHẦN II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-12x-8.$

a) Hàm số đã cho có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12.$

b) Phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ có tập nghiệm là $S=\left\{ 2 \right\}.$

c) $f\left( 2 \right)=24.$

d) Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ bằng $24.$

>>Lời giải

a) Hàm số đã cho có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-12.$

b) Phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$ có tập nghiệm là $S=\left\{ -2;2 \right\}.$

c) $f\left( 2 \right)=-24.$

d) Ta có $f\left( -3 \right)=1;f\left( 3 \right)=-17;f\left( -2 \right)=8;f\left( 2 \right)=-24\Rightarrow \underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( -2 \right)=8.$

Vậy a) đúng; b) sai; c) sai và d) sai.

Câu 2: Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc $y\left( t \right)$ (đơn vị: $\mathrm{mg} /$lít) tồn dư trong nước tại thời điểm $t$ ngày $(t \geq 0)$ kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn $y\left( t \right)>0$ và ${y}'\left( t \right)=k.y\left( t \right)\text{ }\left( t\ge 0 \right),$ trong đó $k$ là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm $t=6$ (ngày), $t=12$ (ngày) nhận được kết quả lần lượt là $2 \mathrm{mg} /$lít; $1 \mathrm{mg} /$lít. Cho biết $y\left( t \right)={{e}^{g\left( t \right)}}\text{ }\left( t\ge 0 \right).$

a) $g\left( t \right)=kt+C\text{ }\left( t\ge 0 \right)$ với $C$ là một hằng số xác định.
b) $k=\dfrac{\ln 2}{6}.$

c) $C=2\ln 2.$

d) Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm $t=25$ (ngày) kể từ lúc sử dụng thuốc lớn hơn $0,25\text{ mg/l }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ t}\text{.}$

>>Lời giải

a) Ta có $y\left( t \right)={{e}^{g\left( t \right)}}\Rightarrow {y}'\left( t \right)={g}'\left( t \right)\cdot {{e}^{g\left( t \right)}}.$

Thay vào ${y}'\left( t \right)=k.y\left( t \right)\Rightarrow {g}'\left( t \right)\cdot {{e}^{g\left( t \right)}}=k\cdot {{e}^{g\left( t \right)}}\Leftrightarrow {g}'\left( t \right)=k$

$\Rightarrow g\left( t \right)=\int{{g}'\left( t \right)dt}=\int{kdt}=kt+C$ với $C$ là một hằng số xác định.

b) và c) Ta có $y\left( t \right) = {e^{g\left( t \right)}} \Leftrightarrow g\left( t \right) = \ln y\left( t \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y\left( 6 \right) = 2\\
y\left( {12} \right) = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( 6 \right) = \ln 2\\
g\left( {12} \right) = 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6k + C = \ln 2\\
12k + C = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = - \dfrac{{\ln 2}}{6}\\
C = 2\ln 2
\end{array} \right..$

d) Ta có $g\left( t \right)=-\dfrac{\ln 2}{6}t+2\ln 2\Rightarrow y\left( t \right)={{e}^{-\dfrac{\ln 2}{6}t+2\ln 2}}\Rightarrow y\left( 25 \right)\approx 0,22\text{ mg/l }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ t}<0,25\text{ mg/l }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ t}.$

Vậy a) đúng; b) sai; c) đúng và d) sai.

Câu 3: Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ $Oxyz$ có $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$ và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 mét. Cho hai điểm $A$ và $B$, trong đó điểm $A$ có tọa độ là $\left( 5;5;0 \right).$ Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian $t$ (giây) theo công thức $v\left( t \right)=\beta t+300\text{ }\left( \text{m/gi }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ y} \right),$ trong đó $\beta$ là hằng số dương và $0\le t\le 6.$ Ở thời điểm ban đầu $(t=0),$ vật đi qua $A$ với tốc độ $300\text{ m/gi }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ y}$ và hướng tới $B.$ Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường $604\text{ m}\text{.}$ Gọi $\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}.$ Biết rằng $\left| \overrightarrow{u} \right|=1$ và góc giữa vectơ $\overrightarrow{u}$ lần lượt với các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ có số đo tương ứng bằng ${{60}^{{}^\circ }},{{60}^{{}^\circ }},{{45}^{{}^\circ }}.$

a) $a=\cos {{60}^{{}^\circ }}.$

b) Phương trình đường thẳng $AB$ là $\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z}{2}.$

c) $\beta =2.$

d) Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}} \right).$ Khi đó ${{x}_{B}}>768.$

