Giải đáp học sinh - Biện luận nghiệm của phương trình mũ và loga dạng tích khó tương tự đề thi THPT Quốc Gia 2019 như sau:

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\left( m{{e}^{x}}-10x-m \right)\left( \log (mx)-2\log (x+1) \right)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt ?

A. Vô số.

B. $11.$

C. $10.$

D. $5.$

Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered}\hfill mx>0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.$.

Khi đó phương trình $\left( * \right)$ tương đương $\left[ \begin{gathered}\hfill m{{e}^{x}}-10x-m=0\begin{matrix} {} & \left( 1 \right) \\\end{matrix} \\ \hfill xm={{\left( x+1 \right)}^{2}}\begin{matrix} {} & {} & \left( 2 \right) \\\end{matrix} \\ \end{gathered} \right.$

(((($m=0$: phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm.

((((($m<0\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill x<0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow x\in \left( -1;0 \right)$. Khi đó:

((((((((((((($\left( 1 \right)$:$m{{e}^{x}}=10x+m$ có nhiều nhất một nghiệm.

((((((((((((($\left( 2 \right)$:$m=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}$ có đúng 1 nghiệm $\forall x\in \left( -1;0 \right)$. Thật vậy

Bảng biến thiên hàm số $y=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x},\forall x\in \left( -1;0 \right)$.

Vậy với $m<0$ không thảo mãn yêu cầu bài toán.

(((($m>0\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill x>0 \\ \hfill x>-1 \\ \end{gathered} \right.\Leftrightarrow x\in \in \left( 0;+\infty \right)$. Khi đó:

((((((((((((($\left( 2 \right)$: $m=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x}=x+\dfrac{1}{x}+2\ge 4$. Vậy ta có các trường hợp sau:

Bảng biến thiên hàm số $y=\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{x},\forall x>0$.

(((($0<m<4$: phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm.

(((($m=4$: phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng 1 nghiệm.

(((($m>4$: phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng 2 nghiệm.

Xét phương trình $\left( 1 \right)$:$m{{e}^{x}}=10x+m\Leftrightarrow m=\dfrac{10x}{{{e}^{x}}-1}$.

Hàm số$f\left( x \right)=\dfrac{10x}{{{e}^{x}}-1}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{10{{e}^{x}}\left( 1-x \right)-10}{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x>0$và $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=10,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0$

Do vậy với phương trình $\left( 1 \right)$ ta có:

(((($0<m<4$: phương trình $\left( 1 \right)$ có 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ không thoả.

(((($m=4$: phương trình $1$ có đúng 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ không thoả.

(((($4<m<10$: phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng 1 nghiệm. Kết hợp với phương trình $\left( 2 \right)$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Vậy cuối cùng ta có $4<m<10\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m=\left\{ 5;6;7;8;9 \right\}$. Có 5 giá trị nguyên của $m$.

Chọn đáp án D.

Xem thêm các câu hỏi biện luận mũ và logarit khác

https://www.vted.vn/tin-tuc/giai-dap-hoc-sinh-bien-luan-nghiem-cua-phuong-trinh-mu-va-loga-dang-tich-kho-5962.html

https://www.vted.vn/tin-tuc/bien-luan-nghiem-cua-phuong-trinh-chua-mu-va-logarit-5971.html

https://www.vted.vn/tin-tuc/so-giao-diem-cua-do-thi-ham-da-thuc-bac-bon-va-do-thi-ham-so-mu-5967.html

https://www.vted.vn/tin-tuc/cach-xac-dinh-tong-tat-ca-cac-nghiem-cua-hai-phuong-trinh-mu-va-logarit-wRaAJ-4934.html

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết