Định lí Vi – ét cho phương trình đa thức bậc hai và đa thức bậc ba

Định lí Vi – ét cho phương trình đa thức bậc hai

Xét phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ khi đó $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \end{array} \right..$

Định lí Vi – ét cho phương trình đa thức bậc ba

Xét phương trình $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ có ba nghiệm là ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ khi đó $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a}\\ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \dfrac{c}{a}\\ {x_1}{x_2}{x_3} = - \dfrac{d}{a} \end{array} \right..$

>Phân tích đa thức chứa tham số thành nhân tử dựa trên nghiệm của đa thức và hỗ trợ của máy tính bỏ túi

>Phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát

Định lí Vi - ét cho phương trình đa thức bậc n

Xét phương trình ${{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0,\left( {{a}_{n}}\ne 0 \right)$ có n nghiệm là ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ thì $\sum\limits_{1\le {{i}_{1}}<{{i}_{2}}<...<{{i}_{k}}}{{{x}_{{{i}_{1}}}}{{x}_{{{i}_{2}}}}...{{x}_{{{i}_{k}}}}}={{\left( -1 \right)}^{k}}\dfrac{{{a}_{n-k}}}{{{a}_{n}}},k=1,2,...,n$

Hay dùng nhất là ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}=-\dfrac{{{a}_{n-1}}}{{{a}_{n}}}$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}...{{x}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\dfrac{{{a}_{0}}}{{{a}_{n}}}.$

Chứng minh các định lí này thông qua phân tích một đa thức thành nhân tử khi biết các nghiệm của nó

Xét đa thức ${{P}_{n}}\left( x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}},\left( {{a}_{n}}\ne 0 \right)$ có n nghiệm là ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ khi đó ${{P}_{n}}\left( x \right)={{a}_{n}}\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)...\left( x-{{x}_{n}} \right).$

Đối với đa thức bậc hai: ${{P}_{2}}\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right),\forall x$

$\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c=a\left[ {{x}^{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)x+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right],\forall x$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - a\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = b \hfill \\ a{x_1}{x_2} = c \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đối với đa thức bậc ba: ${{P}_{3}}\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right),\forall x$

$\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=a\left[ {{x}^{3}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right){{x}^{2}}+\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)x-{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}} \right],\forall x$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - a\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) = b \hfill \\ a\left( {{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1}} \right) = c \hfill \\ - a{x_1}{x_2}{x_3} = d \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a} \hfill \\ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \dfrac{c}{a} \hfill \\ {x_1}{x_2}{x_3} = - \dfrac{d}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Tính giá trị biểu thức liên quan các nghiệm của một phương trình

Ví dụ 1: Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ là ba nghiệm phân biệt của phương trình \[{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2=0.\]

Tính giá trị biểu thức $T=\dfrac{1}{x_{1}^{2}-5{{x}_{1}}+4}+\dfrac{1}{x_{2}^{2}-5{{x}_{2}}+4}+\dfrac{1}{x_{3}^{2}-5{{x}_{3}}+4}.$

Giải. Trước tiên cần dùng: $f\left( x \right)=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)...\left( x-{{x}_{n}} \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=f\left( x \right)\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{x-{{x}_{k}}}}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{x-{{x}_{k}}}}=\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}$

Vậy khi phương trình \[{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2=0\] có ba nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$

Dùng phép chia đa thức ta có \[{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2=\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)+6x-10\]

\[\Rightarrow \dfrac{\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2 \right)-2\left( 3x-5 \right)}{x+3}={{x}^{2}}-5x+4\]

\[\Rightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}-5x+4}=\dfrac{x+3}{\left( \underbrace{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-5x+2}_{0} \right)-2\left( 3x-5 \right)}=-\dfrac{x+3}{2\left( 3x-5 \right)}=-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left( 3x-5 \right)+\dfrac{14}{3}}{2\left( 3x-5 \right)}=-\dfrac{1}{6}-\dfrac{7}{3\left( 3x-5 \right)}\]

\[\Rightarrow T=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{3}\left( \dfrac{1}{3{{x}_{1}}-5}+\dfrac{1}{3{{x}_{2}}-5}+\dfrac{1}{3{{x}_{3}}-5} \right)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{9}\left( \dfrac{1}{{{x}_{1}}-5/3}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}-5/3}+\dfrac{1}{{{x}_{3}}-5/3} \right)\]

\[=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{9}.\dfrac{{f}'\left( 5/3 \right)}{f\left( 5/3 \right)}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{9}.\dfrac{-10/3}{-196/27}=-\dfrac{1}{7}.\]

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5