a) Yêu cầu bài toán tương đương với: ${f}'(x)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x+3({{m}^{2}}-1)=0$ có hai nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow a.c < 0 \Leftrightarrow - 9({m^2} - 1) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
b) Hai đồ thị hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+c$ và $g(x)=mx+n$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=1;{{x}_{3}}=2$ do đó $f(x)-g(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+c-(mx+n)=a(x+1)(x-1)(x-2).$
Khi đó $A(-1;-m+n),B(2;2m+n)\Rightarrow AB=5\Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{(3m)}^{2}}=25\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{4}{3}.$
Do $g(x)$ là đường thẳng đi lên do đó $m>0\Rightarrow m=\dfrac{4}{3}.$
Vậy $f(x)-g(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x+c-n=a(x+1)(x-1)(x-2)=a({{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2)\Rightarrow a=1.$
Vậy $f(x)-g(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2\Rightarrow f(x)=g(x)+{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2={{x}^{2}}+2\Leftrightarrow x=0;x=\dfrac{3\pm \sqrt{13}}{2}.$
Câu 2. a) Phương trình đầu của hệ tương đương với:
${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+13x={{y}^{3}}+y+10\Leftrightarrow {{(x-2)}^{3}}+(x-2)={{y}^{3}}+y\Leftrightarrow x-2=y.$
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
$\begin{gathered} \sqrt {3x} - \sqrt {7 - 2x} = 5 - x \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3x} - 3} \right) + \left( {1 - \sqrt {7 - 2x} } \right) + \left( {x - 3} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{3(x - 3)}}{{\sqrt {3x} + 3}} + \frac{{2(x - 3)}}{{1 + \sqrt {7 - 2x} }} + (x - 3) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow (x - 3)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x} + 3}} + \frac{2}{{1 + \sqrt {7 - 2x} }} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow y = 1. \hfill \\ \end{gathered} $
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(3;1).$
b) Phương trình tương đương với: \[\sin x+\cos x+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)=1+2\sin x\cos x.\]
Đặt \[t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}.\]
Phương trình trở thành: \[t + \frac{{{t^2} - 1}}{2}t = 1 + ({t^2} - 1) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 0 \hfill \\ t = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\ \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{\pi }{4} = k\pi \hfill \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.,k \in \mathbb{Z}.\]
Câu 3. Có tất cả $A_{9}^{5}$ số thuộc $S.$ Ta tìm số các số thoả mãn:
+ Vì là số chẵn nên $e\in \left\{ 2,4,6,8 \right\}.$
+ Do $1\le a<b<c<d<e\le 9\Rightarrow e\in \left\{ 6,8 \right\}.$
TH1: Nếu $e=6\Rightarrow 1\le a<b<c<d<e=6\Leftrightarrow 1\le a<b<c<d\le 5.$ Với mỗi cách chọn ra 4 số từ tập các số $\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$ ta được một số thoả mãn, trường hợp này có $C_{5}^{4}$ số.
TH2: Nếu $e=8\Rightarrow 1\le a<b<c<d<e=8\Leftrightarrow 1\le a<b<c<d\le 7.$ Với mỗi cách chọn ra 4 số từ tập các số $\left\{ 1,2,...,7 \right\}$ ta được một số thoả mãn, trường hợp này có $C_{7}^{4}$ số.
Vậy có tất cả $C_{5}^{4}+C_{7}^{4}$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{C_{5}^{4}+C_{7}^{4}}{A_{9}^{5}}=\dfrac{1}{378}.$
Câu 4. Giá cho thuê 400 nghìn đồng cho thuê hết 50 phòng.
Giá cho thuê tăng thêm 20 nghìn đồng cho thuê giảm 2 phòng
Giá cho thuê tăng thêm 20x nghìn đồng cho thuê giảm 2x phòng.
Giá cho thuê $(400+20x)$ nghìn đồng cho thuê được $(50-2x)$ phòng.
Số tiền thu được trong một ngày \[R(x)=(400+20x)(50-2x)=-40{{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+20250\le 20250.\] Dấu bằng đạt tại $x=\dfrac{5}{2}\Rightarrow 400+20x=450$ nghìn đồng là giá cho thuê mỗi phòng để thu được số tiền lớn nhất.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: