A. Vô số.
B. $11.$
C. $10.$
D. $5.$
Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered}\hfill mx>0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.$.
Khi đó phương trình $\left( * \right)$ tương đương $\left[ \begin{gathered}\hfill m{{e}^{x}}-10x-m=0\begin{matrix} {} & \left( 1 \right) \\\end{matrix} \\ \hfill xm={{\left( x+1 \right)}^{2}}\begin{matrix} {} & {} & \left( 2 \right) \\\end{matrix} \\ \end{gathered} \right.$
(((($m=0$: phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm.
((((($m<0\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill x<0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow x\in \left( -1;0 \right)$. Khi đó:
((((((((((((($\left( 1 \right)$:$m{{e}^{x}}=10x+m$ có nhiều nhất một nghiệm.
((((((((((((($\left( 2 \right)$:$m=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}$ có đúng 1 nghiệm $\forall x\in \left( -1;0 \right)$. Thật vậy
Bảng biến thiên hàm số $y=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x},\forall x\in \left( -1;0 \right)$.
Vậy với $m<0$ không thảo mãn yêu cầu bài toán.
(((($m>0\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill x>0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow x\in \in \left( 0;+\infty \right)$. Khi đó:
((((((((((((($\left( 2 \right)$: $m=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}=x+\dfrac{1}{x}+2\ge 4$. Vậy ta có các trường hợp sau:
Bảng biến thiên hàm số $y=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x},\forall x>0$.
(((($0<m<4$: phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.
(((($m=4$: phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng 1 nghiệm.
(((($m>4$: phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng 2 nghiệm.
Xét phương trình $\left( 1 \right)$:$m{{e}^{x}}=10x+m\Leftrightarrow m=\dfrac{10x}{{{e}^{x}}-1}$.
Hàm số$f\left( x \right)=\dfrac{10x}{{{e}^{x}}-1}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{10{{e}^{x}}\left( 1-x \right)-10}{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x>0$và $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=10,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$
Do vậy với phương trình $\left( 1 \right)$ ta có:
(((($0<m<4$: phương trình $\left( 1 \right)$ có 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ không thoả.
(((($m=4$: phương trình $1$ có đúng 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ không thoả.
(((($4<m<10$: phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Vậy cuối cùng ta có $4<m<10\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m=\left\{ 5;6;7;8;9 \right\}$. Có 5 giá trị nguyên của $m$.
Chọn đáp án D.
Xem thêm các câu hỏi biện luận mũ và logarit khác
https://www.vted.vn/tin-tuc/bien-luan-nghiem-cua-phuong-trinh-chua-mu-va-logarit-5971.html
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:
Thầy ơi từ 11 tới 15 đâu nhận m được đâu thầy 😶?