Giải chi tiết Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Lạng Sơn

>>Xem thêm Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

>>Xem thêm Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Ninh

Câu 1 (4,0 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3({{m}^{2}}-1)x-3{{m}^{2}}-1$ có hai điểm cực trị trái dấu.

b) Cho đồ thị hàm số bậc ba $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+c$ và đường thẳng $y=g(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó $AB=5.$ Giải phương trình $f(x)=g(x)+{{x}^{2}}+2.$

a) Yêu cầu bài toán tương đương với: ${f}'(x)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+6x+3({{m}^{2}}-1)=0$ có hai nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow a.c < 0 \Leftrightarrow - 9({m^2} - 1) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

b) Hai đồ thị hàm số $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+c$ và $g(x)=mx+n$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=1;{{x}_{3}}=2$ do đó $f(x)-g(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x+c-(mx+n)=a(x+1)(x-1)(x-2).$

Khi đó $A(-1;-m+n),B(2;2m+n)\Rightarrow AB=5\Leftrightarrow {{3}^{2}}+{{(3m)}^{2}}=25\Leftrightarrow m=\pm \dfrac{4}{3}.$

Do $g(x)$ là đường thẳng đi lên do đó $m>0\Rightarrow m=\dfrac{4}{3}.$

Vậy $f(x)-g(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-x+c-n=a(x+1)(x-1)(x-2)=a({{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2)\Rightarrow a=1.$

Vậy $f(x)-g(x)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2\Rightarrow f(x)=g(x)+{{x}^{2}}+2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2={{x}^{2}}+2\Leftrightarrow x=0;x=\dfrac{3\pm \sqrt{13}}{2}.$

Câu 2 (6,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} {x^3} - 6{x^2} + 13x = {y^3} + y + 10 \hfill \\ \sqrt {2x + y + 2} - \sqrt {5 - x - y} = 3 - y \hfill \\ \end{gathered} \right.,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right).$

b) Giải phương trình $(1+{{\sin }^{2}}x)\cos x+(1+{{\cos }^{2}}x)\sin x=1+\sin 2x.$

Câu 2. a) Phương trình đầu của hệ tương đương với:

${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+13x={{y}^{3}}+y+10\Leftrightarrow {{(x-2)}^{3}}+(x-2)={{y}^{3}}+y\Leftrightarrow x-2=y.$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$\begin{gathered} \sqrt {3x} - \sqrt {7 - 2x} = 5 - x \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3x} - 3} \right) + \left( {1 - \sqrt {7 - 2x} } \right) + \left( {x - 3} \right) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{3(x - 3)}}{{\sqrt {3x} + 3}} + \frac{{2(x - 3)}}{{1 + \sqrt {7 - 2x} }} + (x - 3) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow (x - 3)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3x} + 3}} + \frac{2}{{1 + \sqrt {7 - 2x} }} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow y = 1. \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(3;1).$

b) Phương trình tương đương với: \[\sin x+\cos x+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)=1+2\sin x\cos x.\]

Đặt \[t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}.\]

Phương trình trở thành: \[t + \frac{{{t^2} - 1}}{2}t = 1 + ({t^2} - 1) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 0 \hfill \\ t = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \hfill \\ \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{\pi }{4} = k\pi \hfill \\ x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \end{gathered} \right.,k \in \mathbb{Z}.\]

Câu 3 (2,0 điểm). Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau dạng $\overline{abcde}$ với $a,b,c,d,e\in \left\{ 1,2,...,9 \right\}.$ Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S,$ xác suất để số chọn được là số chẵn và $a<b<c<d<e$ bằng

Câu 3. Có tất cả $A_{9}^{5}$ số thuộc $S.$ Ta tìm số các số thoả mãn:

+ Vì là số chẵn nên $e\in \left\{ 2,4,6,8 \right\}.$

+ Do $1\le a<b<c<d<e\le 9\Rightarrow e\in \left\{ 6,8 \right\}.$

TH1: Nếu $e=6\Rightarrow 1\le a<b<c<d<e=6\Leftrightarrow 1\le a<b<c<d\le 5.$ Với mỗi cách chọn ra 4 số từ tập các số $\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$ ta được một số thoả mãn, trường hợp này có $C_{5}^{4}$ số.

TH2: Nếu $e=8\Rightarrow 1\le a<b<c<d<e=8\Leftrightarrow 1\le a<b<c<d\le 7.$ Với mỗi cách chọn ra 4 số từ tập các số $\left\{ 1,2,...,7 \right\}$ ta được một số thoả mãn, trường hợp này có $C_{7}^{4}$ số.

Vậy có tất cả $C_{5}^{4}+C_{7}^{4}$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{C_{5}^{4}+C_{7}^{4}}{A_{9}^{5}}=\dfrac{1}{378}.$

Câu 4 (2,0 điểm). Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi phòng lên thêm 20 nghìn đồng thì có thêm hai phòng bị bỏ trống. Hỏi khách sạn phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để số tiền thu được từ cho thuê phòng của khách sạn trong một ngày là lớn nhất?

Câu 4. Giá cho thuê 400 nghìn đồng cho thuê hết 50 phòng.

Giá cho thuê tăng thêm 20 nghìn đồng cho thuê giảm 2 phòng

Giá cho thuê tăng thêm 20x nghìn đồng cho thuê giảm 2x phòng.

Giá cho thuê $(400+20x)$ nghìn đồng cho thuê được $(50-2x)$ phòng.

Số tiền thu được trong một ngày \[R(x)=(400+20x)(50-2x)=-40{{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+20250\le 20250.\] Dấu bằng đạt tại $x=\dfrac{5}{2}\Rightarrow 400+20x=450$ nghìn đồng là giá cho thuê mỗi phòng để thu được số tiền lớn nhất.