Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D.$
Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập $D$ nếu $f(x)\le M$ với mọi $x\in D$ và tồn tại ${{x}_{0}}\in D$ sao cho $f\left( {{x}_{0}} \right)=M.$
Kí hiệu $M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$ hoặc $M=\underset{D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$ hoặc $M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,y$ hoặc $M=\underset{D}{\mathop{\max }}\,y.$
- Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập $D$ nếu $f(x)\ge m$ với mọi $x\in D$ và tồn tại ${{x}_{0}}\in D$ sao cho $f\left( {{x}_{0}} \right)=m.$
Kí hiệu $m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$ hoặc $m=\underset{D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$ hoặc $m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,y$ hoặc $m=\underset{D}{\mathop{\min }}\,y.$
Dựa trên định nghĩa này, suy ra hàm số hằng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng chính giá trị hàm số đó.
- Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ (mà không nói "trên tập $D$") thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên tập xác định của hàm số.
4.2. Sử dụng MTCT tìm gần đúng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập $D$, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $D$ để kết luận.
- Ngoài ra các em có thể dùng MTCT để hỗ trợ tìm gần đúng như sau:
Xét hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\text{ }\left( a,b,c\in \mathbb{R};a\ne 0 \right).$
Ta có $f\left( x \right)=a{{\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\dfrac{{{b}^{2}}}{4a}$ và ${{\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)}^{2}}\ge 0.$
Do đó nếu $a<0\Rightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( -\dfrac{b}{2a} \right)=c-\dfrac{{{b}^{2}}}{4a}$ và $a>0\Rightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( -\dfrac{b}{2a} \right)=c-\dfrac{{{b}^{2}}}{4a}.$
MTCT: Các em vào giải phương trình bậc hai: MENU 9 2 2 và nhập hàm số bậc hai rồi nhấn = liên tiếp.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=-2{{x}^{2}}+3x-1.$
Giải. Ta có $a=-2<0;b=3;c=-1\Rightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( -\dfrac{b}{2a} \right)=f\left( \dfrac{3}{4} \right)=c-\dfrac{{{b}^{2}}}{4a}=-1-\dfrac{{{3}^{2}}}{-8}=\dfrac{1}{8}.$
+ Một hàm số liên tục trên một đoạn thì luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
+ Giả sử $y=f(x)$ là hàm số liên tục trên $\left[ a;b \right]$ và có đạo hàm trên $(a;b)$, có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[ a;b \right]$ mà đạo hàm ${{f}^{\prime }}(x)$ bằng $0.$
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left[ a;b \right]$
1. Tìm các điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}\in (a;b)$, tại đó ${{f}^{\prime }}(x)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.
2. Tính $f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),\ldots ,f\left( {{x}_{n}} \right),f(a)$ và $f(b).$
3. Tìm số lớn nhất $M$ và số nhỏ nhất $m$ trong các số trên. Ta có:
\[M={{\max }_{[a;b]}}f(x);m={{\min }_{[a;b]}}f(x).\]
Đặc biệt: Nếu $f\left( x \right)$ là hàm số đơn điệu trên đoạn $\left[ a;b \right]$ thì ta luôn có $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)+\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)+f\left( b \right)$ và $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right).\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right).f\left( b \right).$ Cụ thể:
+ Nếu $f\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ a;b \right]$ thì $\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( b \right),\text{ }\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right);$
+ Nếu $f\left( x \right)$ nghịch biến trên đoạn $\left[ a;b \right]$ thì$\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right),\text{ }\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( b \right).$
Ví dụ 1. Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)=-6{{x}^{3}}+27{{x}^{2}}-16x+1$ trên đoạn $\left[ 1;5 \right]$ bằng
A. 6. |
B. $-\dfrac{14}{9}.$ |
C. $-154.$ |
D. $\dfrac{329}{9}.$ |
Giải. Ta có ${f}'\left( x \right)=-18{{x}^{2}}+54x-16\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\notin \left[ 1;5 \right];x=\dfrac{8}{3}\in \left[ 1;5 \right].$
Tính các giá trị $f\left( 1 \right)=6,f\left( 5 \right)=-154,f\left( \dfrac{8}{3} \right)=\dfrac{329}{9}\Rightarrow \underset{\left[ 1;5 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( \dfrac{8}{3} \right)=\dfrac{329}{9}.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^4-4 x^2+3$ trên đoạn $\left[ 0;4 \right].$
Giải. Ta có $y' = 4{x^3} - 8x = 4x\left( {{x^2} - 2} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \in \left[ {0;4} \right]\\
x = \sqrt 2 \in \left[ {0;4} \right]\\
x = - \sqrt 2 \notin \left[ {0;4} \right]
\end{array} \right..$
Ta có \[y(0)=3;y(4)=195;y(\sqrt{2})=-1.\] Do đó $\max _{[0 ; 4]} y=y(4)=195 ; \min _{[0 ; 4]} y=y(\sqrt{2})=-1.$
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left( x+1 \right){{e}^{-x}}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right].$
Giải. Ta có ${y}'={{e}^{-x}}-\left( x+1 \right){{e}^{-x}}=-x.{{e}^{-x}}\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow x=0\in \left[ -1;1 \right].$