>>Lời giải

a) Với $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OE}=\left( a;b;c \right)$ và $\left| \overrightarrow{u} \right|=OE=1$ và góc giữa vectơ $\overrightarrow{u}$ lần lượt với các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ có số đo tương ứng bằng ${{60}^{{}^\circ }},{{60}^{{}^\circ }},{{45}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{AOE}={{60}^{{}^\circ }},\widehat{COE}={{60}^{{}^\circ }},\widehat{GOE}={{45}^{{}^\circ }}$

$\Rightarrow a=OA=OE\cdot \cos {{60}^{\circ }}=\cos {{60}^{\circ }}=\dfrac{1}{2};$

$b=OC=OE\cdot \cos {{60}^{\circ }}=\cos {{60}^{\circ }}=\dfrac{1}{2};$

$c=OG=OE\cdot \cos {{45}^{\circ }}=\cos {{45}^{\circ }}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

b) Ta có $\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{u}\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)||\left( 1;1;\sqrt{2} \right)\Rightarrow AB:\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y-5}{1}=\dfrac{z}{\sqrt{2}}.$

c) Quãng đường đi được trong 2 giây là $s=\int\limits_{0}^{2}{\left| v\left( t \right) \right|dt}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \beta t+300 \right)dt}=604\Leftrightarrow \beta =2\Rightarrow v\left( t \right)=2t+300\text{ m/gi }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ y}\text{.}$

d) Quãng đường đi được trong 5 giây là $AB=\int\limits_{0}^{5}{\left| v\left( t \right) \right|dt}=\int\limits_{0}^{5}{\left( 2t+300 \right)dt}=1525\text{ m}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\dfrac{AB}{\left| \overrightarrow{u} \right|}\cdot \overrightarrow{u}=\dfrac{1525}{1}\cdot \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\Rightarrow {{x}_{B}}=\dfrac{1525}{2}+5=767,5<768.$

Vậy a) đúng; b) sai; c) đúng và d) sai.

Câu 4: Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại bằng cách dựa theo từ khóa để đánh dấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả các tin nhắn gửi đến, có $15 \%$ số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh đấu, có $10 \%$ số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có $5 \%$ số tin nhắn là quảng cáo.
Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.
a) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu bằng $0,85.$
b) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu bằng $0,95.$
c) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo bằng $0,85.$
d) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo lớn hơn $0,95.$

>>Lời giải

Gọi $A$ là biến cố chọn được tin nhắn bị đánh dấu và $B$ là biến cố chọn được tin nhắn không phải là quảng cáo.

a) Ta có $P\left( A \right)=15\%=0,15\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)=0,85.$

b) Ta có $P\left( B|A \right)=10\%=0,1$ và $P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=5\%=0,05\Rightarrow P\left( B|\overline{A} \right)=1-P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=0,95.$

c) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo bằng

$P\left( B \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( B|A \right)+P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( B|\overline{A} \right)=0,15\cdot 0,1+0,85\cdot 0,95=0,8225.$

d) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo là

$P\left( \overline{A}|B \right)=\dfrac{P\left( \overline{A}B \right)}{P\left( B \right)}=\dfrac{P\left( \overline{A} \right)\cdot P\left( B|\overline{A} \right)}{P\left( B \right)}=\dfrac{0,85\cdot 0,95}{0,8225}>0,95.$

Vậy a) đúng; b) đúng; c) sai và d) đúng.

PHẦN III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập $S=\{11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19\}$ và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí $A, B, C, M, N, P$ như hình bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $(A, M, B) ;(B, N, C) ;(C, P, A)$ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $S$ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là $a.$ Giá trị của $\dfrac{1}{a}$ bằng bao nhiêu?

>>Lời giải

Số cách chọn ra 6 số và xếp ngẫu nhiên là $C_{9}^{6}\cdot 6!=A_{9}^{6}.$

Điều kiện: $A+B=2M;B+C=2N;C+A=2P\Rightarrow $mỗi cặp $\left( A;B \right),\left( B;C \right),\left( C;A \right)$ cùng tính chẵn lẻ hay $A,B,C$ cùng tính chẵn lẻ.

Phân chia tập $S={{S}_{1}}\cup {{S}_{2}},\text{ }{{S}_{1}}=\left\{ 11;13;15;17;19 \right\},\text{ }{{S}_{2}}=\left\{ 12;14;16;18 \right\}.$

Khi đã chọn và xếp $A,B,C$ thì rõ ràng mỗi số $M=\dfrac{A+B}{2},N=\dfrac{B+C}{2},P=\dfrac{C+A}{2}$ chỉ có duy nhất một cách chọn và xếp.

Giờ ta phải xét thêm điều kiện: khi $A,B,C$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ (tất nhiên phân biệt được chọn ra từ ${{S}_{1}}$ hoặc ${{S}_{2}}$ giả sử $A<B<C$) thì 6 số $A,B,C,M,N,P$ phải phân biệt.

Rõ ràng $A\ne B\ne C\Rightarrow M\ne N\ne P$ và $M\ne A,M\ne B;N\ne B,N\ne C;P\ne C,P\ne A.$

Xét $M=C\Leftrightarrow A+B=2C$ (không xảy ra);

Xét $N=A\Leftrightarrow B+C=2A$ (không xảy ra);

Xét $P=B\Leftrightarrow A+C=2B$

Với $A,B,C$ cùng lẻ có bốn bộ $\left( A;B;C \right)$ vi phạm là $\left( 11;13;15 \right),\left( 11;15;19 \right),\left( 13;15;17 \right),\left( 15;17;19 \right).$

Với $A,B,C$ cùng chẵn có hai bộ $\left( A;B;C \right)$ vi phạm là $\left( 12;14;16 \right),\left( 14;16;18 \right).$

TH1: Nếu $A,B,C$ cùng lẻ có $C_{5}^{3}-4$ bộ ba số thỏa mãn, sau đó xếp ba số này vào 3 vị trí của chúng có $3!$ cách và $M,N,P$ mỗi số có một cách chọn và xếp.

TH2: Nếu $A,B,C$ cùng chẵn có $C_{4}^{3}-2$ bộ ba số thỏa mãn, sau đó xếp ba số này vào 3 vị trí của chúng có $3!$ cách và $M,N,P$ mỗi số có một cách chọn và xếp.

Vậy có tất cả \[\left( C_{5}^{3}-4 \right)3!+\left( C_{4}^{3}-2 \right)3!\] cách chọn và sắp xếp thỏa mãn.

Khi đó \[a=\dfrac{\left( C_{5}^{3}-4 \right)3!+\left( C_{4}^{3}-2 \right)3!}{A_{9}^{6}}=\dfrac{1}{1260}\Rightarrow \dfrac{1}{a}=1260.\]

Câu 2: Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $\left(x \in \mathbb{N}^* ; 1 \leq x \leq 4500\right)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=-0,01 x^2+300 x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)=\dfrac{30000}{x}+200$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $100$ triệu đồng?

>>Lời giải

Lợi nhuận trong một tháng là $P\left( x \right)=R\left( x \right)-C\left( x \right)=F\left( x \right)-x\cdot G\left( x \right)$

$=\left( -0,01{{x}^{2}}+300x \right)-x\left( \dfrac{30000}{x}+200 \right)>100\cdot {{10}^{3}}$ (nghìn đồng)

$\Leftrightarrow -0,01{{x}^{2}}+100x-130000>0\Leftrightarrow 1535,9<x<8464,1\Rightarrow {{x}_{\min }}=1536.$

Câu 3: Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là nước chanh và khoai chiên. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá 30 nghìn đồng, bao gồm hai cốc nước chanh và một túi khoai chiên. Thực đơn 2 có giá 50 nghìn đồng, bao gồm ba cốc nước chanh và hai túi khoai chiên. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá 165 cốc nước chanh và 100 túi khoai chiên. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?

>>Lời giải

Gọi $x,y$ lần lượt là số thực đơn 1 và thực đơn 2 câu lạc bộ bán được.

Số tiền thu được là $F\left( x;y \right)=30x+50y$ (nghìn đồng).

Hệ điều kiện ràng buộc $\left\{ \begin{align}& x,y\ge 0 \\& 2x+3y\le 165 \\& x+2y\le 100 \\\end{align} \right.$ có miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ trên hình vẽ.

Với các điểm cực biên là $O\left( 0;0 \right),A\left( 82,5;0 \right),B\left( 30;35 \right),C\left( 0;50 \right).$

Ta có $F\left( 0;0 \right)=0;F\left( 82,5;0 \right)=2475;F\left( 30;35 \right)=2650;F\left( 0;50 \right)=2500.$

Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng là $2650$ nghìn đồng.

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với $\widehat{ABC}={{60}^{\circ }}$ và $AB=2.$ Biết rằng hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trọng tâm $H$ của tam giác $ABC$ và $SH=\sqrt{3}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết qủa các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

>>Lời giải

Gọi $O=AC\cap BD.$ Ta có $AC\bot BD,AC\bot SH\Rightarrow AC\bot \left( SBD \right)\supset SD.$

Do đó nếu kẻ $OF\bot SD\text{ }\left( F\in SD \right)\Rightarrow OF=d\left( AC,SD \right).$

Kẻ $HE||OF\text{ }\left( E\in SD \right).$ Ta có $\dfrac{OF}{HE}=\dfrac{DO}{DH}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow OF=\dfrac{3}{4}HE.$

Tam giác $ABC$ đều cạnh $2\Rightarrow HB=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow HD=2HB=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow OF=\dfrac{3}{4}HE=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{SH\cdot HD}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{3}\cdot \dfrac{4}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3+\dfrac{16}{3}}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{5}\approx 1,04.$

Câu 5: Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự $1,2,3,4$ và bảy quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết bảy quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong bảy quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
+ Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp;
+ Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp. Gọi $T$ là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của $\dfrac{T}{100}$ bằng bao nhiêu?

>>Lời giải

Gọi $x,y,z,t$ lần lượt là số sách sau khi xếp ở các ngăn $1,2,3,4.$

Ta có $x+y+z+t=7$ và $x,y,z,t$ là các số nguyên dương. Đây chính là bài toán chia kẹo Euler có $C_{7-1}^{4-1}=C_{6}^{3}=20$ nghiệm nguyên dương $\left( x;y;z;t \right).$

Với mỗi nghiệm $\left( x;y;z;t \right),$ số cách xếp là

$A_{7}^{x}\cdot A_{7-x}^{y}\cdot A_{7-x-y}^{z}\cdot t!=\dfrac{7!}{\left( 7-x \right)!}\cdot \dfrac{\left( 7-x \right)!}{\left( 7-x-y \right)!}\cdot \dfrac{\left( 7-x-y \right)!}{\left( 7-x-y-z \right)!}\cdot \left( 7-x-y-z \right)!=7!.$

Do đó $T=20\cdot 7!\Rightarrow \dfrac{T}{100}=\dfrac{20\cdot 7!}{100}=1008.$

Cách 2: Sử dụng tương tự tư duy như Bài toán chia kẹo Euler:

Bước 1: Xếp 7 quyển sách thành một hàng có 7! cách, tạo ra 6 khoảng trống giữa mỗi 2 quyển sách.

Bước 2: Chọn ra 3 trong 6 khoảng trống và chèn vào đó các vách để được 4 ngăn sách.

Vậy có tất cả $T=7!\cdot C_{6}^{3}\Rightarrow \dfrac{T}{100}=1008.$

Câu 6: Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân đế như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng $7,4 \mathrm{~cm}$ và $10,4 \mathrm{~cm},$ bề dày của khối gỗ bằng $1,5 \mathrm{~cm}.$ Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể $H,$ ở đó $H$ nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính $5,8 \mathrm{~cm}$ bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính $3,5 \mathrm{~cm}$ (xem hình dưới).

Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

>>Lời giải

Thể tích chân đế dạng khối chóp cụt ban đầu là

$V=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{1,5}{3}\left( {{\left( 7,4 \right)}^{2}}+{{\left( 10,4 \right)}^{2}}+7,4\cdot 10,4 \right)=119,94\text{ c}{{\text{m}}^{3}}.$

Xét thiết diện qua trục của $H,$ chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Phương trình đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5,{{8}^{2}}\Rightarrow {{y}^{2}}=5,{{8}^{2}}-{{x}^{2}}.$

Bán kính mặt cắt là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 5,8 \right)}^{2}}-{{h}^{2}}}=3,5\Rightarrow h=\dfrac{\sqrt{2139}}{10}.$

Vậy thể tích của $H$ là ${{V}_{H}}=\pi \int\limits_{\dfrac{\sqrt{2139}}{10}}^{5,8}{{{y}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{\dfrac{\sqrt{2139}}{10}}^{5,8}{\left( {{\left( 5,8 \right)}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}\text{ c}{{\text{m}}^{3}}.$

Thể tích của khối chân đế là $V-{{V}_{H}}=119,94-\pi \int\limits_{\dfrac{\sqrt{2139}}{10}}^{5,8}{\left( {{\left( 5,8 \right)}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}\approx 96,5\text{ c}{{\text{m}}^{3}}.$

 

Đề Toán thi tốt nghiệp THPT 2025 mã đề 0101

Mã 0101 - 0102	Mã 0103-0104	Mã 0105 - 0106	Mã 0107 - 0108
Mã 0109 - 0110	Mã 0111 - 0112	Mã 0113 - 0114	Mã 0115 - 0116
Mã 0117 - 0118	Mã 0119 - 0120	Mã 0121 - 0123	Mã 0124

Đề Toán thi tốt nghiệp THPT 2025 mã đề 0102

Đáp án các môn thi theo chương trình giáo dục phổ thông 2018

Đáp án tất cả môn thi tốt nghiệp THPT được Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố chiều 6/7, sau gần 10 ngày kết thúc kỳ thi.

Đáp án 11 môn thi tốt nghiệp THPT theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 (môn Ngoại ngữ gồm 7 thứ tiếng, Công nghệ gồm Nông nghiệp và Công nghiệp) như sau:

Ngữ văn	Công nghệ Nông nghiệp
Toán	Công nghệ Công nghiệp
Tiếng Anh	Giáo dục kinh tế và pháp luật
Vật lý	Tiếng Nga
Hoá học	Tiếng Hàn
Sinh học	Tiếng Trung
Địa lý	Tiếng Pháp
Lịch sử	Tiếng Nhật
Tin học	Tiếng Đức

Đáp án các môn thi tốt nghiệp THPT theo chương trình cũ

Đáp án tất cả môn thi tốt nghiệp THPT được Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố chiều 6/7, sau gần 10 ngày kết thúc kỳ thi.

Đáp án các môn thi tốt nghiệp THPT theo chương trình giáo dục phổ thông 2006 như sau:

Toán	Địa lý
Ngữ văn	Giáo dục công dân
Tiếng Anh	Tiếng Nga
Vật lý	Tiếng Trung
Hoá học	Tiếng Hàn
Sinh học	Tiếng Đức
Lịch sử	Tiếng Nhật

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Combo X các em học kết hợp giữa bài giảng, tài liệu, đề thi có sẵn đã phát hành tại vted.vn và các bài giảng Live Fb được cập nhật trong năm học (kéo dài từ T9.2025 đến T6.2026)