Định lí menelaus cho 3 điểm thẳng hàng $\dfrac{FA}{FB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}=1$ với $DEF$ là một đường thẳng cắt ba đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F.$

Ta cùng xét bài toán (ta tạm gọi là định lí menelaus trong không gian):

Cho tứ diện $ABCD.$ Xét bốn điểm $M,N,P,Q$ lần lượt thuộc các đường thẳng $AB,BC,CD,DA.$ Chứng minh rằng $M,N,P,Q$ đồng phẳng thì $\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{NB}{NC}.\dfrac{PC}{PD}.\dfrac{QD}{QA}=1.$

>[Vted.vn] - Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện

>Véctơ trong không gian: Vận dụng điều kiện bốn điểm đồng phẳng

Chứng minh. Đặt $\overrightarrow{MA}=x\overrightarrow{MB};\overrightarrow{NB}=y\overrightarrow{NC};\overrightarrow{PC}=z\overrightarrow{PD};\overrightarrow{QD}=t\overrightarrow{QA}$ khi đó

$\overrightarrow{AM}=\dfrac{-x}{1-x}\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{1-y}\left( \overrightarrow{AB}-y\overrightarrow{AC} \right);\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{1-z}\left( \overrightarrow{AC}-z\overrightarrow{AD} \right);\overrightarrow{AQ}=\dfrac{1}{1-t}\overrightarrow{AD}$

Vì bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng nên $\overrightarrow{AQ}=m\overrightarrow{AM}+n\overrightarrow{AN}+p\overrightarrow{AP};m+n+p=1$

$\Leftrightarrow \left( -\dfrac{mx}{1-x}+\dfrac{n}{1-y} \right)\overrightarrow{AB}+\left( -\dfrac{ny}{1-y}+\dfrac{p}{1-z} \right)\overrightarrow{AC}+\left( -\dfrac{pz}{1-z}-\dfrac{1}{1-t} \right)\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$

Vì bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng nên $-\dfrac{mx}{1-x}+\dfrac{n}{1-y}=-\dfrac{ny}{1-y}+\dfrac{p}{1-z}=-\dfrac{pz}{1-z}-\dfrac{1}{1-t}=0$

Rút ra $n=\dfrac{mx}{1-x}\left( 1-y \right);p=\dfrac{ny}{1-y}\left( 1-z \right)=\dfrac{mxy}{1-x}\left( 1-z \right);pz=-\dfrac{1-z}{1-t}$

Thay vào $m+n+p=1\Leftrightarrow m+\dfrac{mx}{1-x}\left( 1-y \right)+\dfrac{mxy}{1-x}\left( 1-z \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{m\left( xyz-1 \right)}{1-x}=-1\left( 1 \right)$

Mặt khác $pz=-\dfrac{1-z}{1-t}=\dfrac{mxyz}{1-x}\left( 1-z \right)\Leftrightarrow \dfrac{m\left( xyz-xyzt \right)}{1-x}=-1\left( 2 \right)$

So sánh $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow xyzt=1.$ Ta có điều phải chứng minh.

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem đề thi đã phát hành trước đó: [XMIN 2023] Đề số 48 - Đề thi thử Toán TN THPT Quốc Gia năm 2023 lần 1 trường THPT chuyên Trần Phú - Hải Phòng