Ta có $y\left( -1 \right)=0;y\left( 1 \right)=\dfrac{2}{e};y\left( 0 \right)=1\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( 0 \right)=1;\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( -1 \right)=0.$
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{\ln x}{x}$ trên đoạn $\left[ 1;4 \right].$
Giải. Ta có ${y}'=\dfrac{\dfrac{1}{x}.x-1.\ln x}{{{x}^{2}}}=\dfrac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=e\in \left[ 1;4 \right].$
Ta có $y\left( 1 \right)=0;y\left( 4 \right)=\dfrac{\ln 4}{4};y\left( e \right)=\dfrac{1}{e}\Rightarrow \underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( e \right)=\dfrac{1}{e};\underset{\left[ 1;4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( 1 \right)=0.$
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}
2x + 1{\rm{ khi }} - 1 \le x \le 1\\
- {x^3} + 6x - 2{\rm{ khi }}1 < x \le 2
\end{array} \right..$
Giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn $\left[ -1;2 \right].$
Ta có $y' = \left\{ \begin{array}{l}
2{\rm{ khi }} - 1 \le x < 1\\
- 3{x^2} + 6{\rm{ khi }}1 < x \le 2
\end{array} \right.$ vì ${y}'\left( {{1}^{-}} \right)=2\ne {y}'\left( {{1}^{+}} \right)=3$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x=1.$
Ta có $y\left( 1 \right)=3;y\left( \sqrt{2} \right)=4\sqrt{2}-2;y\left( -1 \right)=-1;y\left( 2 \right)=2$
$\Rightarrow \underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( \sqrt{2} \right)=4\sqrt{2}-2;\underset{\left[ -1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=y\left( - \right)=-1.$
Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sin x+\cos x$ trên đoạn $[0 ; 2 \pi].$
Giải. Ta có: ${y}'=\cos x-\sin x;{y}'=0\Leftrightarrow \cos x=\sin x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right).$
Các nghiệm trên đoạn $\left[ 0;2\pi \right]$ là $x=\dfrac{\pi }{4};x=\dfrac{5\pi }{4}.$
Ta có $y(0)=1 ; y(2 \pi)=1 ; y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} ; y\left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2}.$
Do đó: $\max _{[0 ; 2 \pi]} y=y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} ; \min _{[0 ; 2 \pi]} y=y\left(\dfrac{5 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2}.$
Xét các hàm số phân thức: $y=\dfrac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c},\text{ }y=\dfrac{a{{x}^{2}}+bx+c}{m{{x}^{2}}+nx+p}.$
Bằng cách nhân chéo quy đồng, ta được được về một phương trình bậc hai ẩn $x$
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình suy ra được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}+1}.$
Giải. Ta có $x+2=y\left( {{x}^{2}}+1 \right)\Leftrightarrow y.{{x}^{2}}-x+y-2=0.$
+ Nếu $y=0\Rightarrow x=-2.$
+ Nếu $y\ne 0$ phương trình có nghiệm khi ${{\Delta }_{x}}=1-4y\left( y-2 \right)\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(2-\sqrt{5})\le y\le \dfrac{1}{2}(2+\sqrt{5}).$
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,y=\dfrac{1}{2}(2-\sqrt{5});\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\dfrac{1}{2}(2+\sqrt{5}).$
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1}.$
Giải. Ta có ${{x}^{2}}+1=y\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\Leftrightarrow \left( y-1 \right){{x}^{2}}+y.x+y-1=0.$
+ Nếu $y=1\Rightarrow x=0.$
+ Nếu $y\ne 1$ phương trình có nghiệm khi ${{\Delta }_{x}}={{y}^{2}}-4{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\le y\le 2.$
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,y=\dfrac{2}{3};\text{ }\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=2.$
Tương tự như vậy, xét hàm số $y=\dfrac{a\sin x+b\cos x+c}{m\sin x+n\cos x+p}.$
Bằng cách nhân chéo rút gọn đưa về phương trình bậc nhất đối với $\sin x,\text{ }\cos x$ dạng
$A\sin x+B\cos x=C.$
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ${{C}^{2}}\le {{A}^{2}}+{{B}^{2}}.$
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{\sin x+\cos x+1}{\sin x-\cos x+2}.$
Giải. Ta có $y\left( \sin x-\cos x+2 \right)=\sin x+\cos x+1\Leftrightarrow \left( y-1 \right)\sin x-\left( y+1 \right)\cos x=1-2y.$
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ${{\left( 1-2y \right)}^{2}}\le {{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-4y-1\le 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(2-\sqrt{6})\le y\le \dfrac{1}{2}(2+\sqrt{6}).$
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,y=\dfrac{1}{2}(2-\sqrt{6});\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\dfrac{1}{2}(2+\sqrt{6}).$
Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS
PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)
XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)
LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)
Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng
Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng
Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN
Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.
Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.
Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)
Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.
Khoá học Biên soạn dựa trên:
Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm
Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: